Решение математических многочленов
РЕФЕРАТ
ТЕМА: МНОГОЧЛЕНЫ
Подготовила:
ученица 7 В класса школы № 58
Черняева Ирина
Многочлены
“Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных
вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки" Готфрид
Лейбниц (учёный, математик).
Труды ал - Хорезми (VIII - IX века), Абу Камила (IX - X века),
ал - Караджи (X - XI века), ал-Беруни (X - XI века), Омар Хайяма (XI - XII века),
ал-Каши (XIV - XV века) и других ученых стран ислама значительно способствовали
развитию алгебры, в частности теории уравнений. Однако в этих трудах
отсутствовали символы и знаки. Как содержание задачи и название величин, так и
все действия, решение и ответ записывались полностью словами.
Омар Хайям - (полное имя) Гияс ад-дин Фатх ибн Ибрахим Омар
Хайям Нишапури - Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi
al-Khayyami (английский перевод)
Родиной Омара Хайяма был Хорасан (г. Нишапур) - область,
расположенная к востоку и юго-востоку от Каспийского моря. На богатом
историческом материале исследователи доказали заслуги Омара Хайяма как ученого,
который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики и физики.
Список математических трактатов Омара Хайяма:
Трудности арифметики (Мушкилат ал-хисаб) - Местонахождение
рукописи не найдено;
Алгебраический трактат без названия - Тегеран;
Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (Рисала
фи-л-барахин 'ала маса'ил алджабр ва-л-мукабала) - Париж, Лейден, Лондон,
Нью-Йорк, Рим;
Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (Шарх ма
ашкала мин мусадарат китаб Уклидис) - Лейден.
Известные нам математические результаты Хайяма относятся к
трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и
учению о числе. Во всех этих направлениях Хайям имел в странах ислама
выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков
греческой и эллинистической науки - Аристотеля, Евклида, и других, но вместе с
тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и
определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.
Здесь мы дадим краткую характеристику математического
творчества Хайяма, отсылая за подробностями к нашим комментариям к переводам
его трактатов.
Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на
пять разделов:
1) введение;
2) решение уравнений 1-й и 2-й степени;
3) решение уравнений 3-й степени;
5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы
не имеется).
Хайям говорит: "Алгебраические решения производятся при
помощи уравнения, т.е. как это хорошо известно, приравнивание одних степеней
другим". Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях и именно о
тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы
впервые здесь находим и термин "алгебраисты" - ал-джабриййуна.
Такой же, риторической алгебра оставалась долгое время и в
Европе.
Еще в XVI веке уравнение, которое ныне записывается в виде:
х3+ах=Ь9
записывалось так: "Куб р некоторое количество вещей
равно числу".
Здесь буква р стоит вместо нашего знака +;
"некоторое количество" - вместо а;
"вещь" - вместо х,
"число" - вместо Ь.
В 1572 году видный итальянский математик Р. Бомбелли
записывал алгебраические выражения так, как показано ниже:
i I Р 2 X " P
2
21 P 41 P 4 g1P 41 P 4
4lp 8 з p 24 2 p 32
I p 16
I " P 2 W
5 I p io 4 p 40 3 p 80 2 p 80 i p 32,Что
означает (X + 2) 2 = X2 + 4 X 4 - 4, (x2+ 4x + 4) 2= x4 - b8x3
+ 24x2 + 32x + i6.
Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия,
тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость, но и возможность
введения и употребления кратких записей и буквенной символики стали особенно
очевидными после изобретения книгопечатания в XV веке.
Алгебру Диофанта, индийских и западноевропейских математиков
до XV - XVI веков, в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и
сокращения слов, иногда называют синкопирующей (от греческого "синкопе"
- сокращение).
В конце XVI века Виет, основываясь на частично разработанной
до него символике, стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты
при них, ввел общую буквенную символику. Однако записи уравнений Виета
содержали еще много слов вместо символов. Например, вместо знака равенства он
писал слово "равно" и т.п.
Алгебраическая символика совершенствовалась и продолжала
развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и других
ученых XVII - XVIII веков.
Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами
по философии и физике. В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл
понятия переменной величины и функции.
Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как
отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки,
описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная,
пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ
переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта
действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному,
хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон;
отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде
направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя
общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z) и коэффициентов (a,
b, с), а также обозначения степеней (х4, a5).
Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.
До середины XIX века центральной задачей алгебры было
нахождение формулы для корней уравнения P (x) = 0, где P - многочлен
произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых
математиков первой трети XIX века - Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и
П. Руффини (1765-1822).
Эварист Галуа
Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены
формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини
доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме
сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл
закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.
Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему
алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть
не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно,
являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о
вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и
приближенных вычислений.
В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в
многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными
значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать
символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая
логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).
Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества
стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).
Математически сообщение может быть записано в виде
последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и
единицы и т.п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде
радиосигналов).
Определение многочлена
Одночленом от некоторой буквы x называется
алгебраическое выражение a. xn
где
a - некоторое число,
x - буква,
n - целое неотрицательное число.
Одночлены называются подобными, если показатели
степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:
a. xn + bn. xn = (a + b). xn
Это действие называется приведением подобных членов.
Многочленом называется алгебраическая сумма
одночленов.
Любой многочлен от одной буквы x (ее часто называют переменной)
после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой
буквы в виде
F (x) = an. xn + an-1.
xn-1 + …+ a1. x + ao
F (x) = ao + a1. x +
…+ an-1. xn-1 + an. xn
Такая запись многочлена называется канонической.
Иными словами, многочлен - это сумма целочисленных степеней
некоторой величины, взятых с заданными коэффициентами.
Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к
Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к
любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы
указанной выше вынесением за скобки x всюду, где это возможно:
F (x) = (… ( ( (x + a1). x + a2). x + a3) …).
x + an
Порядок действии при вычислении f (x) определяется скобками
в этой формуле. Сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его
результат обозначим через p1, затем умножение и сложение внутри следующей пары
скобок (результат p2) и т.д.
p1= x + a1;
p2= p1x + a2;
p3= p2x + a3;
………………. .
pn= pn - 1x + an, f (x) = pn
всего n-1 умножений и n сложений.
Схема Горнера настолько совершенна, что вопрос о возможности
её улучшения не возникал два с половиной века и был задан "вслух" впервые
лишь в 1954 году!
Можно сделать вывод, что применение алгебраических правил настолько
универсальны, что могут применяться не только в точных науках, но и в
повседневной нашей жизни. Как в указанных выше примерах:
передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов
и т.д.).
Поэтому развитие науки, такой как алгебра, даёт нам огромную
помощь в нашей жизни и продвижении вперёд вместе научно-техническим прогрессом.
И хочется выразить огромную благодарность всем учёным, математикам, чей вклад
был внесён в развитие этой науки.