Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК
Представлення точок здійснюється наступним чином:
На площині
У просторі
Перетворення точок.
Розглянемо результати матричного
множення , що визначає точку Р, і матриці перетворення
2х2 загального виду:
(3.1)
Дослідимо декілька часткових
випадків.
1)
а=d=1 і c=b=0.
Змін
не відбувається
. (3.2)
2)
d=1, b=c=0. Зміна
масштабу по осі x
. (3.3)
3)
b=c=0. Зміна масштабу
по осях x і y
. (3.4)
4)
b=c=0, d=1,
a=-1.
Відображення
координат відносно осі y
. (3.5)
5)
b=c=0, a=d<0.
Відображення
відносно початку координат
. (3.6)
6)
а=d=1,c=0.
Зсув
. (3.7)
.
Рис.3.1. Перетворення точок.
ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ
Пряма задана 2 векторами.
Вектори положення точок А і В
рівні і .
Рис.3.2. Перетворення прямих ліній.
Матриця
перетворення
.
Одержимо:
, (3.8)
. (3.9)
Альтернативне
представлення лінії AB
.
Після
цього множення матриці L на Т дасть
. (3.10)
Операція зсуву збільшила довжину
лінії і змінила її положення.
ОБЕРТАННЯ
Розглянемо плоский трикутник ABC.
Рис.3.3. Обертання і відображення.
Одержимо
. (3.11)
В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею
,
поворот на 270° навколо початку координат - за допомогою матриці:
.
ВІДОБРАЖЕННЯ
Відображення визначається поворотом на 180° навколо осі, що
лежить у площині ху.
1) Обертання навколо прямої y=x задається матрицею:
.
Нові вирази визначаються
співвідношенням:
. (3.12)
2) Обертання навколо осі y=0 задається матрицею:
.
Нові вершини визначаються
співвідношенням:
. (3.13)
ЗМІНА МАСШТАБУ
Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головної
діагоналі матриці.
Якщо значення елементів не рівні,
то має місце спотворення.
Трикутник ABC
перетворений за допомогою матриці . Трикутник DEF
перетворений за допомогою матриці . Маємо спотворення.
Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірна
зміна масштабів.
ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІ
КООРДИНАТИ
Введемо
третій компонент у вектори точок і - і .
Матриця перетворення матиме
вигляд:
перетворення фігура
площина точка
.
Таким чином,
. (3.14)
Константи m, n
викликають зсув x* і y*
відносно x і y.
Матриця 3х2 не квадратна - вона не
має оберненої матриці.
Доповнимо матрицю перетворення до
квадратної
. (3.15)
Третій компонент не змінюється.