Определение интегралов
Задание.
Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.
а)
Используемый
прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим
результат дифференцированием.
б)
В
этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала
Проверим
результат дифференцированием.
в)
Для
решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования "по
частям". Приведем формулу интегрирования по частям:
В
этом интеграле распишем составляющие следующим образом:
Продифференцируем
u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по
частям:
Подинтегральное
выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме
правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на
знаменатель.
Вернемся
к исходному интегралу:
Проверим
результат дифференцированием:
г)
интеграл дифференцирование уравнение парабола
Подинтегральное
выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать
ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на
знаменатель:
Подинтегральное
выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать
её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни
знаменателя
по
теореме Виета
Разложим
правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных
коэффициентов:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных
алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В:
Решая
СЛАУ находим значения коэффициентов:
Возвратимся
к исходному интегралу:
Результат
проверим дифференцированием:
Задание.
Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.
Перейдем
к замене переменных в определенном интеграле:
Задание.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.
Решение.
Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x),
слева - вертикальной прямой , справа - вертикальной прямой равна равна определенному
интегралу:
Так
как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке , построим чертеж. Точки , являются абсциссами точек пересечения графиков
этих двух функций.
Как
видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:
Абсциссы
точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем
получить решив в системе уравнения двух кривых
по
теореме Виета имеем: , . Теперь осталось только
применить формулу вычисления площади криволинейной области:
Найти
общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному
условию при
Решение:
имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде
произведения двух функций от х:
Запишем
исходное выражение в виде:
Выберем
функцию такой чтобы
выражение в скобках равнялось нулю:
Разделяя
переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:
Так
как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим
найденное значение в
уравнение для
определения u.
Таким
образом находим общее решение системы
Подберем
переменную С так чтобы выполнились начальные условия , что будет являться частным решением
дифференциального уравнения:
Полученное
частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным
начальным условиям.
Задание.
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям , при . (,)
Решение:
Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:
Структура
общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:
Теорема:
Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь
частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего
однородного уравнения:
Чтобы
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в
котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического
уравнения и по ним определить вид решения.
Характеристическое
уравнение в нашем случае есть:
имеет
действительные и различные корни: , .
Общий
интеграл есть:
Правая
часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: , где - многочлен
0-й степени, =2 (не является корнем
характеристического многочлена).
поэтому
частное решение следует искать в виде:
где
- постоянный
коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем
иметь:
Имеем
решение . Итак, частное решение нашли в виде:
Таким
образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:
Для
определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:
При
х=0 функция равна 2
При
х=0 первая производная функции равна -1:
Составим
систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2
Таким
образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде: