Теорія і практика обчислення визначників
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття
і теореми
Def. Нехай задано квадратну
матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка,
j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А,
тобто
і .
Визначником (det A) квадратної
матриці А зі
стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2,
… , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а)
лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення
визначник сума
j(х1, …, aхi1 + bхi2, … , хn)
= aj(х1, … , хi1, … , хn) + bj(х1, … , хi2,
… , хn);
б)
абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, … , хi,
… , хj, … , хn) = –j(х1, … , хj,
… , хi, … , хn);
в)
підкоряється умові нормування:
.
Тоді,
з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а
б
Рис.
1
, (1)
де
N(j1 j2 … jn) – кількість безладів у
перестановці .
Говорять,
що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k
< m.
З
формули (1) для визначника
другого порядку
одержуємо .
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови
цих доданків зручно скористатися правилом
трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а
також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з
множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а
також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з
множником –1, тобто
Властивості
визначників:
1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що
рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості,
сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових
елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за
знак визначника.
4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то
визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник
дорівнює нулю.
7°. .
8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати
лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку
дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n
викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять
матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го
порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij,
а величина Аij = (–1) i + j Мij називається
алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10°. (Розкриття визначника за
елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11°.
12°. (Теорема Лапласа).
.
Тут
– мінор, складений з елементів матриці
А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik
і стовпців j1, j2, …, jk, а – алгебраїчне доповнення до цього
мінора.
13°. (Про зміну елементів визначника).
Якщо
, а , то
.
3. Приклади
розв’язування задач
Задача 1. Обчислити визначник: .
Розв’язання. I
спосіб. Обчислимо
визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):
.
Визначники
третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом
трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник
розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му
і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12º).
Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й
стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
.
III спосіб. Обчислимо визначник методом
приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося
властивістю 8°.
а)
1-й рядок додамо до 3-го рядка;
б)
1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-го рядка.
При
цьому визначник не зміниться.
Далі:
в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;
г)
2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому
визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
;
д)
в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка.
Визначник не зміниться. Одержимо:
.
Визначник
матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів.
Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.
Задача 2. Обчислити визначник: .
Рішення. Для обчислення визначника
скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що
вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2
перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2
є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший
рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми
встановили всі чотири корені полінома, тобто
det
А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Для
знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з
коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, –
з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det
А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Задача 3. Обчислити визначник: .
Рішення. Зрозуміло, що вихідний
визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося
методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:
.
А22
= 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5
= 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4
= 24.
Решта
Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 +
4.274 = 1216.
Задача 4. Обчислити визначник n-го
порядку .
Рішення. Розкриємо визначник за
елементами 1-го рядка:
,
а
останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
Dn = 5Dn – 1 – 4Dn – 2. (*)
Записане
співвідношення називається рекурентним
співвідношенням
і дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.
З
(*) одержуємо:
1)
Dn – Dn – 1 = 4(Dn – 1 – Dn – 2) = 42(Dn – 2 – Dn – 3) = … = 4n – 2 (D2 – D1) =
=
4n – 2 (21 – 5) = 4n .
2)
Dn – 4Dn – 1 = Dn– 1 – 4Dn – 2 = Dn– 2 – 4Dn – 3 = … = D2 – 4D1 = 21 – 4.5 = 1.
3)
Маємо
систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння
2-е, одержуємо: 3Dn – 1 = 4n – 1. У такий спосіб: .
4. Задачі і вправи
для самостійного розв’язування
1.
Визначити
число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає
особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому
порядку):
а)
2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г)
2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲
2.
З'ясувати,
які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо
входять, то з яким знаком:
а)
а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;
в)
а61а23а45а36а12а54;
г) а32а43а14а51а66а25;
д)
а27а36а51а74а25а43а62;
е) а33а16а72а27а55а61а44;
ж)
а12а23а34 …аn–1 n а25аkk
(1 £
k £
n); з) а12а23а34 …аn-1nаn1n.
D а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить
у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n. ▲
3.
Вибрати
значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного
порядку із зазначеним знаком:
а)
а1iа32а4kа25а53 з « + »;
б) а62аi5а33аk4а46а21
з « – »;
в)
а47а63а1iа55а7kа24а31
з « + ».
D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲
4.
Користуючись
тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4
і х3:
а)
; б) .
D а) 2х4, –х3; б) 10х4, –5х3.
▲
5.
Знайти
члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у
визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у
визначник зі знаком « – ».
D а) а11а24а32а43,
а13а21а32а44, а14а23а32а41;
б) а11а23а32а44, а12а23а34а41,
а14а23а31а42. ▲
6.
Виписати
всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що
вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?
D . ▲
7.
Як
зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в
зворотному порядку? D Визначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2.
▲
8.
Не
розкриваючи визначників, довести, що:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
; д) .
D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості
7, 3, 5; г) властивість 5;
д)
властивість 5. ▲
9.
Знайти
мінори елементів а13, а24, а43 визначника .
D М13 = 24; М24 = – 126; М43
= 52. ▲
10.
Знайти
алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42
визначника
.
D А14 = 8; А23 = 0; А42 = –
12. ▲
11.
Обчислити
визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .
D 8a + 15b + 12c – 19d. ▲
12.
Обчислити
визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .
D 5a – 5b – 5c + 5d. ▲
13.
Обчислити
наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за
елементами деякого рядка або стовпця:
а)
; б) ; в)
.
D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲
14.
Обчислити
наступні визначники 3-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
г)
; д) ; е)
.
D а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲
15.
Обчислити
наступні визначники 3-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
г)
; д) ; е)
.
D а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲
16.
Обчислити
наступні визначники 3-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
г)
; д) ; е)
.
D а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲
17.
Обчислити
наступні визначники 3-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
е)
.
D а) (1 – e3)2; б) abc + x(ab + bc +
ac); в) 0; г) –2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲
18.
Обчислити
наступні визначники 4-го порядку:
а)
; б) ; в)
; г) .
D а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲
19.
Обчислити
наступні визначники 4-го порядку:
а)
; б) ; в)
; г) .
D а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲
20.
Обчислити
наступні визначники 4-го порядку:
а)
; б) ;
в)
; г) .
D а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲
21.
Обчислити
визначники 4-го порядку:
а)
; б) ; в)
; г) .
D а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲
22.
Обчислити
визначники 5-го порядку:
а)
; б) . D а) 52; б) 5. ▲
23.
Зведенням
до трикутного вигляду обчислити визначники:
а)
; б) ;
в)
; г) .
D
а) n!; б) 2n + 1; в) хn(а0 + а1
+ … + аn); г) . ▲
24.
Обчислити
визначники методом виділення лінійних множників:
а)
; б) ;
в)
; г) .
D
а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x –
a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);
в)
(х2 – 1)(х2 – 4); г) x2z2, вказівка:
визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і
одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно
по z. ▲
25.
Розв’язати
рівняння:
а)
; б) ;
в) ; г) (х
Î
R).
D
а) хi = ai, i = 1, 2, … , n –
1; б) хi = ai, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n –
1; г) x = 1. ▲
26.
Використовуючи
метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в)
.
D
а) ; б) 2n + 1 – 1; в) . ▲
27.
Обчислити
визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:
а) ; б) .
∆
а) хn + (а1 + а2 + … + аn)хn
– 1; б) вказівка: xi º
(xi – ai + ai),
. ▲
28.
Обчислити
визначники методом зміни елементів визначника:
а)
; б) .
∆
а) ; б) . ▲
29.
Обчислити
визначники n-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
г)
; д) ; е)
.
∆
а) 1; б) 3n; в) 1; г) хn; д) 1 – n; е) (–2)n –1(5n
– 2). ▲
30.
Обчислити
визначники n-го порядку:
а)
; б) ; в)
;
г)
; д) ; е)
.
∆
а) (–2)n –2(1 – n); б) n + 1; в) (–1)n –1(n – 1); г) 1; д)
(1 – (–1)n)/2, вказівка:
Dn
= 1– Dn –1;
е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)n/2, якщо n = 2k, kÎ
Z; вказівка: Dn
= – Dn – 2.
▲
31.
Обчислити
визначники n-го порядку:
а)
; б) ;
в)
; г) ;
д)
; е) .
∆
а) (b1 – а1) (b2 – а2) …
(bn – аn); б) (n – 1)!; в) (–1)n – 1. n!; г) 0;
д)
(–1)(n(n –1))/2nn–1(n + 1)/2; е) ▲
.ru