Экспоненциальный фильтр
Лабораторная работа № 2
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ
ФИЛЬТР
Цель работы
Ознакомиться с аналоговым и дискретным
вариантами реализации фильтра
Общие сведения
В аналоговом
варианте экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено и
описывается дифференциальным уравнением
, (15)
где и –
параметры настройки фильтра.
Уравнению (15)
соответствует амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)
, (16)
где – постоянная времени фильтра.
Из условия (3) (математическое ожидание) для
статического режима определяют оптимальное значение параметра . Коэффициент усиления
. (17)
Определение оптимального
значения параметра производится
из условия (4) (среднеквадратичная
погрешность оценки).
Для этого предварительно
рассчитывают спектральную плотность погрешности
экспоненциального фильтра по формуле (7) с учётом (16) и (17).
. (18)
Дисперсия погрешности
экспоненциального фильтра, согласно (6), (7), с учётом (16), равна
. (19)
При вычислении этого
интеграла оба слагаемых подынтегрального выражения раскладывают на простые
дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида
. (20)
После выполнения
соответствующих преобразований получают следующее выражение для дисперсии
погрешности фильтрации:
Оптимальное значение
параметра настройки получают из необходимого
условия экстремума функции :
. (22)
Откуда оптимальное
значение параметра
. (23)
Таким образом, функция имеет единственную точку
стационарности, тип которой зависит от знака второй производной при .
Можно показать, что при
выполнении условия
, (24)
особая точка является
минимумом функции , а при выполнении условия
(25)
в точке , функция достигает
максимума.
Таким образом, если
сочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (24),
то оптимальное значение параметра настройки определяется
по формуле (23).
Если это условие не
выполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра .
При программной
реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (15) заменяют
разностным уравнением вида
(26)
где i – номер цикла расчёта
Отсюда получают следующее
рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения в очередном i-том цикле расчёта:
(27)
К достоинствам алгоритма
экспоненциальной фильтрации относятся: малая трудоёмкость расчётов и малый
объём памяти ЭВМ, в которой должны храниться величина и
обновляемая в каждом цикле расчёта величина .
Пример выполнения лабораторной работы с использованием
пакета MCAD представлен в Приложении 3 к лабораторной работе №2. Здесь
представлен вариант расчёта трёхкратного сглаживания экспериментальных данных,
полученных от ИИК технологического процесса, построены графики.
Общая часть заданий
1. Ознакомиться с
теоретическим описанием
За начало отсчёта примем
следующие допущения:
Расчёт произвести для
трёх значений g:
g = 0,4; 0,5; 0,6
3. Провести анализ
полученных зависимостей на выполнение фильтрации полезного сигнала от помехи
4. Сделать выводы и дать
предложения о возможности применения сглаживающего фильтра для уменьшения помех