Некоторые понятия высшей матаматики
Высшая
математика
Слушатель – Никифоров
Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр
осенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных в
виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы,
полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым
определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной
не имеет. . .
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу
столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1)
Если один столбец
или одна строка все нули, то | |=0.
2)
Если в матрице
имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3)
Треугольная
матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель
матрицы равен произведению диагональных элементов.
4)
При перемене
местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5)
Определитель
матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6)
Определитель
матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие
алгебраические дополнения.
Системы
уравнений с матрицами
Система 1 совместная,
если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная,
если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы
равен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальной
матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных
преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице
строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1) Нет решения
2) . n-число неизвестных
а) r=n – одно решение
б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная
алгебра
Проекция вектора на
ось:
Проекцией точки на прямую
называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком –
если угол тупой.
,
.
Скалярное произведение
векторов
.
Признак
перпендикулярности .
Векторное произведение
векторов
; ;
Объем пирамиды ;
Смешанное произведение
векторов
Если - углы, которые составляет вектор а
с координатными осями, то , откуда следует
Условие коллинеарности
ab=0 – перпендикулярность
- коллинеарность
abc=0 – компланарность
Аналитическая геометрия
Плоскость в
пространстве
Нормаль и точка привязки
однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
-
каноническое уравнение
(1)
Общее уравнение
плоскости
, где ,
где А, В, С – координаты
нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий
координаты.
Уравнение плоскости,
проходящий через точку перпендикулярно
вектору N=(A;B;C), имеет вид
Уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки записывают в виде
Уравнение плоскости в
отрезках
Нормальное уравнение
плоскости , где p – расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель
Расстояние от точки до
плоскости
Угол между плоскостями
Условия параллельности и
перпендикулярности ;
Прямые линии в
пространстве.
-уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой.
- каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой,
проходящей через 2 заданные точки
Угол между 2 прямыми
Взаимное
расположение 2 прямых.
1. (могут лежать и на одной прямой)
2. (могут скрещиваться)
3. . Если (3) , то скрещиваются.
Взаимное
расположение прямой и плоскости
1.
2.
3. Угол между прямой и
плоскостью
4.
Аналитическая
геометрия на плоскости.
Прямоугольная
декартова система координат на плоскости
Расстояние между 2
точками .
Если заданы точки А и В и
точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .
Уравнение прямой на
плоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой в
отрезках .
Уравнение прямой,
проходящей через 2 заданные точки .
Уравнение прямой,
проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ():
Расстояние от точки до
прямой
1.
2.
3.
Окружность
Уравнение окружности с
центром в M(a;b) радиусом R
Уравнение окружности с
центром в начале координат
Эллипс
Эллипс – геометрическое
место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости
(фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y) – произвольная
точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до
F1 и F2
(a – большая полуось эллипса). - малая полуось эллипса. .
Тогда каноническое
уравнение эллипса имеет вид .
Число называется эксцентриситетом эллипса
и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.
Гипербола
Гипербола –
геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек
(фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M (x;y) – точка
гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между
фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнение
гиперболы .
Гипербола пересекает ось
Ох в точках и , с осью Оу пересечений нет.
Гипербола имеет две
асимптоты, уравнения которых .
Эксцентриситет гиперболы .
Парабола
Парабола – геометрическое
место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось
абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а
начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение
имеет вид .
Эксцентриситет параболы - отношение расстояния от
точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
Общее
уравнение второго порядка
- общее уравнение кривой второго порядка
Параллельный
перенос: .
Поворот осей:
- инварианты. - дискриминант
Если >0, то уравнение эллиптического
вида
Если <0, то уравнение гиперболического
типа
Если =0, то уравнение параболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
(1) (B=0)
1. . Осуществляем параллельный перенос
для уничтожения членов .(**) ** подставляем в
(1)+
(2) (3)
а) >0 – эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``<0, то получим эллипс в виде , где
б) <0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0
A`=, , , тогда .
Если F0=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.
Если F0>0, то (гипербола)
Если F0<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)
в) (параболический тип) A`C`=0
(5)
а) D`=E`=0, пусть
б)
** в (5)
, где 2р=, если p>0, то парабола .
Теория
пределов
Число а называется
пределом последовательности xn для любого ()
сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены
последовательности отличаются от а меньше, чем на .
Предел последовательности
Под числовой
последовательностью понимают функцию , заданную на множестве
натуральных чисел т.е.
функцию натурального аргумента.
Число a называется пределом
последовательности xn (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое
число N=N(),
что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .
1) , - натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная
последовательность.
2) , где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn+1=xn+d – рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи.
(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и .
(*);
- эпсилон – окрестность числа а.
1. .
2.
Основные теоремы
пределах
1.
О единственном
пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
2.
Предельный
переход в неравенстве.
3.
О трех
последовательностях. О сжатой последовательности.