Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Министерство
образования Республики Беларусь
Учреждение
образования
«Гомельский
государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический
факультет
Кафедра
алгебры и геометрии
Курсовая
работа
Классификация
групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Исполнитель:
Студентка
группы М-32 Лапухова А.Ю.
Научный
руководитель:
Канд.
физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель
2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Классификация групп с
перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
4. Группы, в которых
максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных
обозначений
В
работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются
обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются
простые числа.
Будем
различать знак включения множеств и знак строгого
включения ;
и - соответственно знаки пересечения и
объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- множество всех
натуральных чисел;
- множество всех
простых чисел;
- некоторое множество
простых чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в
частности, ;
примарное
число - любое число вида ;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- единичный элемент и
единичная подгруппа группы ;
- множество всех
простых делителей порядка группы ;
- множество всех
различных простых делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
- подгруппа Фраттини
группы , т.е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга
группы , т.е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая
нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная
коммутаторами всех элементов группы ;
- -ый коммутант группы ;
- наибольшая
нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к
силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская
подгруппа группы ;
- группа всех
автоморфизмов группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы
;
нетривиальная
подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. для
любого автоморфизма ;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор
подгруппы в группе ;
- нормализатор
подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа
порядка ;
- ядро подгруппы в группе ,
т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если
и -
подгруппы группы , то:
- прямое произведение
подгрупп и ;
- полупрямое
произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и изоморфны.
Группа
называется:
примарной,
если ;
бипримарной,
если .
- подгруппа,
порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу
называют:
-замкнутой, если
силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если
существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы,
либо -группы;
-сверхразрешимой, если
каждый ее главный фактор является либо -группой,
либо циклической группой;
нильпотентной,
если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,
если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы
такая, что нильпотентна.
разрешимой,
если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой,
если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми
числами.
Группа
Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой
нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из ,
что .
Минимальная
нормальная подгруппа группы - неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь
группы - произведение всех минимальных
нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы .
Экспонента
группы - это наименьшее общее кратное порядков
всех ее элементов.
Цепь
- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь,
состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд
подгрупп называется:
субнормальным,
если для любого ;
нормальным,
если для любого ;
главным,
если является минимальной нормальной
подгруппой в для всех .
Классы
групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов,
обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е.
классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За
некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых
групп;
- класс всех
нильпотентных групп;
- класс всех
разрешимых групп;
- класс всех -групп;
- класс всех
сверхразрешимых групп;
- класс всех абелевых
групп экспоненты, делящей .
Формации
- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов
и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных
подгрупп из , для
которых . Если -
формация, то является наименьшей нормальной
подгруппой группы , факторгруппа по которой
принадлежит . Если -
формация всех сверхразрешимых групп, то называется
сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация
называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс
групп называется наследственным или замкнутым
относительно подгрупп, если из того, что следует,
что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение
формаций и состоит
из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть
- некоторая непустая формация.
Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной,
если .
Подгруппы
и группы
называются перестановочными, если .
Пусть
, -подгруппы
группы и .
Тогда называется:
(1)
-перестановочной с , если в имеется
такой элемент , что ;
(2)
наследственно -перестановочной с , если в имеется
такой элемент , что .
Пусть
- максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
Подгруппа
группы называется
-максимальной подгруппой или иначе
второй максимальной подгруппой в , если в найдется такая максимальная подгруппа , в которой является
максимальной подгруппой. Аналогично определяют -максимальные
(третьи максимальные) подгруппы, -максимальные
подгруппы и т.д.
Введение
Подгруппы
и группы
называются перестановочными, если . Подгруппа группы
называется перестановочной или
квазинормальной в , если перестановочна
с каждой подгруппой группы .
Перестановочные
подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к
анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение
перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было
доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной.
Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе
С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в
работе Кегеля -квазинормальными. В 60-70-х
годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных
подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории
перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат
Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы группы факторгруппа
нильпотентна. В другом направлении этот
результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что
любая -квазинормальная подгруппа является
субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими
подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил
следующим образом, если порождается своими -элементами и -подгруппа
группы -квазинормальна в , то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс
высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы
факторгруппа абелева.
Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.
Отметим,
что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно
использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М.
Пальчик исследовал свойства -квазинормальных
подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами
группы . Существенно усиливая результат работы,
Майер и Шмид доказали, что если - квазинормальная
подгруппа конечной группы , то факторгруппа содержится в гиперцентре факторгруппы , где -
ядро подгруппы . Отметим, что аналогичный
результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен
лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на
случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа
конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные
успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах
послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных
систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая
группа сверхразрешима, если все максимальные
подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны с
силовскими подгруппами из , и группа разрешима, если в ней имеется такая
силовская подгруппа и такое ее дополнение , что перестановочна
со всеми максимальными подгруппами из . Эти
два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с
исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп
силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких
подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными
системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их
совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы при условии, что , где все подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Идеи этой работы и, в частности,
отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в
исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны
многие важные классы конечных и бесконечных групп .
В
работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия
перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы и называются -перестановочными,
где , если в имеется
такой элемент , что .
Используя понятие -перестановочности можно
охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих
. Согласно, группа является сверхразрешимой тогда и только
тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны
со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов
разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким
образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно
перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена
данная работа.
1. Классификация групп
с перестановочными
обобщенно
максимальными подгруппами
Результаты,
связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых
содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с
тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств
максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа нильпотентна
тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны;
сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных
подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной
подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что
максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности
группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом
направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа
разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой
класс нильпотентности силовских -подгрупп не
превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все
максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых
все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По
мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались
также попытки изучения и применения -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. При этом,
как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с
различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в
эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в
зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, -максимальных
и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому
направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у
которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот
результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость
разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со
всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А.
Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна
со всеми максимальными подгруппами этой группы .
Оказалось,
что группы, у которых все -максимальные
подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с
таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом
случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные
подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты
получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание
разрешимых групп, у которых все их -максимальные
подгруппы сверхразрешимы.
В
последние годы получен ряд новых интересных результатов о -максимальных подгруппах, связанных с
изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в
которых на языке -максимальных подгрупп
получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает
свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется
одно из двух условий или .
В работе доказано, что группа разрешима тогда и
только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа,
которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе,
а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских
подгрупп.
Пусть
и -
подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной
с , если в найдется
такой элемент , что .
В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе
условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности,
доказано, что: Группа нильпотентна тогда и
только тогда, когда для любой -максимальной
подгруппы группы ,
имеющей непримарный индекс, в найдется такая
нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .
Пусть
- набор всех -максимальных
подгрупп группы .
Как
показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности,
накладываемые на подгруппы из , существенно
определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что
группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех , где
. В связи с этим результатом естественно
возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной
задачи и посвящена настоящая глава.
Отмеченные
выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1].
Пусть - группа, - ее
подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная
подгруппа группы -перестановочна
со всеми максимальными подгруппами группы , то
группа метанильпотентна.
Доказательство.
Предположим, что теорема не верна, и пусть -
контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)
Для любой неединичной нормальной в подгруппы
факторгруппа метанильпотентна.
Рассмотрим
факторгруппу . Пусть -
произвольная максимальная в подгруппа и - произвольная -максимальная
подгруппа. Тогда максимальна в и
-максимальна
в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна
с подгруппой . Но тогда, согласно лемме ,
подгруппа -перестановочна
с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но и
поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).
(2)
- разрешимая группа.
Если
в группе существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема
очевидно справедлива. Предположим, что в группе все -максимальные подгруппы отличны от
единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы группы
, .
Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем .
Ввиду леммы ,
и, следовательно, . Значит, .
Поскольку , то и
поэтому по выбору группы мы заключаем, что - разрешимая группа. Это означает, что разрешима, и следовательно, - разрешимая группа.
(3)
Группа имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу и , где
и -
максимальная в подгруппа, которая не
является нильпотентной группой.
Пусть
- произвольная минимальная нормальная
подгруппа группы . Так как класс всех
метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ),
то - единственная минимальная нормальная
подгруппа в , причем . В
силу (2), является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть -
максимальная подгруппа в такая, что . Пусть .
Ясно, что . Так как , мы
видим, что . Это показывает, что и, следовательно, . Ясно, что и
поэтому по выбору группы , не является нильпотентной группой.
(4)
Заключительное противоречие.
В
силу (3), в группе имеется максимальная
подгруппа , которая не является нормальной
подгруппой в . Поскольку для любого , -
максимальная в подгруппа и - максимальная подгруппа в , то - -максимальная в подгруппа.
Если - нормальная подгруппа в , то .
Значит, не является нормальной подгруппой в . Покажем, что -
максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть -
такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда .
Значит, или .
Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так
как , то -
максимальная в подгруппа. Тогда для любого , -перестановочна с . Поскольку , то
ввиду леммы (6),
перестановочна с . Из максимальности подгруппы следует, что или
. Если , то
ввиду леммы ,
. Полученное противоречие показывает,
что . Тогда для
любого и поэтому .
Следовательно, . Это означает, что - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.
[2.1].
Каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с любой максимальной
подгруппой в тогда и только тогда, когда либо нильпотентна, либо - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа группы
не нормальна в ,
а максимальная подгруппа группы нормальна в .
Достаточность
очевидна. Следствие доказано.
[2.2].
Если в группе любая ее максимальная
подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
В
дальнейшем нам потребуется следующая теорема.
[2.2].
Пусть - группа, - ее
подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная
подгруппа группы -перестановочна
со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима
и для каждого простого .
Доказательство.
Предположим, что данная теорема не верна, и пусть -
контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)
- разрешимая группа.
Действительно,
если , то каждая -максимальная
подгруппа группы перестановочна со всеми
3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию ,
каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима.
Согласно известной теоремы Хупперта
о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, - разрешимая группа.
Пусть
теперь . Так как условие теоремы справедливо
для группы , то группа разрешима
и поэтому - разрешимая группа.
(2)
Группа имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу
и ,
где
- такая максимальная в подгруппа, что ,
и .
Так
как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию , то ввиду
(1), и поэтому в группе существует единственная минимальная
нормальная подгруппа . Из леммы
вытекает, что , где -
такая максимальная в подгруппа, что и .
Покажем, что делит .
Если не делит , то - -группа,
и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит
. Допустим, что .
Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы
автоморфизмов . Так как группа абелева, то -
сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное
противоречие с выбором группы показывает, что .
(3)
Заключительное противоречие.
Пусть
- -максимальная
подгруппа группы и -
максимальная подгруппа группы . Тогда и .
Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что является
максимальной подгруппой группы . Покажем, что - максимальная подгруппы группы и -
максимальная подгруппа группы . Так как , то -
собственная подгруппа группы . Предположим, что в существует подгруппа такая, что .
Тогда из того, что - максимальная подгруппа
группы , следует, что либо , либо .
Если , то ,
противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно, -
максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше,
мы видим, что и -
максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что
- -максимальная
подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент такой, что .
Следовательно,
и
поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с каждой максимальной
подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия ,
получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где
и .
Пусть - силовская -подгруппа
и - силовская -подгруппа
группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы такая, что . Так
как , то -
неединичная подгруппа. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа -перестановочна
с , и поэтому для некоторого мы имеем -
подгруппа группы . Поскольку , то -
нормальная подгруппа в группе . Так как , то -
нормальная подгруппа в группе . Получили
противоречие с тем, что - минимальная
нормальная подгруппа. Теорема доказана.
Для
доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.
Если
все максимальные подгруппы группы имеют простые
порядки, то сверхразрешима.
Доказательство.
Так как в группе все -максимальные
подгруппы единичны, то ввиду следствия
группа либо нильпотентна, либо , где -
подгруппа простого порядка и - циклическая -подгруппа,
которая не является нормальной в подгруппой ( - различные простые числа).
Предположим, что не является нильпотентной
группой. Тогда . Поскольку , то -
максимальная подгруппа группы и поэтому . Так как группа порядка разрешима, то группа разрешима. Значит, - нормальная в подгруппа
и поэтому главные факторы группы имеют простые
порядки. Следовательно, - сверхразрешимая
группа. Лемма доказана.
Если
в группе каждая максимальная подгруппа , индекс которой
является степенью числа , нормальна в , то - -нильпотентная группа.
Доказательство.
Предположим, что данная лемма не верна, и пусть -
контрпример минимального порядка. Тогда:
(1)
Для любой неединичной нормальной подгруппы группы
факторгруппа -нильпотентна.
Пусть
- максимальная подгруппа группы такая, что явяется
степенью числа . Тогда - максимальная в подгруппа и является
степенью числа . По условию, нормальна в , и
поэтому нормальна в . Так
как , то - -нильпотентная группа.
(2)
Группа имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу и - -подгруппа.
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа
группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную
формацию, то ввиду (1), и - единственная минимальная нормальная
подгруппа группы . Предположим, что - -подгруппа.
Тогда для некоторой -холловой
подруппы группы .
Поскольку ввиду (1), нормальна в , то -
нормальная подгруппа в группе , противоречие.
Следовательно, - элементарная абелева -подгруппа.
(3)
Заключительное противоречие.
Пусть
- максимальная подгруппа группы , не содержащая .
Поскольку абелева, то и
поэтому . Это влечет .
Следовательно, для некоторого . Значит, -
нормальная в подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.
Дополнением
к теореме [2.2] является следующий факт.
[2.3].
Пусть - группа, - ее
подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы -перестановочна
со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима
и для каждого простого .
Доказательство.
Предположим, что теорема не верна, и пусть -
контрпример минимального порядка.
(1)
- непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы (3),
условие теоремы выполняется для факторгруппы , то
по выбору группы , разрешима
и поэтому - разрешимая группа. Полученное
противоречие показывает, что и, следовательно,
любая максимальная подгруппа группы перестановочна со
всеми -максимальными подгруппами в .
Предположим,
что все -максимальные подгруппы группы единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы является делителем простого числа.
Следовательно, любая максимальная подгруппа группы либо
нильпотентна (порядка или ),
либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы
сверхразрешимы. Но ввиду теоремы ,
мы получаем, что разрешима. Это противоречие
показывает, что в группе существует
неединичная -максимальная подгруппа . Пусть -
максимальная подгруппа группы , содержащая . Тогда для любого , .
Если , то ввиду леммы ,
. Полученное противоречие показывает,
что . Тогда , что
влечет . Следовательно, -
неединичная нормальная подгруппа в и поэтому группа непроста.
(2)
Для любой неединичной нормальной в подгруппы
факторгруппа разрешима
(это прямо вытекает из леммы (3)).
(3)
Группа имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу и , где
- такая максимальная в подгруппа, что .
Пусть
- произвольная минимальная нормальная
подгруппа группы . Так как ввиду леммы ,
класс всех разрешимых групп c -длиной образует насыщенную формацию, то - единственная минимальная нормальная
подгруппа в , причем .
Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что .
Ясно, что . Поскольку -
единственная минимальная нормальная подгруппа в , то .
(4)
- разрешимая группа.
Допустим,
что - неразрешимая группа. Тогда и по выбору группы мы заключаем, что - прямое произведение изоморфных
простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди
-максимальных подгрупп группы .
Пусть
- произвольная -максимальная
подгруппа, содержащаяся в . Используя
приведенные выше рассуждения, видим, что .
Следовательно, порядок любой -максимальной
подгруппы группы , содержащейся в , равен простому числу. Ввиду леммы ,
- разрешимая группа. Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Так
- простое число, то либо , либо .
Пусть имеет место первый случай. Тогда , и
поскольку - простое число, то - максимальная подгруппа группы . Из того, что индекс равен простому числу, следует, что - максимальная подгруппа группы и поэтому - -максимальная подгруппа в . Так как -
неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа . Понятно, что -
-максимальная подгруппа в и поэтому по условию перестановочна с . В таком случае, . Но -
собственная подгруппа в и поэтому . Это противоречие показывает, что . Следовательно, .
Поскольку - простое число, то - максимальная подгруппа в . Из того, что группа есть прямое произведение изоморфных
простых неабелевых групп, следует, что в имеется
неединичная -максимальная подгруппа . Тогда -максимальна в и
следовательно, . Таким образом . Это влечет .
Полученное противоречие показывает, что -
разрешимая группа.
(5)
Заключительное противоречие.
Из
(3) и (4) следует, что - элементарная абелева -группа для некоторого простого числа и поэтому .
Покажем, что делит .
Если не делит , то - -группа,
и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит
. Ввиду леммы ,
.
Пусть
- произвольная максимальная в подгруппа с индексом , где и . Тогда , где
- силовская -подгруппа
группы .
Предположим,
что не является нормальной в подгруппой. Ясно, что - максимальная в подгруппа. Если -
нормальная подгруппа в , то .
Значит, не является нормальной подгруппой в . Пусть -
произвольная максимальная подгруппа группы .
Тогда - -максимальная
в подгруппа и поэтому - -максимальная
в подгруппа для любого . Поскольку по условию -перестановочна
с подгруппой и , то перестановочна с подгруппой и поэтому .
Ясно, что - -максимальная
в подгруппа. Так как и не
является нормальной подгруппой в , то и поэтому -
нормальная погруппа в . Следовательно, - нормальная в подгруппа.
Это влечет, что . Ввиду произвольного выбора , получаем, что каждая максимальная
подгруппа группы нормальна в . Значит, -
нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в нормальна
в . Предположим, что . Поскольку и разрешима, то в группе существует минимальная нормальная -подгруппа , где
. Так как -
максимальная в подгруппа, то . Это влечет, что . Следовательно, группа обладает главным рядом
и
поэтому . Полученное противоречие с выбором
группы показывает, что .
Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что .
Тогда . Это влечет , что
противоречие тому, что .
Следовательно,
- нормальная подгруппа в . Согласно лемме ,
- -нильпотентная
группа и поэтому . Ввиду произвольного выбора , получаем, что для
любого и .
Ясно, что , что противоречит . Теорема доказана.
Целью
данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна
со всеми -максимальными подгруппами.
Для
доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая
лемма.
[3.1].
Пусть - группа Шмидта. Тогда в том и только
том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна
со всеми 3-максимальными подгруппами группы ,
когда группа имеет вид:
(1)
- группа Миллера-Морено;
(2)
, где -
группа кватернионов порядка , - группа порядка .
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что - группа Шмидта, у
которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна
со всеми 3-максимальными подгруппами группы .
Докажем, что в этом случае, либо - группа
Миллера-Морено, либо , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка . Предположим, что это не так и пусть - контрпример минимального порядка.
Так
как - группа Шмидта, то ввиду леммы (I),
, где -
силовская -подгруппа в , - циклическая -подгруппа.
Покажем,
что - группа простого порядка. Предположим,
что это не так. Тогда в группе имеется собственная
подгруппа простого порядка. Ввиду леммы (IV),
и, следовательно, - нормальная подгруппа в группе и -
группа Шмидта.
Понятно,
что в группе каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными
подгруппами группы .
Поскольку
, то и
поэтому по выбору группы мы заключаем, что
либо - группа Миллера-Морено, либо , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка .
В
первом случае - абелева подгруппа и,
следовательно, - группа Миллера-Морено.
Полученное противоречие с выбором группы показывает,
что , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка . Тогда , где
- группа кватернионов порядка и -
циклическая группа порядка . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что .
Если , то .
Поскольку - группа Шмидта, то нильпотентна, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Полученное противоречие показывает,
что . Следовательно, -
максимальная подгруппа группы . Понятно, что - -максимальная
подгруппа группы . Пусть - подгруппа группы с индексом .
Ясно, что - -макимальная
подгруппа группы . Так как по условию и перестановочны,
то - подгруппа группы , индекс которой равен . Рассуждая как выше, видим, что - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает,
что - группа простого порядка.
Пусть
- произвольная максимальная подгрупа в и -
максимальная подгруппа в . Так как неабелева, то -
неединичная подгруппа. Из того, что - максимальная
подгруппа в , следует, что -
3-максимальная подгруппа в .
Ввиду
леммы (II), - максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в подгруппу ,
такую что . Тогда
и
- 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы и перестановочны.
Если , то используя лемму (V), имеем
Из
того, что получаем, что порядок делит .
Поскольку , то полученное противоречие показывает,
что - собственная подгруппа группы . Следовательно, нильпотентна,
и поэтому
Значит,
либо - максимальная подгруппа в , либо . В
первом случае получаем, что является
единственной максимальной подгруппой в . Это
означает, что - циклическая подгруппа, что
противоречит выбору группы . Следовательно,
первый случай невозможен. Итак, . Ввиду произвольного
выбора получаем, что -
единственная -максимальная подгруппа в группе . Из теоремы
следует, что - либо циклическая группа, либо группа
кватернионов порядка . Так как первый случай
очевидно невозможен, то - группа
кватернионов порядка . Поскольку подгруппа изоморфна погруппе группы автоморфизмов
, то .
Полученное противоречие с выбором группы доказывает,
что либо - группа Миллера-Морена, либо , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка .
Достаточность
очевидна. Лемма доказана.
.
В ненильпотентной группе каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1)
- группа Миллера-Морена;
(2)
- группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и -
группа порядка ;
(3)
и ,
(4)
,
где
- группа порядка , -
группа простого порядка , отличного от ;
(5)
,
где
- группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в
группе , -
циклическая -группа и ;
(6)
,
где
- примарная циклическая группа порядка , -
группа простого порядка , где и ;
(7)
,
где
и -
группы простых порядков и (), - циклическая -подгруппа
в (),
которая не является нормальной в , но максимальная
подгруппа которой нормальна в .
Доказательство.
Необходимость. Пусть - ненильпотентная группа, у
которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна
со всеми 3-максимальными подгруппами группы .
Если
в группе все максимальные подгруппы
нильпотентны, то группа является группой
Шмидта. Ввиду леммы, группа оказывается группой
типа (1) или типа (2).
Итак,
мы можем предположить, что в группе существует
ненильпотентная максимальная подгруппа.
Из
теоремы следует, что группа разрешима. Так как в
разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью
простого числа, то .
I.
.
Пусть
- некоторая силовская -подгруппа в и - некоторая силовская -подгруппа в , где
.
Предположим,
что в группе нет нормальных силовских подгрупп. Так
как группа разрешима, то в существует
нормальная подгруппа простого индекса, скажем
индекса , и она не является нильпотентной
группой. Действительно, если нильпотентна, то в
ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то - нормальная подгруппа в . Из того, что следует,
что - нормальная силовская -подгруппа в .
Полученное противоречие показывает, что не
является нильпотентной подгруппой.
Так
как является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные
подгруппы группы перестановочны с каждой
максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия ,
группа имеет вид , где
- группа простого порядка и -
циклическая -подгруппа.
Так
как
и
факторгруппа изоморфна подгруппе из , то больше
.
Если
- нильпотентная группа, то и поэтому согласно теореме Бернсайда ,
группа -нильпотентна.
Но тогда . Полученное противоречие показывает,
что является ненильпотентной группой. Так
как - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия ,
подгруппа имеет вид , где
- циклическая -подгруппа,
и, следовательно, . Полученное противоречие
показывает, что в группе существует
нормальная силовская подгруппа.
Пусть,
например, такой является силовская -подгруппа группы .
Пусть . Ясно, что .
Если
в группе существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то .
Ввиду следствия ,
- группа порядка .
Пусь
. Допустим, что -
циклическая подгруппа. В этом случае, группа является
группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что -
нециклическая подгруппа. Пусть - произвольная
максимальная подгруппа группы , отличная от . Если -
нильпотентная подгруппа, то группа нильпотентна,
противоречие. Следовательно, - группа Шмидта, и
поэтому - циклическая подгруппа. Таким образом,
группа относится к типу (3).
Пусть
. Тогда .
Следовательно, - -максимальная
подгруппа группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы . Если -
нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает,
что - группа Шмидта. Значит, - циклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы , отличная от .
Так как , то -
единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, .
Факторгруппа , где -
элементарная абелева подгруппа порядка и . Так как -
неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа, и поэтому
подгруппа циклическая, противоречие.
Предположим
теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе является
степенью числа .
Так
как в группе существуют собственные подгруппы
Шмидта, то . Пусть -
подгруппа Шмидта группы . Тогда для некоторого .
Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому не теряя общности мы может
полагать, что . Поскольку , то . Из
того, что , следует, что .
Так
как - максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы
группы перестановочны со всеми максимальными
подгруппами в . Используя следствие, мы
видим, что - группа простого порядка и - циклическая подгруппа, причем все
собственные подгруппы группы нормальны в . Следовательно, является
максимальной подгруппой группы .
Предположим,
что . Пусть -
максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что ,
следует, что - нильпотентная максимальная подгруппа
в . Значит, -
нормальная подгруппа в . Поскольку нормальна в , то - нормальная подгруппа группы . Так как , то
в группе существует 2-максимальная подгруппа такая, что .
Тогда - -максимальная
подгруппа в , и следовательно, - -максимальная
подгруппа в . Поскольку по условию перестановочна с , то
что
приводит к противоречию с максимальностью подгруппы .
Следовательно, .
Предположим
теперь, что . Допустим, что .
Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы и -
произвольная -максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому -
подгруппа группы . Используя приведенные выше
рассуждения видим, что . Полученное противоречие с
максимальностью подгруппы показывает, что . Пусть -
максимальная подгруппа группы , такая что . Так как , то - абелева и поэтому . Следовательно, .
Так как , то . Из
того, что
получаем,
что , и поэтому -
нормальная подгруппа в группе .
Предположим,
что в группе существует подгруппа порядка ,
отличная от . Из того, что порядок следует, что -
максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что
- -максимальная
подгруппа группы . Так как по условию подгруппы
и перестановочны,
то мы имеем
Следовательно,
- подгруппа группы , и поэтому
Это
противоречие показывает, что в группе существует
единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы ,
группа является либо группой кватернионов
порядка , либо является циклической группой
порядка . В первом случае, подгруппа порядка группы
содержится в центре группы , и
поэтому подгруппа не является группой Шмидта,
противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что .
Если , то подгруппа нормальна
в группе , и поэтому .
Полученное противоречие показывает, что .
Таким образом, - группа типа (6). Пусть
теперь . Если порядок ,
то , и поэтому -
группа типа (4). Предположим, что порядок .
Пусть - максимальная подгруппа группы и -
максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что -
неединичная подгруппа. Так как подгруппа нильпотентна,
то . Но как мы уже знаем, - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, .
Пусть - произвольная подгруппа порядка группы .
Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы и перестановочны.
Так как - абелева подгруппа, то - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то
является
нормальной подгруппой в и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что - группа типа (5).
II.
.
Пусть
- некоторая силовская -подгруппа группы , -
некоторая силовская -подгруппа группы и -
некоторая силовская -подгруппа группы , где -
различные простые делители порядка группы .
Пусть - произвольная нормальная максимальная
подгруппа группы . Так как - разрешимая группа, то индекс
подгруппы в группе равен
некоторому простому числу. Пусть, например, индекс равен
. Ввиду следствия ,
- либо нильпотентная подгруппа, либо
ненильпотентная группа порядка .
1.
Предположим, что - нильпотентная подгруппа.
Пусть - силовская -подгруппа
группы , -
силовская -подгруппа группы и -
силовская -подгруппа группы . Тогда .
Так как и , то
и -
нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс
подгруппы равен ,
следует, что и -
силовские подгруппы группы и поэтому и .
Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому, не теряя общности, мы можем
полагать, что . Следовательно, . Ясно, что не
является нормальной подгруппой в группе .
Если
подгруппы и нильпотентны,
то и , и
поэтому - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы и не
могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие
случаи.
а)
и -
группы Шмидта.
Так
как , то ввиду следствия ,
- подгруппа простого порядка и -
циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна
в . Аналогично видим, что - подгруппа простого порядка и -
нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в , и поэтому является
группой типа (7).
б)
Одна из подгрупп , является
нильпотентной, а другая - группой Шмидта.
Пусть
например, - группа Шмидта и - нильпотентная подгруппа. Из следствия
следует, что - группа простого порядка , -
циклическая группа и максимальная подгруппа из нормальна в . Так
как - нильпотентная группа, то . Из того, что следует,
что - нормальная подгруппа в группе . Значит, ввиду леммы ,
- нормальная максимальная подгруппа в
группе и поэтому .
Следовательно, - группа простого порядка .
Из
того, что - нильпотентная подгруппа и - циклическая группа следует, что - нормальная подгруппа в . Следовательно, -
нормальная подгруппа в группе , т.е. - группа типа (7).
2.
Предположим теперь, что - ненильпотентная
группа.
Из
следствия следует, что , где -
группа простого порядка и - циклическая группа, которая не
является нормальной в группе , но максимальная
подгруппа из нормальна
в . Так как -
характеристическая подгруппа в и - нормальная подгруппа в , то -
нормальная подгруппа в . Из того, что - нормальная максимальная подгруппа в
группе , следует, что -
группа простого порядка .
Покажем
теперь, что - нормальная подгруппа в группе . Так как , то - -максимальная
подгруппа группы . Пусть - -максимальная
подгруппа группы . Тогда - -максимальная
подгруппа группы для любого . По условию -
подгруппа группы . Поскольку порядок
делит
, то .
Таким образом для любого , т.е. . Так
как - нормальная подгруппа в группе , то , и
поэтому . Отсюда получаем, что - нормальная подгруппа в группе . Поскольку - -максимальная подгруппа, то согласно
следствия, - нильпотентная группа, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Таким образом, группа является группой типа (7).
Итак,
- группа одного из типов (1) - (7)
теоремы.
Достаточность.
Покажем, что в группе каждая -максимальная подгруппа перестановочна
со всеми -максимальными подгруппами группы .
Пусть
- группа типа (1) или (2). Ввиду леммы ,
в группе каждая -максимальная
подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами группы .
Пусть
- группа типа (3). Тогда и , где
- группа простого порядка , -
нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны. Пусть .
Так
как , то , и
поэтому в группе существует нильпотентная
максимальная подгруппа, индекс которой равен .
Пусть - произвольная нильпотентная
максимальная подгруппа группы с индексом . Тогда .
Так как - максимальная подгруппа группы , то -
нормальная подгруппа в , и следовательно,
Значит,
- единственная нильпотентная
максимальная подгруппа, индекс которой равен .
Пусть
- произвольная максимальная подгруппа в
и - максимальная
подгруппа в . Пусть -
произвольная максимальная подгруппа в , - максимальная подгруппа в , -
максимальная подгруппа в .
1.
Если и -
нильпотентные подгруппы группы индекса , то . Так
как - максимальная подгруппа группы , то -
нормальная подгруппа в , и следовательно, перестановочна с .
2.
Предположим, что является ненильпотентной
подгруппой. Так как , то .
Из того, что , следует, что - циклическая подгруппа. Так как , то -
максимальная подгруппа группы , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что ,
следует, что . Следовательно, - нильпотентная максимальная подгруппа
группы , индекс которой равен . Если -
максимальная подгруппа группы такая, что , то - -подгруппа, и поэтому - нильпотентная подгруппа. Пусть - произвольная максимльная подгруппа
группы , индекс которой равен
. Так как , то . Следовательно, для некоторого мы имеем .
Без ограничения общности можно полагать, что .
Так как - максимальная подгруппа циклической
группы , то , и
поэтому - нильпотентная максимальная подгруппа.
Следовательно, - группа Шмидта. Значит, и поэтому ,
где - циклическая -подгруппа.
Если
, то .
Так как - подгруппа циклической группы , то . Из
того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что -
нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому .
Это означает, что подгруппа перестановочна со
всеми 2-максимальными подгруппами группы .
Если
, то -
подгруппа циклической группы и поэтому - нормальная подгруппа в . Так как группа нильпотентна,
то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна
со всеми 2-максимальными подгруппами группы .
3.
Предположим теперь, что - нильпотентная
группа, такая что , и не
является нильпотентнай подгруппой. Тогда .
Рассуждая как выше видим, что - группа Шмидта. Так
как , то имеет
вид
,
где
- циклическая -группа.
Если
, то . Но
- подгруппа циклической группы и поэтому . Из
того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что -
нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому мы имеем , что влечет перестановочность подгруппы
со всеми -максимальными
подгруппами группы , в частности с .
.
Это
означает, что подгруппы и перестановочны. Если , то и
поэтому . Следовательно, подгруппы и перестановочны.
4.
Если , то подгруппа является
максимальной подгруппой группы индекса и -
2-максимальная подгруппа в . Но подгруппы такого
вида уже изучены.
5.
Если , то подгруппа является
максимальной подгруппой группы с индексом и -
максимальная подгруппа группы . Но как мы уже
знаем, максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы .
Это
означает, что в любом случае перестановочна со
всеми -максимальными подгруппами группы .
Легко
видеть, что в группе типа (4) каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .
Пусть
- группа типа (5). Легко видеть, что в
группе все -максимальные
подгруппы группы нормальны в группе . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .
Пусть
- группа типа (6). Пусть - максимальная подгруппа группы . Понятно, что либо , либо ,
где . Отсюда следует, что - единственная неединичная -максимальная подгруппа группы . Так как , то - нормальная подгруппа в группе , и поэтому подгруппа перестановочна со всеми -максимальнаыми подгруппами группы .
Пусть
- группа типа (7). Тогда , где -
подгруппа группы простого порядка , -
подгруппа группы простого порядка и -
циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной
подгруппой в группе , но максимальная подгруппа
группы нормальна в .
Покажем, что в группе любая -максимальная
подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не
верно, и пусть - контрпример минимального
порядка.
Предположим,
что . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что -
нормальная подгруппа группы . Следовательно, перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором
группы показывает, что .
Пусть
- подгруппа группы с индексом . Так
как , то -
неединичная подгруппа группы . Ясно, что - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа имеет
вид , где -
силовская подгруппа порядка , - силовская подгруппа порядка , -
циклическая силовская -подгруппа, которая не
является нормальной подгруппой в , но максимальная
подгруппа группы нормальна
в группе . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть -
произвольная -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что и
. Отсюда следует, что - -максимальная
подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы , и поэтому
Следовательно,
подгруппы и перестановочны.
Полученное противоречие с выбором группы заканчивает
доказательство теоремы.
Если
в группе любая ее -максимальная
подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
Классы
групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это
классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2),
(3), (5) - (7).
Хорошо
известно, что в группе автоморфизмов группы кватернионов имеется элемент порядка
. Пусть .
Тогда принадлежит типу (2). Действительно,
пусть - единственная подгруппа порядка 2
группы . Тогда и
поэтому . Понятно, что -
главный фактор группы и кроме того, . Таким образом, -
максимальная подгруппа группы и все максимальные в
подгруппы, индекс которых делится на 2,
сопряжены с . Следовательно, -
группа Шмидта.
Пусть
и
- группа порядка 7. Ввиду леммы ,
- абелева группа порядка 9. Поскольку изоморфна некоторой подгруппе порядка 3 из группы автоморфизмов , то -
группа операторов для с .
Пусть . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и не
является нормальной подгруппой группы .
Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы ,
отличные от , цикличны и не являются нормальными
подгруппами группы и поэтому - группа типа (3).
Пусть
теперь и -
такие простые числа, что делит . Тогда если -
группа порядка , то в группе ее автоморфизмов
имеется подгруппа порядка .
Пусть , где -
группа порядка . Тогда - группа операторов для с и
поэтому группа принадлежит типу (3).
Пусть
снова и -
группы, введенные в примере, и , где Пусть
- канонический эпиморфизм группы на факторгруппу .
Пусть - прямое произведение групп и с
объединенной факторгруппой (см. лемму ).
Пусть - силовская -подгруппа
группы . Тогда ,
где и поэтому
, где
Покажем,
что . Поскольку и , то .
Следовательно, и поэтому . Значит, . Так
как и , то и поэтому .
Пусть - неединичная подгруппа из . Ясно, что .
Пусть . Мы имеем
Значит,
и поэтому .
Следовательно, - нормальная погруппа в . Таким образом, группа принадлежит типу (5).
Пусть
- циклическая группа порядка , где -
простое нечетное число. Согласно лемме ,
. Пусть теперь -
произвольный простой делитель числа и - группа порядка в .
Обозначим символом полупрямое произведение . Пусть -
подгруппа порядка группы . Тогда и
поэтому если , то согласно лемме ,
, что противоречит определению группы . Следовательно, ,
что влечет . Значит, группа принадлежит
типу(6).
Покажем,
наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть и - группы нечетных простых порядков и соответственно
(). Тогда
и
поэтому найдется такой простой делитель числа
, который одновременно отличен от и .
Пусть , где -
группа порядка в .
Тогда группа принадлежит типу (7).
В
данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа
группы перестановочна со всеми ее -максимальными
подгруппами.
Для
доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие
леммы.
Класс
всех таких абелевых групп ,что не
содержит кубов, является формацией.
Доказательство.
Пусть
. И пусть -
произвольная нормальная подгруппа группы .
Тогда абелева. Так как по определению
экспоненты делит и
поскольку не содержит кубов, то не содержит кубов. Следовательно, .
Пусть
и .
Покажем, что
.
Пусть
. Тогда , где
и . Так
как , то по определению экспоненты . Из того, что и
не содержат кубов, следует, что не содержит кубов. Поскольку группа изоморфна подгруппе из , то делит
, и поэтому не
содержит кубов. Так как группа абелева, то . Следовательно, -
формация. Лемма доказана.
[4.1].
Пусть , где -
формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы , то .
Доказательство.
Предположим, что лемма не верна, и пусть -
контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)
Для любой неединичной нормальной подгруппы группы
, факторгруппа .
Пусть
- максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Тогда -
максимальная подгруппа группы и - -максимальная
подгруппа группы . Из того, что по условию
подгруппы и перестановочны,
мы имеем
Поскольку
, то и
поэтому по выбору группы мы заключаем, что .
(2)
имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу для некоторого простого , и где - максимальная подгруппа группы с .
Пусть
- минимальная нормальная подгруппа
группы . Ввиду леммы, -
разрешимая группа, и поэтому - элементарная
абелева -группа для некоторого простого . Так как -
насыщенная формация , то ввиду (1), - единственная
минимальная нормальная подгруппа группы и . Пусть -
максимальная подгруппа группы , не содержащая и . По
тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что абелева, следует, что и поэтому . Это
показывает, что , .
(3)
Заключительное противоречие.
Ввиду
(2), для некоторой максимальной подгруппы группы
имеем . Так
как , то .
Пусть - -максимальная
подгруппа группы . Тогда по условию, для каждого . По
лемме ,
и поэтому .
Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы единичная, и следовательно, - простое число для всех максимальных
подгруппы группы . Так
как для некоторого простого , то -
максимальная подгруппа группы . Это означает, что - -максимальная
подгруппа группы .
Предположим,
что . Тогда в имеется
неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы , и поэтому перестановочна с . Следовательно, ,
но . Полученное противоречие показывает,
что .
Поскольку
ввиду (1),
, то - нильпотентная подгруппа.
Из
того, что - неединичная нормальная подгруппа в
группе , следует, что .
Так
как факторгруппа изоморфна подгруппе группы
автоморфизмов и группа автоморфизмов группы простого
порядка является циклической группой порядка , то абелева.
Из того, что и не
содержит кубов, следует, что не содержит кубов.
Это означает, что . Следовательно, , и поэтому -
нильпотентная подгруппа. Таким образом, .
Полученное противоречие с выбором группы доказывает
лемму.
[4.1].
В примитивной группе каждая максимальная
подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1)
,
где
- группа порядка и -
группа порядка , где ;
(2)
,
где
- минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;
(3)
,
где
- группа порядка и -
группа порядка , где .
(4)
,
где
- группа порядка и -
группа порядка , где -
различные простые делители порядка группы .
Доказательство.
Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа разрешима,
то , где - примитиватор
группы и -
единственная минимальная нормальная подгруппа группы ,
. Ввиду леммы ,
.
Пусть
- произвольная максимальная подгруппа
группы и -
максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны.
Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо ,
либо . Ввиду леммы, первый случай не
возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого .
Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные
подгруппы единичны. Это означает, что либо ,
либо , либо .
1.
Пусть . Если , то
группа принадлежит типу (1). Если , то группа принадлежит
типу (3).
2.
Пусть . Допустим, что .
Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны.
Следовательно, . Полученное противоречие
показывает, что . В этом случае - группа типа (2).
3.
Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит, -
группа типа (4).
Достаточность
очевидна. Лемма доказана.
Поскольку
в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они
перестановочны со всеми -максимальными
подгруппами группы . Опишем теперь
ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна
со всеми -максимальными подруппами.
[4.2].
В ненильпотентной группе каждая ее
максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами группы тогда и только тогда, когда
либо где -
различные простые числа и либо - группа типа (2) из теоремы ,
либо - сверхразрешимая группа одного из
следующих типов:
(1)
,
(2)
,
где
- группа простого порядка , -
циклическая -группа с () и ;
(3)
,
где
- группа простого порядка , - -группа с (), и
все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
- группа, в которой каждая максимальная
подгруппа перестановочна с любой -максимальной
подгруппой группы .
Поскольку
- ненильпотентная группа, то в ней
существует максимальная подгруппа , которая не является
нормальной в . Тогда .
Следовательно, - примитивная группа, которая
удовлетворяет условиям леммы .
I.
Пусть , где и - простые числа (не обязательно
различные). Ввиду леммы ,
и .
Так
как , то содержится
в некоторой максимальной подгруппе группы . Пусть -
произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого подгруппы и перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то
либо , либо .
Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, -
единственная максимальная подгруппа группы , и
поэтому - примарная циклическая группа. Ввиду
произвольного выбора , -
примарная циклическая группа.
Пусть
. Тогда для
некоторого . Пусть -
силовская -подгруппа группы , -
силовская -подгруппа группы и -
силовская -подгруппа группы . Так как
,
то
- группа порядка и . Из
того, что факторгруппа сверхразрешима и подгруппа циклическая, следует, что - сверхразрешимая группа. Допустим, что
- наибольший простой делитель порядка
группы . Тогда и
поэтому . Значит, и , противоречие. Если - наибольший простой делитель порядка
группы , то рассуждая как выше видим, что и .
Полученное противоречие показывает, что -
наибольший простой делитель порядка группы .
Значит, - нормальная подгруппа в группе . Если , то и , где
- группа порядка , - -группа. Ясно, что - единственная -максимальная
подгруппа в . Поскольку -
неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа и поэтому - циклическая группа. Следовательно, - группа типа (2).
Пусть
теперь . Поскольку в группе все максимальные подгруппы примарны и
цикличны, то и поэтому .
II.
Пусть . Согласно лемме ,
, где - минимальная
нормальная подгруппа в группе и либо , либо .
1.
Пусть .
Пусть
- силовская -подгруппа
группы .
Пусть
- произвольная максимальная подгруппа
группы , отличная от .
Рассуждая как выше видим, что - примарная
циклическая группа. Значит, .
Предположим,
что - -группа.
Тогда . Пусть -
максимальная подгруппа группы .
Допустим,
что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть -
максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечет
Полученное
противоречие показывает, что и поэтому . Значит, , где
- минимальная нормальная подгруппа
группы порядка и . Следовательно, .
Пусть
теперь и .
Пусть - силовская -подгруппа
в и -
максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .
Так
как - циклическая силовская -подгруппа группы , то - -сверхразрешимая группа.
Предположим,
что . Пусть -
силовская -подгруппа группы и пусть -
максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что .
Тогда ввиду леммы ,
- сверхразрешимая группа, и поэтому -
нормальная подгруппа в группе . Пусть - силовская -подгруппа
группы . Так как -
нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку сверхразрешима,
то , и поэтому -
нормальная подгруппа в группе . Из того, что - циклическая группа, следует, что . Значит, -
нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть -
максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы и перестановочны,
то
противоречие.
Следовательно, . Пусть теперь - произвольная максимальная подгруппа
группы . Поскольку - -максимальлная подгруппа группы , то
Полученное
противоречие показывает, что . Значит, и .
Так как - максимальная подгруппа группы , то -
минимальная нормальная подгруппа в группе . Из
того, что - силовская -подгруппа
группы , следует, что .
Ясно, что . Следовательно, ,
и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что .
Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что .
Рассуждая как выше видим, что
противоречие.
С другой стороны, если , то как и выше получаем, что
что
невозможно. Следовательно, .
Предположим
теперь, что . Допустим, что .
Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что .
Поскольку - максимальная подгруппа группы и , то - -максимальная
подгруппа группы . По условию - подгруппа группы . Следовательно, ,
противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при этот случай также невозможен.
Полученное
противоречие показывает, что . Пусть . Тогда , и
поэтому - нормальная силовская -подгруппа в группе . Значит, ,
где . Пусть -
максимальная подгруппа группы такая, что - максимальная подгруппа в . Пусть -
произвольная максимальная подгруппа группы .
Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы . Поскольку , то и
поэтому . Значит, -
единственная максимальная подгруппа группы .
Следовательно, - циклическая группа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы , отличная от .
Так как
,
то
. С другой стороны, и поэтому -
максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , отличная от .
Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы . Поскольку подгруппы и перестановочны
и , то и
поэтому . Следовательно, -
единственная -максимальная подгруппа группы . Значит, согласно теореме ,
- либо циклическая группа, либо группа
кватернионов порядка . Пусть имеет место первый
случай. Тогда . Это означает, что - нормальная подгруппа в , и поэтому Полученное
противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка .
Пусть
теперь . Пусть -
максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная
подгруппа группы , и, следовательно, - подгруппа группы . Но поскольку ,
то этот случай невозможен.
2.
Для любой максимальной и не нормальной в подгруппы
имеет место , где
и -
различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что
индекс любой максимальной в подгруппы есть
простое число. Это означает, что группа сверхразрешима,
что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы .
Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы , отличная от .
Рассуждая как выше видим, что - примарная
циклическая подгруппа и поэтому для некоторых и .
Следовательно, . Пусть - силовская -подгруппа
группы , пусть -
силовская -подгруппа группы , которая содержится в и пусть -
силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если -
нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает,
что не является нормальной подгруппой
группы .
Допустим,
что . Тогда -
силовская -подгруппа группы и . Из
сверхразрешимости группы следует, что - нормальная подгруппа группы . Значит, , где
- группа простого порядка . Ясно, что и
поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы
группы , отличные от ,
цикличны, то - группа типа (3).
Пусть
. Тогда и - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так
как - максимальная подгруппа группы , то -
циклическая подгруппа и . Если , то .
Если , то -
группа типа (1).
Пусть
теперь, - различные простые числа. Тогда и .
Если - нормальная подгруппа группы , то и
поэтому - группа типа (1). Пусть не является нормальной подгруппой
группы . Тогда -
наибольший простой делитель порядка группы и
поэтому - нормальная подгруппа группы . Пусть -
максимальная подгруппа группы , такая что и .
Допустим, что - нормальная подгруппа группы
. Значит, в ней существует нормальная силовская
подгруппа. Если , то и
поэтому - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает,
что для некоторого , -
нормальная подгруппа группы . Следовательно, - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит, не является нормальной подгруппой в
группе . Рассуждая как выше видим, что у все максимальные подгруппы отличные от примарны и цикличны и . Значит, -
группа типа (1).
Достаточность.
Если и , то
очевидно, что любая -максимальная погруппа группы перестановочна с ее максимальными
подгруппами.
Пусть
- группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и -
группа порядка . Ясно, что в группе -максимальные
подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.
Предположим
теперь, что - группа типа (1)-(3). Пусть - произвольная максимальная подгруппа
группы и - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы и перестановочны.
Пусть
- группа типа (1). Пусть .
1.
Пусть , где -
простое число, отличное от . Пусть - силовская -подгруппа
группы , которая содержится в . Тогда .
Допустим,
что . Поскольку группа сверхразрешима, то индекс максимальной подгруппы является простым числом.
Пусть
. Тогда .
Значит, . Поскольку
,
то
- максимальная в подгруппа. Если ,
то - примарная циклическая группа. Так как
делит , то , и поэтому
для некоторого , .
Полученное противоречие показывает, что . Это
означает, что - нормальная подгруппа в .
Допустим,
что . Пусть .
Тогда - нормальная подгруппа в . Поскольку в любая
максимальная подгруппа индекса совпадает с , то -
нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с .
Пусть
теперь . Пусть -
силовская -подгруппа и -
силовская -подгруппа в соответственно.
Пусть . Тогда и
поэтому для некоторого , . Из
того, что , следует, что -
максимальная подгруппа группы . С другой стороны, - максимальная подгруппа циклической
группы . Значит, .
Отсюда следует, что и поэтому - нормальная подруппа в . Следовательно, перестановочна
с . Пусть .
Тогда для некоторого , .
Рассуждая как выше видим, что . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку
,
то
. Это означает, что подгруппы и перестановочны.
Пусть . Используя приведенные выше рассуждения
видим, что - нормальная подгруппа в . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы и перестановочны.
Пусть . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в и .
Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны.
Пусть теперь . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Пусть .
Тогда , где .
Пусть - силовская -подгруппа
группы . Пусть .
Тогда - -группа
и для некоторого , . Без
ограничения общности можно предположить, что .
Поскольку , то .
Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны.
Пусть . Тогда .
Следовательно, и поэтому подгруппа перестановочна с . Пусть .
Тогда . Ясно, что .
Следовательно, . Это означает, что подгруппы и перестановочны.
Пусть . Тогда .
Поскольку , то
и
поэтому подгруппы и перестановочны.
Если
, то рассуждая подобным образом,
получаем, что перестановочна с .
Допустим,
что . Так как в все
максимальные подгруппы, отличные от , примарные и
циклические, то - максимальная подгруппа в . Следовательно, .
Это означает, что в группе существует
единственная -максимальная подгруппа и она единична. Таким образом, перестановочна с .
2.
Пусть теперь .
Пусть
. Тогда -
нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с . Пусть .
Тогда . Поскольку для некоторого , , то
без ограничения общности можно предположить, что .
Значит, . Если , то и поэтому
Допустим,
что . Тогда - -группа. Поскольку для некоторого , и , то и
поэтому . Пусть теперь .
Пусть - силовская -подгруппа
и - силовская -подгруппа
в соответственно. Тогда . Ясно, что для
некоторого и .
Следовательно, и поэтому . Если , то
Если
, то
В
любом случае, -максимальная подгруппа перестановочна с максимальной
подгруппой .
Пусть
- группа типа (2) или (3). Если , то .
Поскольку , то - -максимальная подгруппа группы . Если , то содержится в некоторой максимальной
циклической подгруппе группы . Так как , то
- нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что
Значит,
перестановочна с . Пусть .
Если , то для
некоторого . Поскольку то
Пусть
теперь . Тогда - -группа и, следовательно, для некоторого
, .
Без ограничения общности можно предположить, что .
Ясно, что - -максимальная
подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая .
Допустим, что . Если ,
то . Предположим, что . Тогда -
циклическая группа. Поскольку , то - максимальная подгруппа группы . Из того, что -
циклическая подгруппа следует, что . Значит, . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в . Значит, перестановочна
с .
Пусть
. Поскольку -
циклическая группа, то - нормальная подгруппа в . Следовательно, перестановочна
с . Теорема доказана.
Если
в группе любая ее максимальная подгруппа
перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
Легко
видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в
случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).
Заключение
В
данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы
перестановочны с -максимальными подгруппами
групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная
подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная
подгруппа перестановочна со всеми -максимальными
подгруппами. Доказана -разрешимость и найдены оценки
-длины групп, у которых каждая -максимальная подгруппа -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами, где .
Литература
1.Боровиков
М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы
алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков
М.Т. О -разрешимости конечной группы //
Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И.
Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Белоногов
В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными -максимальными
подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.
4.Беркович
Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл.
АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.
5.Беркович
Я.Г. Конечные группы, у которых все -е максимальные
подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5,
№ 1. - С. 129-136.
6.Беркович
Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными
подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.
7.Беркович
Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат.
журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.
8.Веньбинь
Го, Шам К.П., Скиба А.Н., -накрывающие системы
подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб.
мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
9.Голубева
О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм.
навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.
10.Курносенко
Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными
подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.
11.Пальчик
Э.М. О -квазинормальных подгруппах // Докл. АН
БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.
12.Пальчик
Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы
которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем.
наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
13.Пальчик
Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. -
1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.