Функционально-графический подход к решению задач с параметрами
Функционально-графический
подход к решению задач с параметрами
(Слайд 1 -2)
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это
связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций
и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой
логической культуры и хорошей техники исследования.
(Слайд 3)
Математическое понятие параметра
Параметром
называются
коэффициенты
при неизвестных или свободные члены, заданные не конкретными числовыми
значениями, а обозначенные буквами.
Решить
задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра
найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.
(к 4 слайду)
Выделяют несколько типов задач с параметрами..
Основные типы задач с параметрами:
Тип 1. Задачи, которые
необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного
промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти
количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо
найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимо
найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным
условиям.
(к 5 слайду)
Основные методы решения задач:
-аналитический, т е с помощью алгебраических выражений
-решение относительно параметра, т е в случае, когда
параметр считается еще одной переменной..
Наш доклад посвящен второму способу решения задач с
параметрами.
(к 6 слайду) построение графиков функций.
При этом важно знать основные правила построения функций,
которые можно рассмотреть на примере графика функции у = |х|.
График функции у = |х- а| получается из графика функции у =
|х| с помощью параллельного переноса вправо если а больше 0 на а единиц, и
влево если а меньше 0 на –а единиц.
График функции у = |х| + b получается из графика функции у =
|х| при параллельном переносе вверх на b единиц если b больше 0, и вниз на – b
единиц если b меньше 0.
Задача1
Задана
функция у = f(х). Нужно указать количество корней уравнения f(х) =а при всех
значениях параметра.
Данная задача
относится ко 2му типу задач с параметрами. Здесь возможно несколько случаев:
при а < - 5 уравнение имеет 1 корень, при а =- 5 - 2 корня,
при - 5<a<- 2- три корня, при а = - 2- четыре корня,
при - 2<a<1- пять корней, при а = 1 – четыре корня, при
1<a<3 – три корня, при а =3 – два корня и при а>3 – один
корень.
Задача 2
Следующая
задача относится к 4 типу задач с параметрами.
Нам
необходимо найти значения параметра, при которых множество точек, заданное неравенством
(1) является подмножеством множества точек, заданного неравенством (2).
Графиком
второго неравенства является область, ограниченная ромбом.
Наша
задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра а, при которых
множество точек сжимается до таких размеров, чтобы поместиться в этот ромб.
Неравенство
(1) равносильно системе (3).
Очевидно, что
при а ≤ 0 эта система задает неограниченное множество точек (рис 2),
которое не может поместиться внутри ромба.
Если а > 0,
то система задает фигуру, изображенную на рис 3.
Из
соображений симметрии для поиска значений параметра потребуем, чтобы уравнение
1 - ах² = 5/4 – 2х при а > 0 имело не более одного корня. Отсюда а ≥
4.
Задача 3
Данную задачу можно отнести к смешанному типу (3, 4)
Решение: Найдем абсциссы точек пересечения этих парабол, для
этого решим квадратное уравнение (). Его корнями являются числа x1 и x2. Затем
вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами. Площадь находим с помощью
определенного интеграла с пределами интегрирования от x1 до x2.
По условию площадь
фигуры = а, тогда выразим значение параметра b. Из условия, а и b больше 0
следует, что решение задачи существует при а принадлежащем интервалу (о;4/3)
Задача
5
Найти значение параметра к, при котором площадь фигуры
ограниченной линиями будет наименьшей?
Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы и
прямой. Для этого решим уравнение (3) или (4). Так как дискриминант > 0 то
уравнение при все значениях параметра будет иметь 2 корня x1 и x2. Вычислим
площадь фигуры ограниченную линиями 1) и 2). Ее так же вычисляем с помощью
определенного интеграла с пределами интегрирования x1 и x2.
Согласно т.
Виета для корней x1 и x2. уравнения
(2): сумма корней равна к-2, а их произведение -4.
Min площадь
достигается при к=2 и
Эту задачу можно отнести к 4 типу.
При каком
значении а площадь фигуры, ограниченной линиями x=2, равна
Заключение
Итак, мы рассмотрели часто встречающиеся типы уравнений и
способы их решений и сделали вывод, что наиболее эффективным является
графический метод решения задач с параметрами.
Изучение
физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто
приводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимости
от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых их
особенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практической
деятельности