Уравнения, содержащие параметр
Городская
конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся
учебно-воспитательной деятельностью
«Шаги в
науку»
Научное
общество учащихся «Поиск»
Муниципального
образовательного учреждения
«Средняя
общеобразовательная школа №86 г.Омска»
Научное
направление: «Математика»
Уравнения, содержащие
параметр
Соколова Александра
Михайловна
ученица 10 класса МОУ
«СОШ №86 г.Омска»
Руководитель: Дощанова
Тиштых Мухановна,
учитель математики
Омск 2011
Содержание
Введение
1. Знакомство с параметрами
1.1 Решение уравнений первой степени
с одним неизвестным
1.2 Решение линейных уравнений с
модулем
1.3 Решение квадратных уравнений
2. Примеры решений уравнений с
параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Заключение
Введение
В настоящее время
различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на
экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за
11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают,
что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с
ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не
окажется.
Свою работу я захотела
посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства
учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому,
обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям,
тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы -
научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами
решения подобных заданий.
Я поставила перед собой
следующие задачи:
1. Самой научиться решать
уравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся с
разными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интерес
учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрю
следующие виды заданий с параметрами:
1) решение уравнений
первой степени с одним неизвестным;
2) решение линейных
уравнений с модулем;
3) решение квадратных
уравнений.
уравнение
параметр неизвестное модуль
1. Знакомство с
параметрами
Для начала, стоило бы
пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя
работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит
числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы –
параметрами.
Если параметру,
содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то
возможен один из двух следующих случаев:
1) получится уравнение (неравенство),
содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение
параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.
Решить уравнение
(неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого
значения параметра найти множество всех значений данного уравнения
(неравенства).
К сожалению, не редко при
решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют
формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении
уравнения переходят к у равнению ; при m=записывают единственное решение . Но
ведь при m= -1 – бесчисленное множество
решений, а при m=1, решений нет.
Пример 1. Решить
уравнение .
Сразу видно, что при
решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
1) a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;
2) при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;
3) при .
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при
.
Пример 2. Решить
уравнение
Очевидно, что , а , то
есть х=b/2, но , то
есть 2b/2, b4.
Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.
Пример 3. При каких а
уравнение имеет единственное решение?
Сразу хочу обратить
внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На
самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение
вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с
квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 , , а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений
первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение –
это значит:
1) определить множество
допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой
системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение
первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
При уравнение
имеет единственное решение , которое будет:
положительным, если или ;
нулевым, если ; отрицательным, если или .
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а
при b0
решений нет.
Пример 1. Для каждого
значения а решить уравнение ; найти при каких а
корни больше нуля.
Это уравнение не является
линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0
сводится к таковому: или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые
значения икс (х-1 и х0),
выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х0 а1, а
при х-1 а0.
Таким образом, при а1 и а0 х=а-1
и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 х=а-1;
при решений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решить
уравнение (1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых .
9х-3k=kx-12
(9 – k)x =3k-12
(2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение
не имеет смысла:
Подставив в (2) , получим:
.
Если подставим , то получим так же .
Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового
смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы
можем решать только уравнение (2).
1.
Если , то уравнение (2) и вместе с ним
уравнение (1) имеют единственное решение ,
которое будет:
а) положительным, если , при 4<k<9, с учётом : ;
б) нулевым, если ;
в) отрицательным, если и k>9 с учётом
, получаем .
2.
Если , то уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: а) при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x<0 при ;
б) при уравнение не имеет решений.
1.2 Решение линейных
уравнений с модулем
Для начала, стоит
вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа
называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен,
или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.
Чтобы понять решение
параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего
продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:
Пример 1. Решить
уравнение |x-2|=b.
Так как, по определению
модуля, |x-2|, то
при b<0 данное уравнение решений не
имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.
Если b>0, то решениями уравнения
являются числа x=2+b и x=2-b.
Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.
Пример 2. Решить
уравнение |x-a|=|x-4|.
Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
1) a;
2) 4.
1. Первый интервал:
;
Второй интервал:
,
т.е. если а<4, то .
Третий интервал:
а=4, т.е. если а=4, то .
2. Первый интервал:
а=4, .
Второй интервал:
a>4,т.е. если 4<а, то
Третий интервал:
Ответ: при а=4 х-любое;,
при а<4 .
Пример 3. Для каждого
значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка:
1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом
промежутке.
1. , .
При а=1 уравнение не
имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает
на промежуток x< – 3, т.е. , , , .
Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень при , а на остальных а корней не имеет.
2. . .
При а= – 1 решением
уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке .
Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. . .
При а=1 решением является
любое число, но мы решаем на . Если а1, то х=1.
Ответ: при ; при
а= – 1 и при а1 х=1;
при а=1 и при а1 х=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что
квадратное уравнение – это уравнение вида ,
где а, b и с – числа, причем, а0.
Условия параметрических
квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно
применять свойства обыкновенного квадратного уравнения :
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два
действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и
противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого
противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два
действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку
коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет
действительных корней.
Аналогично можно
представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях
справедливы следующие утверждения:
1.
Если поменять
местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут
обратны корням данного.
2.
Если поменять
знак коэффициента b, корни
полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3.
Если коэффициенты
а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти все
значения параметра а, для которых квадратное уравнение :
а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.
Данное уравнение по
условию является квадратным, поэтому а-1.
Рассмотрим дискриминант данного уравнения:
При а>-1 уравнение
имеет два различных корня, т.к. D>0,
при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может,
т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит
условию задачи.
Пример2. Решить уравнение
При а=0 уравнение
является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его
дискриминант D=4-4a.
При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не
имеет. При а=1 D=0, поэтому
уравнение имеет два совпадающих корня =-1.
При a<1, но а0,
D>0 и данное уравнение имеет два
различных корня
;
.
Ответ: и при
a<1, но а0;
х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.
По теореме Виета и .
Возведём обе части первого равенства в квадрат: .
Учитывая, что , а ,
получаем: или , .
Проверка показывает, что все значения удовлетворяют
условию.
Ответ:
2. Примеры решений
уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую
основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила
применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и
ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были
представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним
неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены
решения этих уравнений.
1. Определить значения k, при которых корни уравнения положительны.
Сразу можно выделить, что
, , из
этого следует, что при уравнение не имеет
смысла.
В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:
Итак, мы выяснили, что .
Выразим х: . Х будет больше нуля, если .
Учитывая, что , , . Ответ: , .
2. При каких значениях а
уравнение имеет равные корни?
Уравнение имеет равные
корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного
уравнения и приравняем его к нулю:
Ответ: при а=2 и а=2/35.
3. Для каждого значения
параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.
1)
х+3=0 2)
х+4=0
х= – 3 х= – 4
.
х+3 – –
+
х+4 – -4 +
-3 +
Рассмотрим 3 промежутка.
1.
а(-(х+3)+2(-(х+4)=2
-ах – 3а –2х – 8=2
х(- а – 2)=10+3а (при а- 2)
.
Теперь надо выяснить, при
каких а х попадает на промежуток .
Следовательно, на
промежутке уравнение имеет единственный корень при .
2. .
=> При а2 х= -3
При а=2 .
3.
=> При а -2 х= -3
При а= -2 .
Ответ: 1. при
2. при а2 х= -3
при а=2 .
3. при а -2 х= -3
при а= -2 .
Заключение
Итак, проделав эту
работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела
навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении
подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам
успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далось
сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за
рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или
иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе
задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на
экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес
учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения,
содержащие параметр.
Размещено на