Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Контрольная работа
по теме «Техника интегрирования и приложения
определенного интеграла»
№ 314
Найти
неопределенные интегралы:
№ 335
Найти
определенный интеграл:
№ 356
Найти:
1.
точное значение интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница;
2.
приближенное значение интеграла по
формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и
производя вычисления с округлением до 4 десятичных знаков;
3.
относительную погрешность.
Решение:
1.
2.
, где
№ 377
Пределы
интегрирования по x от 0 до 4:
Пределы
интегрирования по y от 0 до 8:
Координаты
центра тяжести данной фигуры (2,4; 4,6).
№ 398
Вычислить
несобственный интеграл или установить его расходимость:
Несобственный
интеграл вычислен и равен 1, следовательно он сходится.
№451
1.
построить на плоскости хОу область
интегрирования;
2.
изменить порядок интегрирования и
вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования;
Решение:
1.
Пределы внешнего интеграла по
переменной х – числа 1 и 5 указывают на то, что область D
ограничена слева прямой х = 1 и справа х = 5.
Пределы внутреннего интеграла по переменной у –
указывают на то, что область D ограничена снизу параболой 
и сверху
линией 
.
2.
Чтобы изменить порядок интегрирования,
установим пределы интегрирования для внешнего интеграла по переменной у. Как
видно из рисунка, наименьшее значение которое принимает у в точке А(1;0) равно
0, а наибольшее значение в точке В(5; 4) равно 4. Т.О. новые пределы
интегрирования: 0 – нижний, 4 – верхний.
Определим
пределы для внутреннего интеграла по переменной х. Выразим х из уравнений:
