Обработка многократных измерений
Введение
Измерения — один из важнейших путей
познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе.
Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни
одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались
результаты измерений, испытаний и контроля.
Диапазон измерительных величин и их
количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они
перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру
подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной
информации.
Другой причиной важности измерений
является их значимость. Основа любой формы управления, анализа,
прогнозирования, контроля или регулирования — достоверная исходная информация,
которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин,
параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов
измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.
Методической основой стандартизации
являются математические методы, включая предпочтительные числа и ряды
предпочтительных чисел, параметрические ряды, а также унификация деталей и
узлов, агрегатирование, комплексная и опережающая стандартизация.
Предпочтительные числа и ряды
предпочтительных чисел необходимы для выбора оптимального ряда параметров и
типоразмеров готовых изделий. Набор установленных значений параметров
составляет параметрический ряд, который строится по системе предпочтительных
чисел.
1. Обработка результатов многократных измерений:
Систематическая погрешность (0,25)%
Доверительная вероятность 0,1%
Результаты измерений: 99,72; 100,71; 91,55; 96,02;
97,68; 93,04; 92,84; 93,14; 97,31; 94,7; 90,24; 92,15; 96,02; 100,13; 94,51;
94,6; 93,01; 97,47; 96,54; 94,96; 96,29; 99,63; 94,16.
Обработка
многократных измерений
Предполагаем, что измерения равноточные, т.е.
выполняются одним экспериментатором, в одинаковых условиях, одним прибором.
Методика сводится к следующему: проводят n наблюдений (единичных измерений) и
фиксируют n результатов измерений одного и того же значения физической
величины.
1)
Исключаем
известные систематические погрешности результатов измерений и получаем исправленный
результат ;
= ×(1- Σ/100),
где Σ=0,25
% - систематическая погрешность.
= ×(1-0.25/100)
= × 0.9975
= 99,74 × 0.9975; = 99,4707
=100,71 × 0.9975; =100,4582
=91,55 × 0.9975; =91,32113
=96,02 × 0.9975; =95,77995
=97,68 × 0.9975;
=97,4358
=93,04 × 0.9975; =92,8074
=92,84 × 0.9975; =92,6079
=93,14 × 0.9975; =92,90715
=97,31 × 0.9975; =97,06673
=94,7 × 0.9975; =94,46325
=90,24 × 0.9975; =90,0144
=92,15 × 0.9975; =91,91963
=96,02 × 0.9975; =95,77995
=100,13 × 0.9975; =99,87968
=94,51 × 0.9975; =94,27373
=94,6 × 0.9975; =94,3635
=93,01 × 0.9975; =92,77748
=97,47 × 0.9975; =97,22633
=96,54 × 0.9975; =96,29865
=94,96 × 0.9975; =94,7226
=96, 29 × 0.9975; =96,04928
=99, 63 × 0.9975; =99,38093
=94, 16 × 0.9975; =93,9246
=2190,928
2)
Находим
среднее арифметическое значение исправленных результатов и принимают его за
результат измерений
;
n=23
=×2190,928
=95,2577
3)
Вычисляем
оценку среднеквадратического отклонения результата измереий.
а)
находим
отклонения от среднего арифметического ;
= 95,2577-99,4707 =-4,213
=95,2577-100,4582 =-5,201
=95,2577-91,32113 =3,938
=95,2577-95,77995 =-0,522
=95,2577-97,4358 =-2,178
=95,2577-92,8074
=2,450
=95,2577-92,6079 =2,650
=95,2577-92,90715 =2,351
=95,2577-97,06673 =-1,809
=95,2577-94,46325 =0,795
=95,2577-90,0144 =5,243
95,2577-91,91963 =3,338
95,2577-95,77995 =-0,522
=95,2577-99,87968 =-4,622
95,2577-94,27373 =0,984
95,2577-94,3635 =0,894
=95,2577-92,77748 =2,481
=95,2577-97,22633 =-1,968
=95,2577-96,29865 =-1,040
95,2577-94,7226 =0,535
95,2577-96,04928 =-0,794
95,2577-99,38093 =-4,123
=95,2577-93,9246 =1,333
=0
б) проверили
правильность вычислений, и они верны,
т.к. ;
в) вычисляем
квадраты отклонений от среднего ;
=17,749
=27,05
=15,507
=0,272
=4,744
=6,003
=7,025
=5,527
=3,72
=0,632
=27,458
=11,142
=0,272
=21,363
=0,968
=0,799
=6,155
=3,873
=1,082
=0,286
=0,630
=16,999
=1,777
=181,033
г)
определяем
оценку среднеквадратического отклонения
;
=×181,033
0.21×181,033
=38,0169
д) находим
значение относительной среднеквадратической случайной погрешности
;
==0,399
4)
Вычисляем
оценку среднеквадратического отклонения результата измерения
;
n=23
= = = 7.9268
5)
Вычисляем
доверительные границы случайной погрешности результатов измерений:
а)
задаются
коэффициентом доверия (доверительной вероятности);
α=0.1%
б) по
специальным таблицам определяют значение коэффициента Стьюдента (), соответствующее заданной
доверительной вероятности и числу наблюдений;
где, n
– число наблюдений;
α – доверительная вероятность
n=23
α=0.1%
t=1.319460
в) находим
значение ;
t=1.319460
=7.9268
1.319460×7.9268
=10,4591
г)
вычисляем
доверительные границы и .
=95,2577
=10,4591
95,2577-10,4591=84.7986
95,2577+10,4591=105.7168
6)
записываем
результат измерений.
84.7986x ≤ 105.7168
2. Система предпочтительных чисел в стандартизации
Определить ряд по заданной
последовательности чисел 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 2,7
1.
По определению знаменателя ряда находим его значение как отношение соседних
чисел ряда (как среднее арифметическое):
=1.6; =1.8; =2.0;=2.2; =2.4; =2.7
- член прогрессии,
принятый за начальный.
==1,13
==1,11
==1,1
==1,1
==1,13
=5.57
= ; n=5
==1.11
, что соответствует ряду
E24
2.
Вычисленное число близко расположено к = 1,10. Это соответствует
ряду по ГОСТу: Е24.
=
Записать в развернутом виде ряд R10/2
(0,125...2000)
а). Записали ряд в развернутом
виде: R10/2 (0,125; 0,2; 0,315;
0,5; 0,8; 1,25; 2,0; 3,15; 5,0; 8,0; 12,5; 20,0; 31,5; 50; 80; 125; 200; 315;
500; 800; 1250; 2000.)
б).
Подсчитали число значений ряда.
- член прогрессии,
принятый за начальный.
=0,125; =0,2; =0,315;= 0,5; =0,8; =1,25; =2,0; =3,15; =5,0; =8,0; =12,5; =20,0;= 31,5; =50;= 80; =125;
= 200; =315; =500; =800;= 1250; =2000.
число
значений ряда n=22
в)
Определили знаменатель ряда.
= =1,6
= =1,58
= =1,59
==1,6
==1,56
==1,6
==1,58
==1,59
==1,6
= =1,56
= =1,6
==1,58
==1,59
==1,6
==1,56
==1,6
==1,58
==1,59
==1,6
= =1,56
==1,6
,n=21
=
= =1.59
г) Вычислили номера предпочтительных чисел.
Порядковые
номера чисел представляют собой основание ряда, умноженное на десятичный
логарифм числа ряда.
R
- число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).
=10; =
-9
=10; = -7
=10 =-5
=10 =-3
=10 =-1
=10 =1
=10; =3
=10 =5
=10; =7
=10=9
=10 =11
=10;=13
=10;=15
=10 =17
=10 =19
=10; =21
=10; =23
=10 =25
=10=27
=10 =29
=10; =31
=10; =33
Найти
номер ПЧ можно еще одним способом:
где
i0 - номер числа в нулевом интервале
k
- целое положительное или отрицательное число, определяющее удаление
рассматриваемого интервала в ту или другую сторону от нулевого;
R
- число значений ПЧ в десятичном интервале (номер ряда).
По
таблице ПЧ находим числа в нулевом интервале i0 и, тогда из формулы
имеем:
Ряд
R10
k=-1
; =1-110; =-9
k=-1;
=3-110;=-7
k=-1;=5-110;=-5
k=-1;
=7-110;=-3
k=-1;
=9-110;=-1
k=0;
=1-010;=1
k=0;
=3-010;=3
k=0;
=5-010; ; 5
k=0;
=7-010;=7
k=0;
=9-010; =9
k=1;
=1+110; 11
k=1;
=3+110; =13
k=1;
=5+110; 15
k=1;
=7+110; =17
k=1;
=9+110; =19
k=2;
=1+210; 21
k=2;
=3+210; =23
k=2;
=5+210; =25
k=2;
=7+210; =27
k=2;
=9+210; =29
k=3;
=1+310; 31
k=3;
=3+310; =33
Записать
в развернутом виде ряд Е12/3 (0,00027...0,015) Е6/2 (0,001...2,2)
а).Записали
ряд в развернутом виде
Е12/3
(0,00027...0,001);
Е12/3(0,00027;0,00047;0,00082.)
Е6/2
(0,001...2,2)
Е6/2(0,001;0,0022;0,0047;0,010;0,022;0,047;0,1;0,22;0,47;1;2,2;)
б).Определили знаменатели рядов. Е12/3
=0.00027;=0,00047;=0,00082.
- член прогрессии,
принятый за начальный.
= =1,7;
= = 1,7;
= = 1,8;
= 5,2; n=3
=
=5,2
1,73
Знаменатель
ряда Е12/3 (0,00027...0,015)1,73
Е 6/2
=0,001;=0,0022;=0,0047;=0,01;=0,022;=0,047;=0,1
=0,22; =0,47;=1;=2,2.
- член прогрессии,
принятый за начальный.
= = 2,2
= = 2,1
= = 2,1
= = 2,2
= = 2,1
= = 2,1
= = 2,2
= = 2,1
= = 2,1
= = 2,2
=21,40
=
= 21,40
Знаменатель
ряда Е6/2 (0,001...2,2)
Заключение
Многократные измерения - измерения, при
которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n -
число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для
многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят
с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.
Применение рядов предпочтительных чисел
представляет собой параметрическую стандартизацию, которая позволяет получить
значительный эффект на всех стадиях жизненного цикла изделий ( проектирование,
изготовление, эксплуатация и др.) Стандартами параметров охватывается большой
диапазон характеристик изделий: материалы, заготовки, размерный режущий
инструмент, оснастка, контрольные калибры, узлы по присоединительным размерам,
выходные параметры электродвигателей и многое другое, что используется в той
или иной отрасли промышленности.
Список использованных источников
1. Шишкин И.Ф. Метрология,
стандартизация и управление качеством – М.: Изд-во стандартов, 1990.
2.
Ю. Димов. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов. 2-е изд.
2004 г432 стр.
3. Алексеев В.В., Авдеев Б.Я., Антонюк
Е.М. Метрология, стандартизация и сертификация .1- е изд.: ООО Аргумент, Изд.
"Академия/Academia", 2007 г. 384 стр.
4. В.В. Алексеева. Метрология,
стандартизация и сертификация: Учебник для студентов высших учебных
заведений.2-е изд., стер. Изд.: Академия ИЦ 2008г.379стр.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Распределение
Стьюдента (t-критерий
n/α
|
0.40
|
0.25
|
0.10
|
0.05
|
0.025
|
0.01
|
0.005
|
0.0005
|
1
|
0.324920
|
1.000000
|
3.077684
|
6.313752
|
12.70620
|
31.82052
|
63.65674
|
636.6192
|
2
|
0.288675
|
0.816497
|
1.885618
|
2.919986
|
4.30265
|
6.96456
|
9.92484
|
31.5991
|
3
|
0.276671
|
0.764892
|
1.637744
|
2.353363
|
3.18245
|
4.54070
|
5.84091
|
12.9240
|
4
|
0.270722
|
0.740697
|
1.533206
|
2.131847
|
2.77645
|
3.74695
|
4.60409
|
8.6103
|
5
|
0.267181
|
0.726687
|
1.475884
|
2.015048
|
2.57058
|
3.36493
|
4.03214
|
6.8688
|
6
|
0.264835
|
0.717558
|
1.439756
|
1.943180
|
2.44691
|
3.14267
|
3.70743
|
5.9588
|
7
|
0.263167
|
0.711142
|
1.414924
|
1.894579
|
2.36462
|
2.99795
|
5.4079
|
8
|
0.261921
|
0.706387
|
1.396815
|
1.859548
|
2.30600
|
2.89646
|
3.35539
|
5.0413
|
9
|
0.260955
|
0.702722
|
1.383029
|
1.833113
|
2.26216
|
2.82144
|
3.24984
|
4.7809
|
10
|
0.260185
|
0.699812
|
1.372184
|
1.812461
|
2.22814
|
2.76377
|
3.16927
|
4.5869
|
11
|
0.259556
|
0.697445
|
1.363430
|
1.795885
|
2.20099
|
2.71808
|
3.10581
|
4.4370
|
12
|
0.259033
|
0.695483
|
1.356217
|
1.782288
|
2.17881
|
2.68100
|
3.05454
|
4.3178
|
13
|
0.258591
|
0.693829
|
1.350171
|
1.770933
|
2.16037
|
2.65031
|
3.01228
|
4.2208
|
14
|
0.258213
|
0.692417
|
1.345030
|
1.761310
|
2.14479
|
2.62449
|
2.97684
|
4.1405
|
15
|
0.257885
|
0.691197
|
1.340606
|
1.753050
|
2.13145
|
2.60248
|
2.94671
|
4.0728
|
16
|
0.257599
|
0.690132
|
1.336757
|
1.745884
|
2.11991
|
2.58349
|
2.92078
|
4.0150
|
17
|
0.257347
|
0.689195
|
1.333379
|
1.739607
|
2.10982
|
2.56693
|
2.89823
|
3.9651
|
18
|
0.257123
|
0.688364
|
1.330391
|
1.734064
|
2.10092
|
2.55238
|
2.87844
|
3.9216
|
19
|
0.256923
|
0.687621
|
1.327728
|
1.729133
|
2.09302
|
2.53948
|
2.86093
|
3.8834
|
20
|
0.256743
|
0.686954
|
1.325341
|
1.724718
|
2.08596
|
2.52798
|
2.84534
|
3.8495
|
21
|
0.256580
|
0.686352
|
1.323188
|
1.720743
|
2.07961
|
2.51765
|
2.83136
|
3.8193
|
22
|
0.256432
|
0.685805
|
1.321237
|
1.717144
|
2.07387
|
2.50832
|
2.81876
|
3.7921
|
23
|
0.256297
|
0.685306
|
1.319460
|
1.713872
|
2.06866
|
2.49987
|
2.80734
|
3.7676
|
24
|
0.256173
|
0.684850
|
1.317836
|
1.710882
|
2.06390
|
2.49216
|
2.79694
|
3.7454
|
25
|
0.256060
|
0.684430
|
1.316345
|
1.708141
|
2.05954
|
2.48511
|
2.78744
|
3.7251
|
26
|
0.255955
|
0.684043
|
1.314972
|
1.705618
|
2.05553
|
2.47863
|
2.77871
|
3.7066
|
27
|
0.255858
|
0.683685
|
1.313703
|
1.703288
|
2.05183
|
2.47266
|
2.77068
|
3.6896
|
28
|
0.255768
|
0.683353
|
1.312527
|
1.701131
|
2.04841
|
2.46714
|
2.76326
|
3.6739
|
29
|
0.255684
|
0.683044
|
1.311434
|
1.699127
|
2.04523
|
2.46202
|
2.75639
|
3.6594
|
30
|
0.255605
|
0.682756
|
1.310415
|
1.697261
|
2.04227
|
2.45726
|
2.75000
|
3.6460
|
inf
|
0.253347
|
0.674490
|
1.281552
|
1.644854
|
1.95996
|
2.32635
|
2.57583
|
3.2905
|
Согласно приведенной таблице:
1)
n – число наблюдений;
2)
α
– доверительная вероятность.
Предпочтительные числа рядов R5, R10, R20, R40
№ числа
|
Предп. числа
|
№ числа
|
Предп. числа
|
№ числа
|
Предп. числа
|
№ числа
|
Предп. числа
|
№ числа
|
Предп. числа
|
0
|
1,00
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
1
|
1,06
|
9
|
1,70
|
17
|
2,65
|
25
|
4,25
|
33
|
6,70
|
2
|
1,12
|
10
|
1,80
|
18
|
2,80
|
26
|
4,50
|
34
|
7,10
|
3
|
1,18
|
11
|
1,90
|
19
|
3,00
|
27
|
4,75
|
35
|
7,50
|
4
|
1,25
|
12
|
2,00
|
20
|
3,15
|
28
|
5,00
|
36
|
8,00
|
5
|
1,32
|
13
|
2,12
|
21
|
3,35
|
29
|
5,30
|
37
|
8,50
|
6
|
1,40
|
14
|
2,24
|
22
|
3,55
|
30
|
5,60
|
38
|
9,00
|
7
|
1,50
|
15
|
2,36
|
23
|
3,75
|
31
|
6,00
|
39
|
9,50
|
8
|
1,60
|
16
|
2,50
|
24
|
4,00
|
32
|
6,30
|
40
|
10,00
|
Ряду
R5 соответствует нижняя строка
таблицы, ряду R10 – пятая и нижняя, ряду
R20 – строки 3, 5, 7, 9 и ряду R40
– вся таблица.
Предпочтительные числа рядов Е3, Е6, Е12, Е24
1,0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
1,1
|
1,6
|
2,4
|
3,6
|
5,1
|
7,5
|
1,2
|
1,8
|
2,7
|
3,9
|
5,6
|
8,2
|
1,3
|
2,0
|
3,0
|
4,3
|
6,2
|
9,1
|
1,5
|
2,2
|
3,3
|
6,8
|
10,0
|
Ряду
Е3 соответствуют числа 2,2; 4,7; 10. Ряду E6
соответствует нижняя строка, ряду E12
– третья и пятая, а ряду E24
– вся таблица.
Знаменатели рядов предпочтительных чисел
Условные
обозначения
|
Знаменатель
ряда, q
|
Количество
членов в десятичном интервале
|
Точное
значение
|
Округленное
значение
|
R5
|
|
1,60
|
5
|
R10
|
|
1,25
|
10
|
R20
|
|
1,12
|
20
|
R40
|
|
1,06
|
40
|
R80
|
|
1,03
|
80
|
R160
|
|
1,015
|
160
|
E3
|
|
2,20
|
3
|
E6
|
|
1,50
|
6
|
E12
|
|
1,20
|
12
|
E24
|
|
1,10
|
24
|
E48
|
|
1,05
|
48
|
E96
|
|
1,025
|
96
|
E192
|
|
1,012
|
192
|