Движение в центральном симметричном поле

    Реферат

             На тему «Движение в центральном симметричном поле»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

                                                                    Минск 2001

Немного теории.

Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.

Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представ­ляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выпол­няется закон сохранения момента импульса, если опреде­лять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы про­ходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относи­тельно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению  отсюда следует, что L = const.

(где L – вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение  получается из уравнения  L = [rp]. Определим производную по времени от момента импуль­са частицы. Согласно правилу дифференцирования произ­ведения имеем

Так как  - есть скорость v частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю век­торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная  - есть, как мы знаем, действую­щая на частицу сила F. Таким образом, .)

Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направ­лению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор дол­жен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в цент­ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Данное уравнение можно записать в виде:

где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов гео­метрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же парал­лелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоен­ная площадь бесконечно узкого сектора OAA’ , описанного радиусом-вектором движущейся точки за вре­мя dt. Обозначив эту площадь через dS, мож­но записать величину момента в виде

Величина  называется секториальной ско­ростью.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери­альных точек - так называемая задача двух тел.

Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе­их частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс час­тиц равен нулю:

где v₁,v₂ - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц

v = v₁-v₂.

Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы

выражающие скорости каждой из частиц через их относи­тельную скорость.

Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим

где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим

,          

где m обозначает вели­чину

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью  в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении од­ной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Постановка задачи.

Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил.

, представим  (скорость) в полярных координатах

Рассмотрим треугольник ABD:

 ds~AB, следовательно                    

         ,

Выразим       

                                     (*)

Осталось выразить характер траектории

                                                (**)

Подставим выражение (*) в (**)

Проинтегрируем

Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле.

Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля.

, где

Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену

Сделаем замену        ,

тогда

Далее применим формулу

В итоге получаем

                                      , 

где ;

Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля.

При  e >1 – гипербола;

         e =1 – парабола;

    0< e <1 – эллипс;

         e =0 – окружность;

Литература:

1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц «Курс общей физики. Механика и молекулярная физика» Москва 1965 г.

2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.