Основы научного исследования и планирование экспериментов на транспорте
ВВЕДЕНИЕ
ЗАДАНИЕ
ПОДГОТОВКА ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МОДЕЛИ
ВЫВОД
ЛИТЕРАТУРА
Современный этап научных исследований характеризуется
тем, что наряду с классическим натурным экспериментом все шире применяется вычислительный
эксперимент, проводимый на математической модели с помощью ЭВМ. Проведение
вычислительного эксперимента значительно дешевле и мобильнее, чем проведение
аналогичного натурного, и в ряде случаев вычислительный эксперимент является
единственным возможным инструментом исследователя.
Математический
аппарат теории планирования и обработки результатов экспериментов в полной мере
может быть применен как к натурным, так и к вычислительным экспериментам. В
данной контрольно-курсовой работе под проводимым экспериментом будем понимать
эксперимент на математической модели, выполненный при помощи ЭВМ.
Основная
задача теории планирования и обработки результатов экспериментов – это
построение статистической модели изучаемого процесса в виде Y
= f(X1, X2,…Xk), где X – факторы, Y – функция отклика.
Полученную функцию отклика можно использовать для оптимизации изучаемых
процессов, то есть определять значения факторов, при которых явление или
процесс будет протекать наиболее эффективно.
Объект исследования – одноцилиндровый четырехтактный дизельный двигатель ТМЗ-450Д.
Предмет исследования – процесс функционирования двигателя.
Цель исследования
– анализ влияния одного из параметров двигателя на показатели его работы и
получение соответствующей функциональной зависимости
Область планирования фактора X: Xmin = 0,012 м, Xmax = 0,055 м.
План проведения эксперимента:
№ опыта
|
xj
|
1
|
-1
|
2
|
-0,8
|
3
|
-0,6
|
4
|
-0,4
|
5
|
-0,2
|
6
|
0
|
7
|
0,2
|
8
|
0,4
|
9
|
0,6
|
10
|
0,8
|
11
|
1
|
Используя приведенные исходные данные и программу
расчета функционирования двигателя, проанализировать влияние радиуса кривошипа
(X) на величину максимальной температуры (Y)
рабочего тела в цилиндре двигателя. Получить функциональные зависимости между
указанными величинами.
Используя
указанный в задании план проведения эксперимента в кодовом виде, а также
область планирования фактора Х (Хmin, Хmax), подготовим план проведения данного однофакторного
эксперимента.
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
где - интервал (шаг) варьирования фактора;
- натуральное
значение основного уровня фактора;
- кодированное значение фактора x;
- натуральное значение фактора в j-ом опыте, где j = 1, 2,…, N; N – число опытов.
В дальнейших
расчетах будем использовать только натуральные значения факторов и функции
отклика.
Используя
выданную преподавателем программу расчета (математическую модель) проведем на
ЭВМ необходимое количество опытов N. Полученные
результаты представим в виде таблицы 1.
Табл. 1
№ опыта
|
Xj
|
Yj
|
1
|
0,012
|
3601,8348
|
2
|
0,0163
|
2712,4310
|
3
|
0,0206
|
4
|
0,0249
|
1855,3637
|
5
|
0,0292
|
1626,8644
|
6
|
0,0335
|
1461,2450
|
7
|
0,0378
|
1339,577
|
8
|
0,0421
|
1250,5135
|
9
|
0,0464
|
1173,9877
|
10
|
0,0507
|
1126,4606
|
11
|
0,055
|
1092,5573
|
Получим
функциональную зависимость Y = f(X) (уравнение регрессии) с помощью метода наименьших
квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующих функций использовать линейную (Y = a0 + a1X) и квадратичную зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2).
Посредством МНК значения a0, a1 и a2 найдем
из условия минимизации суммы квадратов отклонений измеренных значений отклика Yj от получаемых с помощью регрессионной модели,
т. е. путем минимизации суммы:
.
Проведем
минимизацию суммы квадратов с помощью дифференциального исчисления, путем
приравнивания к 0 первых частных производных по a0,
a1 и a2.
Рассмотрим
реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида Y = a0 + a1X. Получим:
;
.
Выполнив ряд
преобразований, получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
Решая эту
систему, найдем коэффициенты a1 и a0:
; .
Для
квадратичной зависимости Y = a0
+ a1X + a2X2 система
нормальных уравнений имеет вид:
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы
2.
Табл. 2
№ опыта
|
Xj
|
Yj
|
Xj2
|
Xj Yj
|
Xj2Yj
|
Xj3
|
Xj4
|
1
|
0,012
|
3601,8348
|
0,000144
|
43,222017
|
0,5186642
|
0,0000017
|
0,000000020736
|
2
|
0,0163
|
2712,4310
|
0,0002656
|
44,212625
|
0,7204216
|
0,0000043
|
0,0000000705433
|
3
|
0,0206
|
2195,4343
|
0,0004243
|
45,225946
|
0,9315227
|
0,0000087
|
0,0000001800304
|
0,0249
|
1855,3637
|
0,00062
|
46,198556
|
1,1503254
|
0,0000154
|
0,0000003844
|
5
|
0,0292
|
1626,8644
|
0,0008526
|
47,50444
|
1,3870645
|
0,0000248
|
0,0000007269267
|
6
|
0,0335
|
1461,2450
|
0,0011222
|
48,951707
|
1,6398091
|
0,0000375
|
0,0000012593328
|
7
|
0,0378
|
1339,577
|
0,0014288
|
50,63601
|
1,9139876
|
0,000054
|
0,0000020414694
|
8
|
0,0421
|
1250,5135
|
0,0017724
|
52,646618
|
2,2164101
|
0,0000746
|
0,0000031414017
|
9
|
0,0464
|
1173,9877
|
0,0021529
|
54,473029
|
2,52747781
|
0,0000998
|
0,0000046349784
|
10
|
0,0507
|
1126,4606
|
0,0025704
|
57,111552
|
2,8954543
|
0,0001303
|
0,0000066069561
|
11
|
0,055
|
1092,5573
|
0,003025
|
60,090651
|
3,3049858
|
0,0001663
|
0,000009150625
|
Σ
|
0,3685
|
19436,266
|
0,0143782
|
550,27311
|
19,206122
|
0,0006174
|
Для уравнения
регрессии вида Y = a0
+ a1X найдем
коэффициенты a1 и a0:
.
.
Для уравнения
регрессии вида Y
= a0 + a1X + a2X2
найдем коэффициенты a1 , a2
и a0:
Решим систему
нормальных уравнений способом Крамера:
.
.
.
Найдем
определитель (det) матрицы:
.
; ;
.
; ; .
Построим графики
функций Y = a0 + a1X ; Y = a0
+ a1X + a2X2 :
X
|
0,012
|
0,0163
|
0,0206
|
0,0249
|
0,0292
|
0,0335
|
0,0378
|
0,0421
|
0,0464
|
0,0507
|
0,055
|
Y=ao+a1X
|
2833,143
|
2619,9
|
2406,658
|
2193,415
|
1980,172
|
1766,929
|
1553,686
|
1340,443
|
1127,2
|
913,9573
|
700,7144
|
Y=a0+a1X+a2
X2
|
3215,923
|
2748,207
|
2330,714
|
1963,444
|
1646,397
|
1379,574
|
1162,973
|
996,5962
|
880,4424
|
814,5117
|
798,8043
|
Для проверки
адекватности модели определим абсолютные DYj и
относительные погрешности в каждом из опытов.
DYj
= - Yj;
,
где – расчетное значение функции (отклика) в
j-ой точке.
Данные
представим в виде таблицы 3.
Табл. 3
j
|
Y
= a0 + a1X
|
Y
= a0 + a1X + a2X2
|
DYj
|
|
DYj
|
|
1
|
-768,6918
|
-0,21342
|
-0,10714
|
2
|
-92,531
|
-0,03411
|
35,776
|
0,01319
|
3
|
211,2237
|
0,09621
|
135,2797
|
0,06162
|
4
|
338,0513
|
0,1822
|
108,0803
|
0,05825
|
5
|
353,3076
|
0,21717
|
19,5326
|
0,012
|
6
|
305,684
|
0,20919
|
-81,671
|
-0,05589
|
7
|
214,109
|
0,15983
|
-176,604
|
-0,13183
|
8
|
89,9295
|
0,07191
|
-253,9173
|
-0,20305
|
9
|
-46,7877
|
-0,0398
|
-293,5453
|
-0,25004
|
10
|
-212,5033
|
-0,1886
|
-311,9489
|
-0,27693
|
11
|
-391,8429
|
-0,35865
|
-293,753
|
-0,26887
|
Просматривая
значения этих погрешностей, исследователь может легко понять, какова
погрешность предсказания в точках, где проводились опыты, устраивают его или
нет подобные ошибки. Таким образом, путем сопоставления фактических значений
отклика с предсказанными по уравнению регрессии можно получить достаточно
надежное свидетельство о точностных характеристиках модели.
С помощью
анализа работоспособности регрессионной модели выясним практическую возможность
ее использования для решения какой-либо задачи. Это анализ будем проводить,
вычисляя коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения).
Коэффициент детерминации R2 вычисляется по формуле:
где – общее среднее значение функции
отклика.
.
Вычислим из N опытов необходимые суммы и данные представим в виде таблицы
4.
Табл. 4
|
Y
= a0 + a1X
|
Y
= a0 + a1X + a2X2
|
j
|
|
|
|
1
|
3366863,62479
|
1136803,18835
|
1952571,23764
|
2
|
893965,95743
|
853898,13319
|
3
|
183613,13271
|
409247,73017
|
312848,71152
|
4
|
7819,94095
|
181886,66602
|
37616,467
|
5
|
19619,28834
|
45470,75597
|
14328,99238
|
6
|
93445,31841
|
0,00002
|
147047,20405
|
7
|
182633,3815
|
45474,39816
|
359786,00774
|
8
|
266689,37885
|
181893,9504
|
589419,20142
|
9
|
351584,44898
|
409258,65674
|
602866,06259
|
10
|
410205,24101
|
727568,0054
|
801506,847
|
11
|
454782,94891
|
1136822,67874
|
759273,70255
|
Σ
|
6231222,66188
|
5001978,27246
|
5732724,84892
|
Для уравнения
регрессии Y = a0 + a1X:
Для уравнения
регрессии Y = a0 + a1X + a2X2:
Т.к. в
уравнениях регрессии оба уравнения принято считать
работоспособными. В уравнении регрессии вида Y = a0 + a1X + a2X2
, а в уравнении регрессии вида Y = a0 + a1X . Из
этого следует, что в уравнении вида Y = a0 + a1X + a2X2
найденное значение регрессии лучше объясняет вариацию в значениях Y (N >> (d+1)),
чем в уравнении вида Y = a0
+ a1X.
ВЫВОД
В процессе
выполнения контрольно-курсовой работы мы научились:
- разрабатывать
план проведения вычислительного эксперимента;
-
проводить вычислительный эксперимент на ЭВМ и накапливать статистическую информацию;
-
обрабатывать полученные статистические данные с помощью регрессионного анализа
и получать формульные зависимости, связывающие значение выходной переменной
(отклика) объекта с входными переменными (факторами);
-
графически представлять и анализировать полученные результаты (проверять
адекватность и работоспособность регрессионной модели);
- вычислять
коэффициент детерминации (квадрат корреляционного отношения) и анализировать
полученные результаты.
1. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Высшая школа, 1972.
2.Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.
– Минск, 1982.
3.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов
эксперимента. Справочное руководство. – М.: Наука, 1971.