Дифференцирование в линейных нормированных пространствах
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Тюменский государственный университет
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информатики и математики
КУРСОВАЯ
РАБОТА
По дисциплине
«Математический анализ»
на тему:
Дифференцирование в линейных нормированных пространствах
Выполнила:
студентка 393 гр.
Жукова И.А.
Проверил:
доцент кафедры МиИ
Салтанова
Т.В.
Тюмень
2010
Оглавление
Введение
Основные понятия
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Формула конечных приращений
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
Дифференцируемые функционалы
Абстрактные функции
Интеграл
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора
Заключение1
Список литературы:
Введение
Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их
отображения.
Понятие
нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа.
Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х
годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся,
настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже
трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе
есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной
степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных
пространств.
Определение
1. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет
следующим условиям:
Й.
Для любых двух элементов однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем
1.
(коммутативность)
2.
(ассоциативность)
В
существует такой
элемент 0, что для
всех
4.
Для каждого существует
такой элемент ,
что .
II.
Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем
5.
6.
III.
Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:
7.
8.
Определение
2. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана
неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:
для
любого и любого
числа ;
для
любых (неравенство
треугольника).
Определение
3. Оператором называется отображение
,
где
- это линейные
пространства.
Определение
4. Оператор называется линейным,
если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:
Определение
5. Пусть - линейные
нормированные пространства,
– линейный оператор,
Линейный
оператор непрерывен в точке , если из того, что
следует, что .
Определение
6. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .
Определение
7. Линейный оператор называется ограниченным, если
Утверждение.
Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна
его ограниченности.
Определение8.
Наименьшая из констант M таких,
что , называется
нормой оператора А и обозначается .
В
частности, выполняется
Справедливо
следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора
Пусть
X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y
и определенное на некотором открытом подмножестве
О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой
ограниченный линейный оператор Lxж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство
То
же самое сокращенно записывают так:
А(ч
+ р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)
Из
(I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно
в этой точке. Выражение Lxh (представляющее
собой, очевидно, при каждом hX элемент
пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения
F в точке х. Сам линейный
оператор Lx называется
производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом
F'(x).
Если
отображение F дифференцируемо
в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом
деле, равенство
||L1h
— L2h|| =
o(h) для операторов
Li ж (X, У), i = 1,
2,
возможно,
лишь если L1= L2.
Установим
теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие
из определения производной.
Если
F(x) = y0 = const,
то F'(x) = О (т. е. F'(х)
в
этом случае есть нулевой оператор).
Производная
непрерывного линейного отображения L есть
само это отображение:
L '(x)=L (3)
Действительно,
по определению имеем
L(x
+ h)-L(x) = L(h).
3.
(Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных
пространства, U(x0)—окрестность точки х0Х, F — отображение этой окрестности в У, у0 = F(x0), V(yo) — окрестность точки
у0 У и G — отображение
этой окрестности в Z. Тогда, если отображение
F дифференцируемо
в точке хо, a G дифференцируемо
в точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0)
дифференцируемо в точке хо и
H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)
Действительно,
в силу сделанных предположений
А(ч0
+о)
= А(ч0) + Аэ (ч0) о +о1 (о ) и
G (уо + з) = G (уо)
+ G' (уо)
з +
о2 (з).
Но
F'(x0) и G'(yo) — ограниченные линейные операторы. Поэтому
H (х0 +
о) =
G (уо +
F' (x0) о + о1 о ) = G
(уо) + G' (у0) (F' (х0) о + +о1 о)) +
+о2
(F' (x0) о + о1
(о )) = G (у0)
+ G' (уо) F' (х0) о + о3 (о).
Если
F, G и Н —
числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования
сложной функции.
4.
Пусть F и G
— два непрерывных отображения, действующих
из X в Y. Если F
и G дифференцируемы в точке х0, то и отображения
F + G
и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем
(F
+ G)'(х0) = F'(х0) + G'(х0) (5)
(aF)'(x0) = aF'(x0).(6)
Действительно,
из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем,
что
(F+G)(x0 + h) = F(x0 + h) + G(x0 + h) = F
(х0) + G
(х0) + F' (х0) h +
+G' (х0) h + o1 (h) и
aF (x0 + h) = aF (x0) +
aF' (x0) h + o2 (h),
откуда
следуют равенства (5) и (6).
Слабый дифференциал (дифференциал
Гато)
Пусть
снова F есть
отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато
отображения F в точке
х (при приращении h) называется предел
DF(x,h)=t=0=,
где
сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.
Иногда,
следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F
в точке х.
Слабый
дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность
имеет место, т. е. если
DF (х, h) = F'c (х) h,
где F'c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется
слабой производной (или производной Гато).
Заметим,
что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря,
неверна.
Пусть
О — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержится
в О. Пусть, наконец, F есть
отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'c в каждой точке отрезка
[х0, x]. Положив Дх = х — хо
и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию
f(t) = (F(x0+t Дх)),
определенную
при .Эта функция
дифференцируема по t. Действительно, в выражении
можно
перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем
F'(t) = (F'c(x0+tДx) Дx)
Применив
к функции f на отрезке
[0, 1] формулу конечных приращений, получим
f(l) = f(0) +
f'(и), где 0< и <1,
(F(x)-F(x0))= ( F'c(x0+ и Дx) Дx)(7)
Это
равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем
|(F(x)-F(x0))| || F'c(x0+ и Дx)|| || Дx|| (8)
Выберем
теперь ненулевой функционал так, что
(F
(х) - F (х0)) =
||||
||
F (х) - F (хо)
||
(такой
функционал существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см.
п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем
||(F
(х) - F (x)|| || F'c(x0+ и Дx)|| ||Дx|| (Дx =x-x0) (9)
Это
неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых
функций. Применив формулу (9) к отображению
х
—Ю А (х)
— Аэс (хо) Дч
получим
следующее неравенство:
||F(x-F(хо)-F'c (хо)
Дx || || F'c(xo+иДx) -F'c(x0) |||| Дx || (10)
Связь между слабой и сильной
дифференцируемостью
Сильная
и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных
пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции
f(x) = f(x1,…,xn)
при
n 2 из существования
производной
при
любом фиксированном h = (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемость
этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно
h.
Простейшим
примером здесь может служить функция двух переменных
(11)
Эта
функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый
дифференциал существует и равен 0, поскольку
Вместе
с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11)
в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то
А(ч
+ ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и
Выясним
условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F
следует его сильная дифференцируемость.
Теорема
1. Если слабая производная F'c (х) отображения
F существует в некоторой
окрестности U точки
х0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х,
непрерывную в x0, то в точке
x0 сильная производная
F'(x0) существует
и совпадает со слабой.
Доказательство.
По е>0
найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:
||
F'c(xo + h)-F'c(xo) || е
Применив
к отображению F формулу
(10), получим:
|| F(x0 + h)-F
(хо) - F'c (хо)
h || ||F'c(xo +
иh)- F'c(xo)||
||h|| е||h||
Тем
самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной
F'(xо), так и ее
совпадение со слабой производной.
Дифференцируемые функционалы
Мы
ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в
другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения
при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности,
если У — числовая прямая, то F — принимающая
числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала
F в точке х0
есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства
X*.
Пример.
Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2.
Тогда
||x
+ h||2-||x||2
= 2(x, h) + || h ||2;
величина
2(x,h) представляет собой
главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,
F' (x) = F'c(x) = 2х.
Абстрактные функции
Предположим
теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу
х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная
F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет
собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной
функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость
совпадает с сильной.
Интеграл
Пусть
F — абстрактная функция
действительного аргумента t со значениями
в банаховом пространстве У. Если F задана
на отрезке [а, b], то можно определить
интеграл функции F по отрезку
[а,b]. Этот интеграл
понимается как предел интегральных сумм
,
отвечающих
разбиениям
ф
= е0Бе1Б ююю Бет = иб олхелбел+1ъб
при
условии, что max(tk+1-tk) 0.
Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом
Рассуждения,
в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения,
показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом
он обладает свойствами обычного риманова интеграла.
Производные высших порядков
Пусть
F — дифференцируемое
отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом xX
есть элемент из о (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных
операторов о (Х, У). Если это
отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения
F и обозначается символом
F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства
о (Х,
о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем,
что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию
в виде так называемых билинейных отображений.
Мы
говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если
каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент
у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:
1.
для любых из X
и любых чисел имеют
место равенства:
В (x1 + х2, ) =В (,)+В (х2,
),
В (x1, +)
= В (,)+В(x1, );
2.
существует такое положительное число М, что
||В(х,
х') || M||x||||x’|| (17)
при
всех х, х' X.
Первое
из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов;
нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности
аргументов.
Наименьшее
из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения
В и обозначается ||В||.
Линейные
операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают
обычными свойствами.
Таким
образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное
нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х2, У). При полноте
У полно и В(Х2, У).
Каждому
элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить
в соответствие элемент из В(Х2, У), положив
В(х,
х') = (Ах)х'.(18)
Очевидно,
что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает
пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство
B(X2,Y). Действительно, если
у=В(х, х') = (Ах)х', то
||y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,
откуда
||B||||A||(19)
С
другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xXотображение
х'→
(Ах)х' = В(х, х')
есть
линейное отображение пространства X в У.
Таким
образом, каждому xX
ставится в соответствие элемент Ах пространства
о(X, У); очевидно, что
Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент
А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом
ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и
||Ах||=
||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,
Откуда
||A||||B||(20)
Сопоставляя
(19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X2,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством
(18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ
пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х2,
У).
Мы
выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии
с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства
В(Х2, Y).
Очевидным
образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения
F, действующего из X в Y, определив п-ю производную
как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная
представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной,
можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие
элемент пространства N(Хп, У) n-линейных отображений
X в У.
При
этом под n-линейным отображением
понимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x(n)) между упорядоченными
системами (х', х", .. . , x(n)) элементов
из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хi при фиксированных
остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию
||
N (x', х", ...,
x(n)) ||М || х' || • || х"
|| ... || x(n) ||.
Таким
образом, п-ю производную отображения F можно
считать, элементом пространства N(Xn, У).
Дифференциалы высших порядков
Мы
определили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу hХ линейного
оператора F'(x), т. е.
dF = F'(x)h
Дифференциал
второго порядка определяется как
d2F
= F" (х) (h, h),
т.
е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению
F''(х) В(X2, У)
Аналогично
дифференциалом п-го порядка называется
dnF=F(n)(x)(h, h, h),
т.
е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h) переводится отображением F(n)(x).
Формула Тейлора
Сильная
дифференцируемость отображения F означает,
что разность
F(x+h)—F(x)
может
быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше
первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная
формуле Тейлора для числовых функций.
Теорема
2. Пусть F — отображение,
действующее из X в У, определенное в некоторой области ОX и такое,
что F(n)(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную
функцию от х в О. Тогда имеет место равенство
f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...
...
+F(n)(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)
где
Доказательство
будем вести по индукции. При n = 1 равенство
(21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n
и предположим, что равенство, получающееся
из (21) заменой n на n-1, уже
доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n
заменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем
F'(x
+ h) = F'(x) + F"(x)h
+ F"'(x)(h,h) + ...
…
+ F(n)(x)(h,…,h) + щ1 (х, h), (22)
где
||щ1 (х, h)|| = o(||h||n-1)
Интегрируя
обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим
, (21)
Где
.
из
(23) получаем
А(ч+
р)-А (х)= Аэ(ч)р
+ АЭ(ч)(рбр)+
ююю
…+F(n)(x)(h,…,h) + Rn, причем
||Rn||
Тем
самым наше утверждение доказано.
Формулу
(21) называют формулой Тейлора для отображений.
Заключение
В
этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному
функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения
этих понятий.
Некоторые
задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер;
они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный
анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных
пространствах.
К
нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область
математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли,
Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой
сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и
функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.
2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве.
Ярославль, 1978. – 118стр.
3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.,Наука, 1972. – 424стр.