Нахождение пределов функций
Контрольная
работа по дисциплине «Математика»
для
студентов заочного отделения
1. Найти пределы функций:
а) 
=; 
=
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 0;
б) 
= 
=
=
=
= 
= 
=.6290;
в) 
= 
=
= 
= 
= 0;
г) 
= 
= 
= 
=
= ln = 
= ln e*
= 1*56/3 = 18.667;
д) 
; 
= 
=
= 
= 
;
;
е) 
= 
= 
=
= 
= 
+ 
=
= 
- 
= 
- 
=
= 
= 2.
2. Найти производные 
функций:
а) 
= 
=
= 
;
б) 
= 
= 
= 
;
в) 
= 
=
= 
=
= 
=
= 
;
г) 
=
=
= 
=
= 
= 
;
д) 
= 
;
е) 
; 
;
;
ж) 
;
; 
;
; 
;
; 
;
;
з) 
.
= 
=
= 
= 
;
3. С помощью методов
дифференциального исчисления построить график функции
.
1 Знаменатель
положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку
разрыва. 
отсюда IхI=7
или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная,
следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х).
Периодической функция не является.
3. Поскольку область
определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4. Найдем асимптоты при 
в виде у = kх+b. Имеем:
k =
b = 
Таким образом при асимптотой служит прямая ОХ
оси координат.
Найдем левый и правый
пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
=-1,19,
.
В точке (-7:-1,19) первый
разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точки
пересечения с осями координат:
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем на
возрастание и убывание:
=
.
0;
Это говорит о том что
функция возрастающая.
Строим график:
4. Найти интегралы при
m=3, n=4:
а)
= 
= 
:
б)
= 
=
пусть t = arcsin4x,
получим 
= 
= 
.
в)
= 
= 
;
Решаем равенство и
получим:
;
аналогично второе
слагаемое
3
-
получим 
= 
подставим все в последнее
равенство
… = 
+ +9
+-
+С.
г)
.= 
= 
=
= 
=
=
= ….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332;
-625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28;
C=-12.28;
…= 
= =
= 2,527766.
5. Вычислить интегралы
или установить их расходимость при m=3, n=4:
а) 
= 
…
пусть t = arctg(x/4),
тогда 
и 
подставим и получим
… = 
;
б)
= 
= 
0,6880057.
6. Построить
схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, при m=3, n=4.
х = -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осью
ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба –
D(-1,5:-18,25)
или 
Точки пересечения двух
функций:
= 
и 
т.е.: 
и 
.
Площадь получиться из
выражения
= 
= 49,679.
График выглядит:
7. Найти частные
производные 
функций
при m=3, n=4:
а)
=
,
,
,
б)
. 
;
;
8. Найти дифференциал
функции: 
при m=3, n=4.
9. Для функции 
в точке 
найти градиент и производную по
направлению 
при m=3,
n=4.
в точке А(-4,3)
grad(z) =
(-0,1429:0,1875);
=grad(z)* (
)*cos
=…
cos
10. Найти наибольшее и
наименьшее значения функции при m=3, n=4
в области, заданной
неравенствами:
.
D=AC-B;
A=
B=
D=AC-B=(
)(
) - 
;
найдем
; 
Получим четыре точки: 1)
(2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11
> 0;
= -114,74 < 0 – нет экстремума функции,
= 45097,12 > 0 – min функции 
= 12,279;
= 1767.38 > 0 - min функции = 65,94;
= -160,296 < 0 – нет экстремума функции.
11. Изменить порядок
интегрирования при m=3, n=4:
.
= 
, так как 
подставляя x = 0 x = 4 в
последние уравнения получим
.
12. Сделать чертеж и
найти объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
и плоскостью, проходящей через точки 
, 
и 
.
А)
см. рис.
- получим уравнение
плоскости, через которую проходят точки А, В и С.
7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределы
интегрирования:
Для z – от 0 до
z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры
разбиваем пополам).
= 
=
=
= 
=
=232,109 куб.ед.,
13. Вычислить при m=3,
n=4 
, где 
, 
, а контур 
образован линиями 
, 
, 
.
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) =
3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=
= 
=32,4060912,
где пределы
интегрирования были получены:
и у = 9, то 
откуда х = 
2,52.
14. Даны поле 
и пирамида с вершинами 
, 
, 
,. Найти при m=3, n=4:
O(0:0:0), A(3:0:0),
B(0:4:0), C(0:0:7).
а) поток поля 
через грань 
пирамиды в направлении нормали,
составляющей острый угол с осью 
;
=
= 
=
=
=
=
=
=
=…
после подстановки и
преобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 - 3336,03*у -
293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
= 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 –
24y^3 + 42y*z^2.
б) поток поля через внешнюю поверхность
пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;
в) циркуляцию поля вдоль замкнутого контура ;
с помощью теоремы Стока
(обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней
нормали к поверхности пирамиды).
rot(F) = 
,
в нашем случае 
15. Найти первообразные и
вычислить значение определенного интеграла:
= 
.