Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области
Практическая работа
На тему: «Вычисление наибольшего, наименьшего значения
функции в ограниченной области»
Цель
1. Ознакомление и
приобретение навыков вычисления наибольшего, наибольшего значения функции в
ограниченной области.
Основные вопросы:
1.Наибольшее и
наименьшее значение функции.
2.Ограниченная область.
3.Равномерно
непрерывная функция.
Если
функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной
области D, то в этой области найдется, по крайней мере, одна
точка
f(x0, y0, …) ³ f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая,
что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) £ f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее
значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее
значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по
крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена
и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m –
соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для
любой точки m Î [m, M] существует
точка
N0(x0, y0, …) такая, что
f(x0, y0, …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все
промежуточные значения между M и m. Следствием
этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков,
то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …),
непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена
в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно
неравенство
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена
и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно
непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e
существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2,
у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено
неравенство
Точки, в которых
функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой
области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если
наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то
это точки локального экстремума функции z = f ( x , y ) . Таким образом точки,
в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо
локальными экстремумами, либо граничными точками области. Следовательно, чтобы
найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x , y ) в ограниченной
замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках
области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе. Если
граница задана уравнением ϕ ( x , y ) = 0 , то задача отыскания
наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к
отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции
одной переменной, так как уравнение границы области D - ϕ ( x , y ) = 0
связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение ϕ
( x , y ) = 0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения
границы области D и подставить их в уравнение z = f ( x , y ) , то придем к
задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной.
Если уравнение ϕ ( x , y ) = 0 невозможно разрешить относительно одной из
переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача
сводится к отысканию условного экстремума.
Правило нахождения наибольшего
и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит
в следующем:
1. Найти все
критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в
них;
2. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;
3. Сравнить все
найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее.
Задачи:
1.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху
в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х =
1, х = 2, у = -1,5
Находим все критические
точки:
Решением системы
являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек
не принадлежит области D .
2.
Исследуем
функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА
На участке АВ:
Значения функции z(-1)
= -1,
На участке ВС:
Значения функции z(1) =
3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
z'y=4у+6,
4у+6=0, у=-3/2.
Значения функции
На участке АЕ:
Значения функции z(1) =
-3/4,z(2) = -4,5.
3.
Найти
наибольшее M и наименьшее m значения функции z
= 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x
= 0, y = 0, 4x+3y=12 .
Решение
1. Построим область D
(рис. 1.5) на плоскости Оху.
Угловые точки: О (0;
0), В (0; 4), А (3; 0).
Граница Г
области D состоит из трёх частей:
Примеры:
1. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = х2у + ху2 + ху в
замкнутой области, ограниченной линиями: х = 1, х = 2, у =
1,5
2. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области
D, ограниченной осью OY, прямой y = 2 и параболой y = x 2 при x ≥ 0
.
3. Найти наибольшее M и
наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D,
ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .
4. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой
области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у =
-1,5
5.
Найти
наибольшее и наименьшее значения функции в
треугольнике, ограниченном прямыми ,
,
.