Спектры элементарных возбуждений в двупериодических одномерных системах
Содержание
Введение
Глава 1. Электронный спектр двустеночной
углеродной нанотрубки
Глава 2. Проводимость двустеночной
углеродной нанотрубки
Выводы
Список использованных источников
Приложение
Введение
Современная
металло-оксидно-полупроводниковая микроэлектроника фактически достигла пределов
быстродействия и степени интеграции. Дальнейшее развитие электроники связывают с
уменьшением размеров устройств до наномасштабов с использованием новой
элементной базы. Поэтому на сегодняшний день большой интерес вызывают так
называемые квазиодномерные системы, примерами которых являются полимеры,
нанотрубки на основе углерода, кремния и других материалов. В настоящее время
нанотрубки уже выпускаются серийно многими фирмами, например, SES Research,
Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.
Нанотрубки бывают одностеночными
и многостеночными. Одностеночная нанотрубка представляет собой графитовую
плоскость, различным образом свернутую в цилиндр. Она характеризуется так
называемыми индексами хиральности, и в зависимости от этих индексов может быть
как металлом, так и полупроводником. Диаметр такой трубки порядка нанометров, а
длина достигает микрометров, поэтому она занимает промежуточное положение между
молекулой и кристаллом, что проявляется в наличии специфических свойств, в
частности, зонной структуры в спектре электронов. Одностеночные нанотрубки уже
достаточно хорошо изучены.
Многостеночная
нанотрубка представляет собой либо несколько одностеночных трубок, вложенных
друг в друга, либо графитовую плоскость, свернутую в несколько слоев в виде
свитка, либо цилиндрическую структуру, составленную из небольших графитовых
фрагментов и напоминающую папье-маше. В отличие от одностеночных, свойства
многостеночных нанотрубок изучены намного хуже.
Целью данной работы
является исследование спектров элементарных возбуждений двупериодических
одномерных систем, примером которых являются двуслойные углеродные нанотрубки.
Для этого с помощью метода сильной связи рассматривается спектр упрощенной
модели нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов, определяется уровень
Ферми такой системы и исследуется ее проводимость. Все вычисления производились
в программе, написанной на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2008 с
использованием библиотек Win32.
Глава 1. Электронный
спектр двустеночной углеродной нанотрубки
Для исследования
электронного спектра двустеночной углеродной нанотрубки воспользуемся моделью,
в которой нанотрубка представляет собой две параллельные регулярные цепочки
атомов с разными периодами. При этом, однако, в силу периодичности системы
будем пользоваться результатами теоремы Блоха, поэтому необходимо потребовать,
чтобы отношение периодов цепочек выражалось рациональной дробью.
Сначала рассмотрим
систему, представляющую собой линейную цепочку атомов, расстояние между
которыми а, и определим энергетический спектр электрона в такой системе.
Будем пользоваться
приближением сильной связи и искать волновую функцию электрона в виде:
,в (1.1)
где - волновая функция электрона на
изолированном n-ом атоме цепочки. Для удобства обозначим . Далее, минимизируя функционал энергии
при условии нормировки волновых функций :
(1.2)
получим:
(1.3)
Выделим в потенциальной
энергии слагаемые с и
воспользуемся тем, что решения для электронов на изолированном атоме известны:
, (1.4)
где - обменный интеграл. Далее учтем, что в
методе сильной связи он считается ненулевым только для ближайших соседей, и
получим:
(1.5)
(1.6)
В силу трансляционной
симметрии волновую функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла теореме
Блоха, тогда коэффициенты будут
иметь вид . Подставим их в
(1.6) и получим выражение для энергетического спектра электрона:
(1.7)
где - энергия основного состояния электрона в
изолированном атоме, к – волновой вектор.
Теперь рассмотрим две
такие цепочки атомов, расположенные на некотором расстоянии d друг от
друга. Расстояние между атомами в первой цепочке по-прежнему a, во
второй – b. Если пренебречь возможностью перескока электрона с одной
цепочки на другую, то собственные волновые функции электронов будут иметь следующий
вид:
- описывает движение электрона с энергией
по первой цепочке;
- описывает движение электрона с энергией
по второй цепочке;
Теперь учтём, что при
таком расположении цепочек появляется вероятность перескока электрона с одной из
них на другую. Тогда в гамильтониане системы появятся недиагональные вклады:
, (1.8)
где - матричные элементы оператора
взаимодействия, ответственного за перескок электронов. Считая его достаточно
малым, вычислим поправки к энергии, воспользовавшись теорией возмущения для
вырожденного уровня. Волновую функцию системы представим в виде линейной
комбинации . Тогда
соответствующее секулярное уравнение примет вид:
(1.9)
Отсюда получим энергию
нашей системы:
(1.10)
Уровень Ферми в такой
системе расщепляется. Это следует из того, что значения интегралов перекрытия
γ1 и γ2 принимают разные значения, вследствие
этого происходит перекрытие зон. Формула для энергии уровня Ферми упростится,
если мы будем считать, что на нем выполняется условие:
(1.11)
и примет вид:
(1.12)
Осталось вычислить . Очевидно, что вероятность
перескока электрона с одной цепочки на другую определяется расстоянием между
атомами этих цепочек и быстро убывает с его ростом. Поэтому смоделируем в таком виде:
(1.13)
Значение этого выражения
определяется численно в программе. Импульсы k и p на уровне Ферми
определяются из условия равенства энергий (1.11). Значения интегралов
перекрытия брались из [1], [2].
Глава 2. Проводимость
двустеночной углеродной нанотрубки
Как было показано в [3],
в упрощенной модели одностеночной трубки, представляющей собой линейную цепочку
атомов, сила протекающего через нее тока определяется выражением:
, (2.1)
где U-
напряжение, приложенное к концам трубки, L – ее длина, τ –
время релаксации электронов, n – их концентрация. После простых
преобразований получим:
(2.2)
Так как мы рассматриваем
идеальную систему, то рассеяние электронов при движении может происходить
только на контактах. Тогда время релаксации электронов можно определить так:
(2.3)
Тогда формула приобретет
простой вид:
(2.4)
Видно, что электрическое
сопротивление одностеночной нанотрубки обладает уникальным свойством – оно не
зависит от геометрических размеров и определяется величиной - квантом сопротивления (формула
Ландауэра [4], [5]). Такое сопротивление называется баллистическим.
Рассмотрим теперь
проводимость двустеночной нанотрубки.
В предыдущей главе было
показано, что гамильтониан системы из двух линейных регулярных цепочек атомов с
учетом их взаимодействия имеет вид:
(2.5)
Собственными волновыми
функциями такого гамильтониана будут функции:
, (2.6)
Волновую функцию
электрона, влетающего в первую цепочку, представим в виде линейной комбинации
этих волновых функций:
(2.7)
Рассмотрим теперь
эволюцию этой волновой функции во времени. По правилам квантовой механики,
получим:
, (2.8)
где под Δ для
удобства обозначено |Γkp|.
Учитывая ортогональность
функций Ψ1 и Ψ2, которые для
электронов имеют вид блоховских функций, следуя [6], получим для средней
скорости первого электрона на уровне Ферми:
(2.9)
или, с учетом того, что
(2.10)
То есть, скорость
электрона на уровне Ферми является суперпозицией двух слагаемых, в которых
присутствуют скорости на уровне Ферми для первой изолированной цепочки и для
второй. Аналогично, для второй цепочки:
Рассмотрим два граничных
случая, когда и .
В первом случае
усреднением заменяем и на 1/2:
(2.12)
Во втором случае , :
(2.13)
(2.14)
Сразу видно, что во
втором случае в выражении для времени релаксации электронов не будет никаких
изменений, не изменится вид формулы (2.2), а значит, и формула Ландауэра не
изменится.
Рассмотрим подробнее
первый случай. Проводимость системы из двух параллельных одностеночных трубок
определяется выражением:
(2.15)
Проводимость
двустеночной трубки:
(2.16)
Видно, что и в этом
случае формула Ландауэра остается справедливой.
Выводы
Целью данной работы было
исследование электронного спектра и проводимости в двустеночных нанотрубках. С
помощью упрощенной модели, представляющей собой две параллельные регулярные
цепочки атомов, было показано, что в таких нанотрубках происходит перекрытие зон,
что приводит к изменению положения уровня Ферми, а также его расщеплению.
Величина этого расщепления была определена численно в программе, листинг
которой приведен в приложении. При реалистичных значениях параметров
расщепление оказалось достаточно малым, порядка 10-5 эВ. При этом
изменяется и скорость электронов на уровне Ферми. Очевидно, что в такой
идеальной системе рассеивание электронов должно происходить на контактах,
поэтому время релаксации будет зависеть только от средней скорости движения
электронов. Было проанализировано выражение для средней скорости движения
электронов и показано, что в предельных случаях высоких и низких частот в
двустеночных системах формула Ландауэра остается справедливой.
Список использованных
источников
1.
Wildoer J.W.G., Venema L.C., Rinzler A.G., Smalley R.E., Dekker
C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes // Nature – 1998. – V.391. – P.59 -62.
2. Odom T.W., Huang J.L., Kim P., Lieber
C.M. Structure and electronic properties of carbon nanotubes // J. Phys. Chem.
B – 2000. – V.104(13). – P.2794-2809.
3. Тищенко С.В. Зонная структура и межзонные
переходы в углеродных нанотрубках: Дис., 01.04.02 – Одесса, 2007. - 100 с.
4. Landauer R. Electrical resistance of
disordered one-dimensional lattices // Phyl. Mag. – 1970. – V.21 – No 172. –
P.863-867.
5. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas
S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings
// Phys. Rev. B – 1985. – V.31. – P.6207-6215.
6. Ансельм А.И. Введение в теорию
полупроводников – М.: Наука, 1978. – 616 с.
Приложение А. Алгоритм
программы для вычисления величины расщепления в спектре упрощенной модели
двуслойной нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов
Содержимое файла stdafx.h:
#include <stdio.h>
#include <tchar.h>
#include <math.h>
class Complex
{
public:
double real;
double image;
Complex() {}; // Конструктор по умолчанию
Complex(double r) { real = r; image = 0; } // Конструктор
Complex(double r, double i) { real = r, image = i; } //
Конструктор
~Complex() {} // Деструктор
double absolute() // Модуль комплексного числа
{
return sqrt(real * real - image * image);
}
Complex operator+(Complex &); // Перегрузка оператора сложения
Complex operator-(Complex &); // Перегрузка оператора
вычитания
Complex operator*(Complex &); // Перегрузка оператора
умножения
Complex operator/(Complex &); // Перегрузка оператора деления
};
Содержимое файла
Gammakp.cpp:
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
#define N 30
#define a 1.0
#define b 1.1
#define d 0.5
// Перегрузка +
Complex Complex::operator+(Complex &fp1)
{
fp1.real = real + fp1.real;
fp1.image = image + fp1.image;
return fp1;
}
// Перегрузка -
Complex Complex::operator-(Complex &fp1)
{
fp1.real = real - fp1.real;
fp1.image = image - fp1.image;
return fp1;
}
// Перегрузка *
{
double i, j;
i = real * fp1.real - image * fp1.image;
j = real * fp1.image + fp1.real * image;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
// Перегрузка /
Complex Complex::operator/(Complex &fp1)
{
double k, i, j;
k = fp1.real * fp1.real + fp1.image * fp1.image;
i = (real * fp1.real + image * fp1.image) / k;
j = (fp1.real * image - real * fp1.image) / k;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
int main()
{
Complex Gkp;
double m;
int i,j;
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<N;j++)
{
Gkp.real=0;
Gkp.image=0;
Gkp.real=Gkp.real+1/(double)N*exp(-1/a*sqrt(pow(i*a-j*b,2)+d*d))*cos(6.28*i-6.28*j);
Gkp.image=Gkp.image-1/(double)N*exp(-1/a*sqrt(pow(i*a-j*b,2)+d*d))*sin(6.28*i-6.28*j);
}
Gkp.real=pow(Gkp.absolute(),2);
cout<<"Gkp"<<" "<<Gkp.real<<"\n";
getchar();
}