Вклад Л.Эйлера в совершенствование математического анализа
План
Введение
1 Понятие математического анализа.
Исторический очерк
2 Вклад Л.Эйлера в развитие
математического анализа
3 Дальнейшее развитие
математического анализа
Заключение
Список литературы
Введение
Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории,
автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной
геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике,
математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.
Почти полжизни Эйлер провёл в России, где
энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён
работать в Санкт-Петербург. В 1731-1741 и начиная с 1766 года был академиком
Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь
почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих
сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики
по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были
учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие
математического анализа.
Цель реферата - изучить историю развития
математического анализа в XVIII
веке.
1 Понятие математического анализа.
Исторический очерк
Математический анализ - совокупность разделов
математики
<#"457099.files/image001.gif">,
достигающее экстремальных значений в точках
перегиба
<#"457099.files/image002.gif">.
В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр.,
считается допустимым такое выражение для экспоненты
,
в котором лишь поздние авторы видели предельный
переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные
преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций
в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для
счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность
вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.
В отличие от Лопиталя Эйлер подробно
рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их
классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все
элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и
двух операций - взятия логарифма и экспоненты.
Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует
технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи
тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:
Полагая и
z = nx, он получает
,
отбрасывая бесконечно малые величины большего
порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою
знаменитую формулу
.
Указав различные выражения для функций, которые
теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на
плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой
такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В XIX веке с подачи
Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая
непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана
полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать
предельный переход при помощи символа .
Изложение дифференциального исчисления Эйлер
начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует
философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно
нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных
разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из
интерполяционной формулу Ньютона
<#"457099.files/image009.gif">,
которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние
главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.
В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер
трактует понятие интеграла так:
«Та функция, дифференциал которой = Xdx,
называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди».
В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена
более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании
дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и
дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-функции,
эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было
дано в 1830-х годах Якоби
<#"457099.files/image010.gif">,
коэффициенты которого будут новыми функциями x.
Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить
его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице
трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что
,
поэтому коэффициент q является удвоенной
производной производной f(x), то есть
и т. д.[24]
<#"457099.files/image013.gif">
доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду
гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который,
следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон
<#"457099.files/image014.gif">.
Лишь в конце XIX века Прингсхейм
<#"457099.files/image015.gif">.
В XVIII веке
<http://ru.wikipedia.org/wiki/XVIII_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> были разработаны
и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>,
обыкновенные дифференциальные уравнения <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F>
и дифференциальные уравнения в частных производных
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85>,
преобразования Фурье
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5>
и производящие функции <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8>.
На фундаменте анализа возникла математическая физика
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0>,
аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB>.
В XIX веке
<http://ru.wikipedia.org/wiki/XIX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> Коши
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8,_%D0%9E%D0%B3%D1%8E%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D1%83%D0%B8>
первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела
последовательности
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8>,
он же открыл новую страницу комплексного анализа
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>.
Пуассон <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD>,
Лиувилль
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8C,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84>,
Фурье <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD_%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84>
и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и
гармонический анализ
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>.
В последней трети XIX века
<http://ru.wikipedia.org/wiki/XIX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA> Вейерштрасс
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB>
произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование
недостаточным, и предложил классическое определение предела
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8>
через ε-δ-язык.
Он же создал первую строгую теорию множества
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE>
вещественных чисел <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE>.
В это же время попытки усовершенствования теоремы
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0>
об интегрируемости по Риману
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB>
привели к созданию классификации разрывности
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F>
вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не
дифференцируемые непрерывные функции
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>,
заполняющие пространство кривые
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F>). В
связи с этим Жордан
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD>
разработал теорию меры
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0>, а Кантор
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3>
- теорию множеств <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2>,
и в начале XX века <http://ru.wikipedia.org/wiki/XX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA>
математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX
века стала разработка нестандартного анализа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>
как альтернативного подхода к обоснованию анализа.
Заключение
Завершая работу над рефератом можно прийти к
выводу, что математический анализ - это совокупность разделов математики
<http://articles.gourt.com/ru/математика>, посвященных исследованию
функций <http://articles.gourt.com/ru/функция%20(математика)> и их
обобщений методами дифференциального <http://articles.gourt.com/ru/дифференциальное%20исчисление>
и интегрального <http://articles.gourt.com/ru/интегральное%20исчисление>
исчислений. В него также входят теории функций действительного и комплексного
переменного, теория дифференциальных уравнений <http://articles.gourt.com/ru/теория%20дифференциальных%20уравнений>,
вариационное исчисление
<http://articles.gourt.com/ru/вариационное%20исчисление> ряд других
математических дисциплин.
Список литературы
1. Артемьева Т. В. Леонард
Эйлер как философ <http://www.ideashistory.org.ru/pdfs/07euler.pdf> //
Философия в Петербургской Академии наук XVIII века
<http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/456>. - СПб.: 1999. - 182 с.
2. Гиндикин С. Г. Рассказы о
физиках и математиках
<http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html>. - 3-е изд., расш. -
М.: МЦНМО <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1016236>, 2001. - 465 с.
3. Делоне Б. Н.
<http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/12126> Леонард Эйлер
<http://kvant.mccme.ru/1974/05/leonard_ejler.htm> // Квант
<http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/8106>. - 1974. - № 5.
4. К 250-летию со дня рождения
Л. Эйлера: Сборник. - Изд-во АН СССР, 1958.
5. Летопись Российской Академии
наук. Том 1. 1724-1802. - М.: Наука, 2000.
6. Математика XVIII столетия
<http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm> / Под редакцией А. П.
Юшкевича <http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/236450>. - М.: Наука,
1972. - Т. 3. - (История математики в 3-х томах).
7. Полякова Т. С. Леонард Эйлер
и математическое образование в России. - КомКнига, 2007. - 184 с.
8. Прудников В. Е. Русские
педагоги-математики XVIII-XIX веков. - 1956.
9. Юшкевич А. П.
<http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/236450> История математики в
России. - М.: Наука, 1968.