Вычисление случайных величин
Задача №1.
Двумерная случайная
величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной
области ABC:
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотности
случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции 
.
Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или
следует, что 
Тогда плотность двумерной
случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность
составляющей X:
при 
, 
откуда плотность
составляющей X –
Вычислим плотность
составляющей Y:
при 
, 
при 
, 
Поэтому плотность
составляющей Y –
Найдем условную плотность
составляющей X:
при 
, 
случайные
величины X и Y зависимы.
Найдем математическое
ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию
случайной величины X:
Найдем
среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое
ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию
случайной величины Y:
Найдем
среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое
ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация: 
,
а значит и коэффициент
корреляции 
Следовательно, случайные
величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная
величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
|
Y
|
X
|
|
3
|
6
|
8
|
9
|
|
-0,2
|
0,035
|
0,029
|
0,048
|
0,049
|
|
0,1
|
0,083
|
0,107
|
0,093
|
0,106
|
|
0,3
|
0,095
|
0,118
|
0,129
|
0,108
|
Найти коэффициент
корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения
вероятностей одномерной случайной величины X:
|
X
|
3
|
6
|
8
|
|
|
0,213
|
0,254
|
0,270
|
0,263
|
Проверка: 
+ 
+ 
+ 
= 0,213
+ 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.
Таблица распределения
вероятностей одномерной случайной величины Y:
|
Y
|
-0,2
|
0,1
|
0,3
|
|
|
0,161
|
0,389
|
0,450
|
Проверка: 
+ 
+ 
= 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовые
характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое
ожидание случайной величины X:
2.
Математическое ожидание
случайной величины Y:
3. Дисперсия случайной
величины X:
4. Дисперсия случайной
величины Y:
5. Среднеквадратическое
отклонение случайной величины X:
6. Среднеквадратическое
отклонение случайной величины Y:
Таблица
распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
|
X-M(X)
|
3-M(X)
|
6-M(X)
|
8-M(X)
|
9-M(X)
|
|
|
0,213
|
0,254
|
0,270
|
0,263
|
Таблица распределения
вероятностей случайной величины Y-M(Y):
|
Y-M(Y)
|
-0,2-M(Y)
|
0,1-M(Y)
|
0,3-M(Y)
|
|
|
0,161
|
0,389
|
0,450
|
Таблица распределения
вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:
|
[X-M(X)][Y-M(Y)]
|
1,260873
|
0,153873
|
|
P
|
0,035
|
0,083
|
|
-0,584127
|
0,235773
|
0,028773
|
-0,109227
|
-0,447627
|
|
0,095
|
0,029
|
0,107
|
0,048
|
|
-0,054627
|
0,207373
|
-0,789327
|
-0,096327
|
0,365673
|
|
0,093
|
0,129
|
0,049
|
0,106
|
0,108
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Найдем ковариацию:
Найдем коэффициент
корреляции:
Ответ: -0,028.
Задача №3
|
Рост, см
(X)
|
Вес, кг (Y)
|
|
22,5-25,5
|
25,5-28,5
|
28,5-31,5
|
31,5-34,5
|
34,5-37,5
|
|
117,5-122,5
|
1
|
3
|
-
|
-
|
-
|
|
122,5-127,5
|
-
|
2
|
6
|
1
|
-
|
|
127,5-132,5
|
-
|
1
|
5
|
5
|
-
|
|
132,5-137,5
|
-
|
1
|
6
|
7
|
2
|
|
137,5-142,5
|
-
|
-
|
1
|
4
|
2
|
|
142,5-147,5
|
-
|
-
|
1
|
1
|
|
147,5-152,5
|
-
|
-
|
-
|
-
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты обследования
50 учеников:
По данным таблицы
требуется:
§
написать
выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
§
вычертить их
графики и определить угол между ними;
§
по величине угла
между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всех
учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес –
равным середине соответствующего интервала, получим так называемую
корреляционную таблицу:
Для роста X получим:
1. Выборочная средняя
–
2. Дисперсия
выборочная исправленная –
Для веса Y получим:
1. Выборочная средняя -
2. Дисперсия выборочная исправленная –
Найдем выборочный
коэффициент корреляции:
Найдем значения
коэффициентов регрессии:
Уравнение прямой
регрессии Y на X имеет вид:
Уравнение прямой
регрессии X на Y имеет вид:
- угол между прямыми регрессии.
Следовательно, связь
между X и Y не тесная.
