Рішення рівнянь із параметрами
Зміст
Введення
Рішення рівнянь із параметрами
Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із
властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями
Висновок
Література
Введення
Актуальність даної теми визначається необхідністю вміти
вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання
знань.
Ціль даної роботи розповісти про рішення рівнянь
із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й
тригонометричною функціями.
Для досягнення поставленої
мети необхідно вирішити наступні задачі:
дати визначення поняттям
рівняння з параметрами;
показати принцип рішення
даних рівнянь на загальних випадках;
показати рішення рівнянь із
параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й
тригонометричною функціями.
Для виконання поставленої
мети були використані наступні методи: використання літератури різного
типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по
математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008
році.
Об'єктом дослідницької
роботи було рішення рівнянь
із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.
Структура даної роботи містить у собі теорію, практичну частину,
висновок, бібліографічний список.
Рішення рівнянь із
параметрами
рівняння параметр
функція логарифмічна
Задачі з параметрами
відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури
в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з
тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь,
для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на
єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.
Більшість посібників
адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами
потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної
програми по математиці.
Якщо в рівнянні деякі
коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то
вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.
Природно, такий невеликий
клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим,
але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана
популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, -
ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на
вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних
виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень
впливають і на рішення, і на відповідь.
Основне, що потрібно засвоїти
при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо
хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу
думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.
Необхідність акуратного обігу
з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить
задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа,
вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.
Звичайно
в рівняння буквами позначають невідомі.
Вирішити
рівняння - значить:
знайти
множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння,
крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані
параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною
множиною рівнянь.
При
одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один
корінь, при третіх - два корені.
При
рішенні таких рівнянь треба:
1)
знайти множину всіх доступних значень параметрів;
2)
перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени,
що не містять невідомого в праву;
3)
привести подібні доданки;
4)
вирішувати рівняння ax = b.
Можливо
три випадки.
1. а
0, b – будь-яке дійсне число. Рівняння
має єдине рішення х = .
2. а
= 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х R.
3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b
рішень
не має.
Зробимо
одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис
відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би
«гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання
відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути
відбити у відповіді всі етапи рішення.
У
тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення.
Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.
Відповідь:
х = при а 0, b
– будь-яке дійсне число;
х -
будь-яке число при а = 0, b = 0;
рішень
немає при а = 0, b ? 0.
Рішення рівнянь із параметрами,
зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною
функціями
1. Знайдемо значення
параметра n, при яких рівняння 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1
не має коренів?
Рішення: перетворимо задане рівняння: 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1; 15·10 х + n· 10х + 1 =
n + 20; 10 х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 х = .
Рівняння не буде мати рішень
при ≤ 0, оскільки 10 х
завжди позитивно.
Вирішуючи зазначену
нерівність методом інтервалів, маємо: ≤
0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Відповідь: .
2. Знайдемо всі значення
параметра а, при яких рівняння lg2 (1 + х2) + (3а
– 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не має рішень.
Рішення: позначимо lg(1 + х2) = z, z >
0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2 + (3а – 2) · z + а2
= 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2 – 4а2
= 5а2 – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2
– 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.
Відповідь: (0,4; 2).
3. Знайдемо найбільше ціле
значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a – 7
має рішення.
Рішення: перетворимо задане рівняння:
cos2x + asinx = 2a
– 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7; sin2х - asinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · = 0.
Рішення рівняння (sinх – 2) ·
= 0 дає:
(sinх - 2) = 0; х належить
порожній множині.
sinх - = 0; х = (-1)n arcsin + πn, n Z
при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а
≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.
Відповідь: 6.
4. Указати найбільше ціле
значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 - 2х + а
= 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення: корінь заданого рівняння рівні: х1
= (1+ )
х2 = , при цьому а ≤ .
За умовою -1 < (1+ )
< 1 < <
3,
- 1 < < 1 >
> - 3.
Рішенням, що задовольняють
зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.
Нерівність - 3 < виконується при всіх а ≤ , нерівність <
3 – при - 2 < а ≤ . Таким чином,
припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення
параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1),
дорівнює 0.
Відповідь: 0.
2
- х = 0
дорівнює а?
Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, в = 2 - х
при цьому врахуємо, що функція в –
парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися
побудовою тільки його правої частини ( х ≥ 0). Також урахуємо, що тричлен
х2 - 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4
– мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
в = х2 - 8х + 7 з
мінімумом умін рівним - 9 при х хв = 4, і коріннями х1
= 1 і х2 = 7;
суцільними лініями зображена
частина параболи в = 2 – 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним
відбиттям щодо осі 0х частини параболи
х2 - 8х + 7 при 1
< х < 7.
(Ескіз лівої частини графіка
функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка
симетрично щодо осі 0у).
Проводячи горизонталі в = а,
а N, одержуємо k крапок її перетинання з
лініями ескізу графіка. Маємо:
а
|
0
|
[1; 6]
|
7
|
8
|
9
|
|
к
|
4
|
8
|
7
|
6
|
4
|
2
|
Таким чином, а = k при
а = 7.
Відповідь: 7.
6. Указати значення параметра
а, при якому рівняння
х4 + (1 – 2а)х2
+ а2 – 4 = 0 має три різних корені.
Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальному
випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки
знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді
нуля.
Корінь заданого рівняння
рівні:
х =
Одна з пар корінь буде
дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це
рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) = (2а –
1)2 = 17 – 4а
4а2 – 4а +1 = 17 –
4а а = 2.
Відповідь: 2.
Указати ціле значення
параметра p, при якому рівняння
cosx
– 2sinx = + має
рішення.
Рішення: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 р ≤ 2; поєднуючи
припустимі значення параметра р, маємо:
0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 вихідне
рівняння приймає вид – 2sinх = 2 х належить порожній множині ( у силу
обмеженості синуса).
При р = 1 вихідне
рівняння приймає вид:
cosx-2sinx = +1.
Максимальне значення різниці
(cosx-2sinx) становить
=
(- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =
sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = ,
що менше +1.
Отже, при р = 1
рівняння рішень не має.
При р = 2 вихідне
рівняння приймає вид
.
Максимальне значення різниці становить при
х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ).
Оскільки > +1,
то рівняння = буде
мати рішення.
Відповідь: 2.
8. Визначити число
натуральних n, при яких рівняння не має рішення.
Рішення: х ≠ 0, n ? 10.
Рівняння х2 – 8х –
n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 +
n(n-10) < 0 n2 -10n +16 < 0
(n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.
У знайденому інтервалі 5
натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що
загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
Відповідь: 6.
9. Знайти найменше ціле
значення параметра а, при якому рівняння
(0
< х < ) має рішення.
Рішення: за умовою 1 > sinx > 0 1 < <
+ ,
1 > cosx > 0 1 < <
+ ,
Отже, 2 < а < + .
Зводячи обидві частини
заданого рівняння у квадрат, маємо:
=
а2 =
а2
= а2.
Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:
z2 + 2z – а2
= 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант
D = 1 + а2 позитивний
при будь-якому а.
З огляду на, що 2 < а
< + , містимо, що найменше ціле значення
параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Висновок
Під час створення даного
проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами,
зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною
функціями » і якоюсь мірою одержали нові.
Література
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами.
– К., 2002.
2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у
вузи. – К., 1994р.
3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.
4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.
5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.