Дискретный анализ
Содержание
Введение
1.Сколькими
способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»
2.Решить
систему уравнений:
3.Решить
уравнение:
4.Доказать
тождество:
Ø
5.Перечислить
элементы множеств AxB и BxA, если , а
6.Упростить
выражение
Введение
Основные способы представления информации
называются дискретными: это слова и конструкции языков и грамматик - природных
и формализованных; табличные массивы реальных данных в технических системах и
научно-природных наблюдений; данные хозяйственной, социальной, демографической,
исторической статистики и т.п.
Для количественного анализа и вычисления
превращений непрерывных процессов приходится их "дискретизировать".
Понятно, что математические методы обработки, анализа и превращений дискретной
информации необходимы во всех отраслях научной, хозяйственной и социальной
сферах. Обычно эти методы изучаются на курсах дискретной математики; иногда
применяется определение "конечная математика", или даже
"конкретная математика".
Часто для анализа реальных систем с непрерывными
конструктивными элементами строятся модели конечной или дискретной математики.
Например, классическая транспортная или информационная сеть трактуется как граф
с заданными пропускными способностями или массами веток, а геометрическая форма
ветки между двумя пунктами-узлами сети не играет роли. Более того,
"непрерывное" строение реальной ветки также не работает в сетевой
модели: важно, что между двумя узлами а, b
сети или нет ветки, или есть ветка с заданными ограничениями c(a,
b) объема переноса
веществ или информации. В модели хватит задать числа c(a,
b) для каждой пары
узлов a, b.
Если ветки нет, то c(a,
b)=0. Такая числовая
модель отображения сети идеальна для записи, сохранения и превращений в
компьютере.
1.Сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную буквы из слова «полка»
Решение
Эта задача представляет собой вид классической
задачи комбинаторики. Ее разрешение сводится к "правилу
произведения". Исходя из которого, если М1, М2, М3,
…, Мk
- конечные множества и М = М1 х М2 х М3 х … х
Мk
- их декартовое произведение, то
(1)
Пусть предмет а1 можно выбрать m1
способами, предмет а2 - m2
способами, …, предмет аk
- mk способами и пусть
выбор предмета а1 не влияет на количество способов выбора предметов
а2, …, аk;
и т.д. Тогда выбор упорядоченного множества предметов (а1, а2,
…, аk)
в указанном порядке можно выполнить способами.
(2)
Отсюда
- если нам необходимо подсчитать сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную буквы из слова "полка", то сначала выберем гласную - это
можно сделать 2 способами (так как их две), после этого каждой гласной добавим
согласную (аналогично 3 способа). По правилу произведения выбор упорядоченного
множества гласной и согласной букв составит:
Ответ.
n = 6.
2.Решить
систему уравнений:
Решение
1.Найдем
n из формулы
дискретного соединения:
(3)
Из
нижеследующего доказательства следует, что:
(4)
Таким
образом:
Следовательно
.
Подставив
значение в формулу
дискретной перестановки (5),
(5)
получим:
Сократим
m!
и
(m-2)!:
Решив
квадратное уравнение, найдем один подходящий корень .
Проверим
правильность решения:
Ответ:
, .
3.Решить
уравнение:
Решение
Используя
формулы дискретной перестановки (5) и соединения (3), получим:
Упростим
выражение:
Используя
сокращение, получим:
Расписав
факториал, получим:
Решим
квадратное уравнение:
Ответ:
4.Доказать
тождество:
Ø
Раскроем
пары скобок (первое и второе пересечения, третье и четвертое):
Сократим
выражение:
Раскроем
скобки:
Сократим выражение:
5.Перечислить
элементы множеств AxB и BxA, если , а
Решение
Отношения
реализуют в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи
между реальными объектами. Отношения применяют при построении компьютерных баз
данных, которые организованы в виде таблиц данных. Связи между группами данных
в таблицах описывают языком отношений. Именно данные обрабатываются и
превращаются при помощи операций, математически точно определенных для
отношений. Такие базы данных называют реляционными и широко используют для
сохранения и обработки различной информации: производственной, коммерческой,
статической и т.п. Отношения также часто используют в программировании. Такие
составляющие структуры данных, как списки, деревья и т.п. обычно
используют для описания какого либо множества данных вместе с отношением между
элементами этого множества.
Декартовым
произведением множеств Х1 х Х2 х … х ХN, называется
множество всех возможных упорядоченных наборов (х1, х2,
…, хn) с n элементов
(которые называют кортежами длины n), в которых
первый элемент принадлежит множеству Х1, второй - множеству Х2, n-й -
множеству Хn. Декартовое
произведение Х х Х х … х Х, в котором одно и то же множество Х умножается n раз само на
себя, называют декартовой степенью множества и обозначают Хn. При этом Х1
= Х. Множество Х2 называют декартовым квадратом множества Х,
множество Х3 называют декартовым кубом множества Х.
Таким
образом, если , а , то:
а)
б)
.
Ответ:
, .
6.Упростить выражение
Решение
а) упростим левую часть выражения:
б)
упростим правую часть выражения:
в)
объединив полученный результат, получим:
Ответ:
.