Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф.
Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ,
ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка
группы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научный
руководитель:
доктор
ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Оглавление
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности
групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых
взаимно просты, наследственно
насыщенным формациям
Заключение
Список использованных
источников
Перечень условных
обозначений
Рассматриваются
только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех
натуральных чисел;
--- множество всех
простых чисел;
--- некоторое
множество простых чисел, т. е. ;
---
дополнение к во множестве всех простых чисел; в
частности, ;
примарное
число --- любое число вида .
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
---
множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа , для которой ;
-группа --- группа , для которой ;
--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная
коммутаторами всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга
группы , т. е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая
нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини
группы , т. е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы ;
--- наибольшая
нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа группы ;
--- дополнение к
силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова
подгруппа группы ;
--- нильпотентная
длина группы ;
--- -длина группы ;
--- минимальное число
порождающих элементов группы ;
--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми
минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа
порядка .
Если
и ---
подгруппы группы , то :
--- является подгруппой группы ;
--- является собственной подгруппой группы ;
--- является нормальной подгруппой группы ;
---
ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп,
сопряженных с в ;
--- нормальное
замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми
сопряженными с подгруппами группы ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор
подгруппы в группе ;
--- централизатор
подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант
подгрупп и ;
--- подгруппа,
порожденная подгруппами и .
Минимальная
нормальная подгруппа группы --- неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- является максимальной подгруппой группы
.
Если
и ---
подгруппы группы , то:
--- прямое
произведение подгрупп и ;
--- полупрямое
произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны;
--- регулярное
сплетение подгрупп и .
Подгруппы
и группы
называются перестановочными, если .
Группу
называют:
-замкнутой, если
силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-сверхразрешимой, если
каждый ее главный фактор является либо -группой,
либо циклической группой;
нильпотентной,
если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой,
если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая
группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную
подгруппу.
-замкнутая группа ---
группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа ---
группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа ---
группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа
Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой
нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из ,
что .
Цепь
--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд
подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через
единицу.
Ряд
подгрупп называется:
субнормальным,
если для любого ;
нормальным,
если для любого ;
главным,
если является минимальной нормальной
подгруппой в для всех .
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа,
принадлежащая классу групп .
Формация
--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех
простых делителей порядков всех групп из ;
--- множество всех тех
простых чисел , для которых ;
--- формация,
порожденная классом ;
--- насыщенная
формация, порожденная классом ;
--- класс всех групп , представимых в виде
где
, ;
;
--- класс всех
минимальных не -групп, т. е. групп не
принадлежащих , но все собственные подгруппы
которых принадлежат ;
--- класс всех -групп из ;
--- класс всех
конечных групп;
--- класс всех
разрешимых конечных групп;
--- класс всех -групп;
--- класс всех
разрешимых -групп;
--- класс всех
разрешимых -групп;
--- класс всех
нильпотентных групп;
--- класс всех
разрешимых групп с нильпотентной длиной .
Если
и ---
классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и --- группа, то:
--- пересечение всех
нормальных подгрупп из таких,
что ;
--- произведение всех
нормальных -подгрупп группы .
Если
и ---
формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп
группы .
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная
характеристика формации .
-абнормальной
называется максимальная подгруппа группы , если
, где
---
некоторая непустая формация.
-гиперцентральной
подгруппой в называется разрешимая нормальная
подгруппа группы ,
если обладает субнормальным рядом таким, что
(1)
каждый фактор является главным фактором
группы ;
(2)
если порядок фактора есть степень простого числа , то .
--- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Известно,
что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим
можно сформулировать следующую проблему.
Проблема.
Классифицировать наследственные насыщенные формации с
тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы
взаимно простых индексов, принадлежит .
Именно
изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных
разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
1 Некоторые базисные леммы
В
данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при
доказательстве основного раздела данной главы.
1.1
Лемма
[18-A]. Пусть --- насыщенная формация, принадлежит и
имеет нормальную силовскую -подгруппу для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие
утверждения:
1)
;
2)
, где ---
любое дополнение к в .
Доказательство.
Так как , то , а
значит, . Так как и
формация насыщенная, то не
содержится в . Так как ---
элементарная группа, то по теореме 2.2.16, обладает
-допустимым дополнением в .
Тогда , .
Если , то отлична
от и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства , имеем
отсюда
следует и . Тем
самым доказано, что .
Докажем
утверждение 2). Очевидно, что является -корадикалом и единственной минимальной
нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
Очевидно,
. Если , то
отсюда
. Значит, .
Лемма доказана.
Пусть
и ---
произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через ---
множество всех групп, у которых все -подгруппы
принадлежат .
Если
--- локальный экран, то через обозначим локальную функцию, обладающую
равенством для любого простого числа .
1.2
Лемма
[18-A]. Пусть и ---
некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
--- наследственный класс;
2)
;
3)
если , то ;
4)
если , то ---
класс всех групп;
5)
если --- формация, а ---
насыщенный гомоморф, то --- формация;
6)
если , , --- некоторые классы групп и --- наследственный класс, то в том и только в том случае, когда ;
7)
если и ---
гомоморфы и , то .
Доказательство.
Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из
определения класса групп .
Пусть
, ---
нормальная подгруппа группы и --- -подгруппа
из . Пусть ---
добавление к в .
Покажем, что . Предположим противное. Пусть не входит в .
Тогда обладает максимальной подгруппой , не содержащей .
Поэтому , а значит, , что
противоречит определению добавления.
Так
как --- насыщенный гомоморф, то . Но тогда и . Значит, класс замкнут
относительно гомоморфных образов.
Пусть
. Пусть --- -подгруппа из .
Тогда , а значит ввиду определения класса , имеем
Так
как --- формация и ,
то отсюда получаем, что . Таким образом, .
Докажем
утверждение 6). Пусть , .
Если не входит в , то
получается, что каждая -подгруппа из принадлежит , а
значит, . Получили противоречие. Поэтому .
Покажем,
что . Предположим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в .
Пусть --- собственная подгруппа из . Так как классы и
--- наследственные классы, то . Ввиду минимальности имеем .
Значит, . Получили противоречие. Поэтому .
Докажем
утверждение 7). Пусть и --- -подгруппа из группы . Отсюда следует, что , . А
это значит, что . Отсюда нетрудно заметить,
что . Следовательно, .
Итак, . Лемма доказана.
1.3
Лемма
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, --- ее максимальный внутренний
локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал
любой минимальной не -группы является силовской
подгруппой, когда:
1)
;
2)
формация имеет полный локальный экран такой ,
что для любого из .
Доказательство.
Необходимость. Пусть --- максимальный внутренний
локальный экран формации . Пусть --- произвольное простое число из . Так как ---
насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, ---
формация.
Пусть
--- формация, имеющая локальный экран такой, что для
любого из .
Покажем , что . Согласно теореме 2.2.13, --- наследственная формация для любого из .
Отсюда нетрудно заметить, что для любого из . А
это значит, что .
Пусть
--- группа минимального порядка из . Так как ---
наследственная формация, то очевидно, что ---
наследственная формация. А это значит, что и . Покажем, что ---
полный локальный экран, т. е. для любого из .
Действительно. Пусть --- произвольная группа из . Отсюда .
Пусть --- произвольная -группа из . Так
как , то .
Отсюда . Так как ---
полный экран, то . А это значит, что . Следовательно, .
Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь, согласно
теореме 2.2.5, , где ---
единственная минимальная нормальная подгруппа группы ,
--- -группа
и . Так как и , то .
Отсюда . Противоречие. Итак, . Покажем, что для
любого из .
Пусть и --- -группа. Пусть ---
произвольная -подгруппа из .
Тогда . Отсюда . А
это значит, что . Противоречие.
Достаточность.
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как разрешима,
то по теореме 2.2.5,
где
--- -группа,
. Согласно условию, --- -группа.
А это значит, что --- -замкнутая
группа. Но тогда, --- -замкнутая
группа. Согласно лемме 4.1.1, --- силовская
подгруппа группы . Лемма доказана.
1.4
Лемма
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, --- ее максимальный внутренний
локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута, где ,
когда:
1)
;
2)
формация имеет полный локальный экран такой, что и
любая группа из является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство.
Необходимость. Пусть --- произвольная минимальная
не -группа. Согласно условию, --- бипримарная -замкнутая
группа, где . По лемме 4.1.1, . Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и для любого простого из .
Покажем, что любая группа из примарна.
Предположим противное. Тогда существует группа и . Пусть ---
группа наименьшего порядка такая, что .
Очевидно, что и .
Нетрудно заметить, что и имеет
единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18,
существует точный неприводимый -модуль , где ---
поле из элементов.
Пусть
. Покажем, что .
Поскольку и , то .
Пусть
--- собственная подгруппа из . Покажем, что .
Пусть . Если , то . Следовательно, .
Пусть . Тогда ---
собственная подгруппа из . А это значит, что и . Так
как и ---
наследственная формация, то . Но тогда и , а значит и .
Пусть
теперь . Так как , то
и .
Отсюда следует, что . Итак, . Cогласно условию, бипримарна, что невозможно, т. к. .
Достаточность.
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,
где
--- -группа,
.
Согласно
условию, --- примарная -группа.
А это значит, что --- бипримарная -замкнутая группа. Но тогда --- бипримарная -замкнутая
группа. Лемма доказана.
В
данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация
наследственных насыщенных формаций , замкнутых
относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
2.1
Теорема
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, --- ее максимальный внутренний локальный
экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные
-подгруппы и индексы , взаимно
просты;
2)
любая минимальная не -группа либо бипримарная -замкнутая группа , либо группа простого порядка;
3)
формация имеет полный локальный экран такой, что и
любая группа из является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Предположим, что , где ---
характеристика формации . Покажем, что --- группа простого порядка. Пусть . Тогда существует простое число , . Так
как , то , что
невозможно. Итак, --- примарная -группа. Так как ,
то, очевидно, что .
Пусть
теперь . Рассмотрим случай, когда .
Покажем,
что имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу . Предположим противное. Тогда
содержит, по крайней мере, две
минимальные нормальные подгруппы и . Так как , то
в группе найдутся максимальные подгруппы и такие,
что , . Так
как и принадлежат
, , , то , . Так как ---
формация, то . Получили противоречие. Итак,
, где ---
единственная минимальная нормальная -подгруппа группы .
Покажем,
что --- примарная -группа,
где . Предположим, что существуют простые
числа , где .
Тогда в найдутся максимальные подгруппы и такие,
что --- -число,
--- -число.
Рассмотрим подгруппы и .
Очевидно, что индексы и взаимно
просты. Так как и , то . Согласно лемме 3.1.4, подгруппы и -субнормальны в .
Так как --- минимальная не -группа, и --- собственные подгруппы группы , то и . Так как , то
согласно условию, . Получили противоречие.
Покажем,
что --- -группа,
где . Предположим, что . Так как , то
согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгуппа группы . Рассмотрим подгруппу . Так как ---
собственная подгруппа и , то . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа . Очевидно, что ---
-субнормальная подгруппа . По лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа группы . Так как , то из и
условия теоремы следует, что . Получили
противоречие. Итак, --- -группа.
Тогда --- бипримарная -замкнутая
группа, где .
Пусть
. Рассмотрим фактор-группу . Так как ,
то, как показано выше, --- бипримарная -замкнутая группа. Отсюда следует, что --- бипримарная -замкнутая
группа.
Из
леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем,
что из 3) следует 1).
Пусть
--- группа наименьшего порядка такая,
что , где и --- -субнормальные
-подгруппы группы взаимно простых индексов, то . Так как ---
разрешимая группа и , где ,
то нетрудно заметить, что , где и ---
холловские подгруппы группы , и , , где , --- некоторые элементы группы .
Пусть
--- собственная подгруппа группы . Покажем, что .
Так как --- разрешимая группа, то согласно
теореме Ф. Холла [63], , где ,
, где , --- некоторые элементы из . Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как и , а ---
наследственная формация, то и --- -субнормальные
подгруппы и соответственно.
Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что и --- -субнормальные
подгруппы группы , а значит, согласно лемме
3.1.4 и в . Так как , то
по индукции, получаем, что . А это значит, что --- минимальная не -группа.
Если
--- группа простого порядка, то ее
нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых
индексов.
Пусть
--- бипримарная группа. Тогда согласно
лемме 4.1.4, . Согласно лемме 4.1.1, . А это значит, что все подгруппы группы
, содержащие -абнормальны, т. е. группа не представима в виде произведения
собственных -субнормальных -подгрупп
взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.
Напомним,
что формация называется 2-кратно насыщенной, если
она имеет локальный экран такой, что --- насыщенная формация для любого
простого числа из .
Следующая
теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2
Теорема [18-A].
Пусть --- наследственная 2-кратно насыщенная
формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные
-подгруппы из взаимно
простых индексов;
2)
--- формация Шеметкова;
3)
формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные
-подгруппы из ;
4)
.
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Рассмотрим случай, когда . Как и в теореме 4.2.1 можно показать,
что либо --- группа простого порядка , где ,
либо , где и из . А
также нетрудно показать, что --- единственная
минимальная нормальная подгруппа группы . А
это значит, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный
экран формации . Если ,
то из полноты экрана следует, что . Так как ---
внутренний экран, то . А это значит, что . Противоречие. Итак, .
Покажем,
что . Предположим, что это не так. Тогда в найдется неединичная собственная
подгруппа . Рассмотрим подгруппу . Так как ---
минимальная не -группа и --- собственная подгруппа , то .
Покажем, что . Если это не так, то в существует неединичная нормальная -подгруппа .
Тогда . Так как , то , что невозможно. Согласно лемме 2.2.12,
. Отсюда .
Так как , то . А
это значит, что . Так как --- насыщенная формация, то . Следовательно, ,
что невозможно. Итак, , значит, --- группа Шмидта. Итак, --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, --- группа Шмидта.
Тот
факт, что из 2) 3) следует из теоремы 2.2.19;
3) 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема
доказана.
Очевидно,
что любая сверхрадикальная формация содержит любую
группу , где и -субнормальны
в и принадлежат и
имеют взаимно простые индексы в .
2.3
Пример.
Пусть --- формация всех сверхразрешимых
групп, а --- формация всех -групп, где , и ---
различные простые числа. Рассмотрим формацию . Так
как существуют минимальные не -группы, которые не
являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то не является формацией Шеметкова. Так
как , то согласно теореме 3.3.9, формация не является сверхрадикальной формацией.
С
другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа -замкнута,
где . Очевидно, что любая минимальная не -группа является
либо группой простого порядка, либо бипримарной -замкнутой
группой, где . Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что содержит любую группу , где , и принадлежат
и и --- субнормальны в .
В
главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных
результатов главы 2.
В
главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе
Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н.
Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых
групп получено описание наследственных насыщенных формаций , содержащих любую группу , где , и принадлежат
и и --- -субнормальны
в , теорема 2.1 .
Доказано,
что любая разрешимая --- наследственная 2-кратно
насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является
сверхрадикальной, теорема 2.2 .
1. Васильев, А.Ф. О
максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //
Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.
ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып.
5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О
решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.
Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т
математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С.
27--54.
3. Васильев, А.Ф. О
влиянии примарных -субнормальных подгрупп на
строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во
обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:
Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. --
(Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О
локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. --
1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.
Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. --
1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О
произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, №
3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О
некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //
Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О
двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994.
-- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь
(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. --
Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь
(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. --
Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В.
Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.
Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, №
1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С.
Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные
группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О
произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.
Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.
БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск:
Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.
Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А.
Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф.
Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.
Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О
минимальных не -группах / В.Н. Семенчук //
ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. --
1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук //
Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп
/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики
АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук //
Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т
математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.
Характеризация локальных формаций по заданным
свойствам минимальных не -групп / В.Н.
Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения
конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984.
-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.
Описание разрешимых минимальных не -групп для
произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. --
1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О
разрешимых минимальных не -группах / В.Н.
Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С.
16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль
минимальных не -групп в теории формаций /
В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н.
Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.
Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. --
1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.
Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук //
Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об
одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996.
-- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О
разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. --
1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,
Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп
/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). --
С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.
Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых
бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.
-- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.
Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН
Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.
Конечные группы, факторизуемые -достижимыми
подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та
им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об
одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. --
1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра
формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О
минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.
заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.
Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н.
Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О
специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С.
135--137.
40. Чунихин, С.А. О
специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С.
39--41.
41. Чунихин, С.А. О
группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938.
-- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О
существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по
теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.
Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. --
158 с.
44. Шеметков, Л.А.
Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А.
Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, №
8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О
произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. --
С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.
Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989.
-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,
все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31,
№ 3. -- С. 366--372.
49.
Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal
subgroups / A. Ballester-Bolinches, К.
Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50.
Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A.
Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. --
P. 948--958.
51.
Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.
Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. --
P. 905--917.
52.
Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.
Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A.
Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z.
-- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O.
The -normalizers of a finite soluble group /
R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р.
175--202.
55. Carter, R.
Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher,
T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K.
Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966.
-- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K.
Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes.
-- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E.
On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. --
Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W.
Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80,
№ 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The
Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer
Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W.
X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //
J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A
note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3.
-- P. 98--105.
63. Hall, P. On
the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. --
1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T.
On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P.
177--182.
65. Huppert, B.
Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.
Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
67. Kazarin,
L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. --
1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.
Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P.
90--93.
69. Kegel, O.H.
Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt
enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A.
Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno
// Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk,
V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk,
S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts,
August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson,
J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.
Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H.
Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.
-- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H.
Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.
-- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H.
Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. --
1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.