Задачи (с решениями) по сопромату

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова»

Кафедра «Детали машин»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

по дисциплине «Сопротивление материалов»

Выполнил студент второго курса

Факультета заочного обучения

специальности «Технология обслуживания

 и ремонта машин в АПК»

шифр ТУ – 04 – 30

 гр. Борисов Г. В.

Домашний адрес: г. Пермь,

ул. Нефтяников 55-70

Проверил:  Сюзёв В.П.

____________________

«____» _________2005г.

Пермь

Шифр контрольной работы:

а

б

в

г

д

д

0

3

0

3

0

3

Задача № 1.

Стальной стержень находится под воздействием продольной силы Р и собственного веса. Найти перемещение сечения I – I.

Дано:

Р

F

20 cм²

a

2.3 м

b

3.0 м

c

1.3 м

γ

78 кН/м³

Е

2 * 10⁵ МПа

Схема

III

Удлинением участка с пренебрегаем, т.к. оно не влияет на удлинение сечения I – I.

Ответ: Удлинение составит

Задача № 2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплён к двум стержням при помощи шарниров.

Требуется:

1) Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

2) Найти допускаемую нагрузку Q_доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ;

3) Найти предельную грузоподъёмность системы и допускаемую нагрузку Q_доп, если предел текучести и запас прочности k = 1,5;

4) Сравнить величины Q_доп, полученные при расчёте по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Дано:

Р

1300 Н

F

20 cм²

a

2.3 м

b

3.0 м

c

1.3 м

γ

78 кН/м³

α

45^°

Н

150 кН

10⁵ β

3

σ_х

30 МПа

σ_х

100 МПа

σ_х

30 МПа

Е

2 * 10⁵ МПа

Схема

III

Решение

Для определения усилий N₁ и N₂ воспользуемся уравнением равновесия бруса: ;

            (1)

 и условием совместности деформации:

 где:

                               (2)

 Из уравнений (1) и (2) получим уравнение:

Подставим в уравнение цифровые значения:

;

Из уравнения находим: ,

тогда из уравнения (2) получим:       (2^а)

определим напряжения в стержнях:

Приравниваем большее напряжение, т.е.  допускаемому:  , отсюда найдём:

   .

Подставим в уравнение цифровые значения:

При запасе прочности k = 1,5 допускаемая нагрузка составит:

                 (4)

Сравнивая значения допускаемой нагрузки Q полученные при расчёте по допускаемым нагрузкам и при расчёте по допускаемым напряжениям делаем вывод: для обеспечения прочности (надёжности) конструкции величина силы Q не должна превышать 927,5 кН.

Задача № 4.

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из тех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

1) главные напряжения и направление главных площадок;

2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений;

3) относительные деформации έ_х, έ_y, έ_z;

4) относительное изменение объёма;

5) удельную потенциальную энергию.

Дано:

Для стали: Е =  G = ;  μ = 0,25 – коэффициент Пуассона.

Решение:

Главные напряжения определим по формуле:

Между главными напряжениями существует зависимость поэтому:   

Определим направление главных площадок: ;  отсюда:

Определим максимальные касательные напряжения по формулам:

или

Определим максимальные деформации по формуле:

Удельная потенциальная энергия деформаций

Потенциальная энергия изменения формы определяется по формуле:

Потенциальная энергия изменения объёма определяется по формуле:

Полная удельная потенциальная энергия деформации:

Задача № 5.

К стальному валу приложены три известных момента: М₁, М₂, М₃. Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;

2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении  определить диаметр вала на прочность и округлить его до ближайшего размера: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100мм;

4) построить эпюру углов закручивания;

5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 метр).

Дано:

Решение: 1. Из условия задачи известно:

Составим условие того, что поворот правого концевого сечения равен нулю  ,

где  - жесткость при кручении вала, отсюда находим:

Подставим в уравнение цифровые значения и вычислим Х:

2. Вычислим значение крутящих моментов на участках вала и построим эпюру крутящих моментов. Крутящий момент находим методом сечений:

По найденным значениям строим эпюру.

3. Диаметр вала находим из условия прочности при:

Принимаем d = 40 мм.

Крутильная мощность вала

 где G – модуль упругости второго рода J_P – полярный момент инерции

4. Определяем углы закручивания сечений относительно левого защемлённого конца и строим эпюру ψ:

Угол участка ψ_а равен нулю, т.к. защемлён;

По найденным значениям строим эпюру.

Задача № 8 (а)

Для заданных двух схем балок требуется написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти М_MAX и подобрать: а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения при  б) для схемы (б) стальную балку двутаврового сечения при

Дано:

Решение:

1. Находим методом сечений значения поперечной силы на участках балки и в характерных сечениях:

2. Изгибающий момент на участках балки и в характерных сечениях:

3. Подбор сечения. Максимальный изгибающий момент:  Момент сопротивления сечения из условия прочности:  

Диаметр круглого сечения равен:  

Принимаем d = 16 см.

Задача № 8 (б)

Дано:

Находим длины участок:

1. Уравнение равновесия балки:

Отсюда находим реакции опор:

2. Поперечная сила на участках балки и в характерных сечениях:

3. Изгибающий момент на участках балки и в характерных сечениях:

4. Подбор сечения. Максимальный изгибающий момент:  Момент сопротивления из условия прочности:  По табл. ГОСТ 8239 – 76 выбираем двутавр № 12, у которого:

Задача № 15.

Шкив с диаметром D₁ и с углом наклона ветвей ремня к горизонту ά₁ делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂  и одинаковые углы наклона ветвей к горизонту ά₂ и каждый из них передаёт мощность N/2. Требуется: 1) определить моменты, приложенные у шкивам, по заданным N и n; 2) построить эпюру крутящих моментов М_кр; 3) определить окружные усилия t₁ и t₂, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂; 4) определить давления на вал, принимая их равными трём окружным усилиям; 5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и ремней не учитывать); 6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил М_гор и от вертикальных сил М_верт; 7) построить эпюры суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой  ; 8) при помощи эпюр М_кр и М_изг  найти опасное сечение и определить максимальный расчётный момент; 9) подобрать диаметр вала d при  и округлить его до ближайшего.

Дано:

1. Момент, приложенный к шкиву 1:

Моменты, приложенные к шкиву 2:

2. Крутящие моменты на участках вала находим методом сечении:

По найденным значениям строим эпюру.

3. Окружные усилия, действующие на шкивы:

4. Силы давления на вал в плоскости ремней:

Силы давления на вал в горизонтальной плоскости:

Силы давления на вал в вертикальной плоскости:

Расчётные схемы нагрузок на вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях показаны на рисунке. На основе расчётных схем составлены уравнения равновесия для определения опорных реакций в горизонтальной и вертикальной плоскостях, что необходимо для построения эпюр изгибающих моментов.

Горизонтальная плоскость

Отсюда находим:

Проверка:

Вертикальная плоскость

Отсюда находим:

Проверка:

Изгибающие моменты в характерных сечениях.

Горизонтальная плоскость:

Вертикальная плоскость:

Суммарные изгибающие моменты:

Опасное сечение – сечение «а». Эквивалентный момент этом сечении:

Диаметр вала:

Округляя до стандартного значения, принимаем

Задача № 17

Стальной стержень длиной l сжимается силой Р. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие ; 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Дано:

 при данном способе закрепления стержня.

Решение:

Площадь сечения стержня:

Минимальный момент инерции сечения:

Минимальный радиус инерции сечения:

Определим

Определим сечение стержня:

Гибкость стержня: .

Для Ст.3 находим по таблице: при ; при  находим φ, соответствующее гибкости :

 следующее приближение:

 повторяем вычисления: