Лекции по общей физике

Лекции по общей физике

Лекция 22

20. Стоячие волны. Рефракция

Мы рассмотрели стоячие волны для Y-функции в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Но и в других случаях стационарное решение уравнения Шрёдингера представляет собой стоячую волну, хотя это не всегда столь очевидно.

Какой может быть, например, стоячая волна Y-функции электрона в поле протона, в атоме водорода? Ведь в этом случае, вроде бы, вообще нет каких-нибудь отражающих волну стенок. И в этой связи мы вспомним о явлении, которое, вообще говоря, заслуживает более детального разговора, - о рефракции.

Говоря о прямолинейности распространения света, например, мы подразумевали однородную среду. Но в неоднородной среде направление распространения волны не остается постоянным.

Пусть в неоднородной среде распространяется волна с плоским фронтом. И пусть скорость волны (фазовая) возрастает в направлении оси Z, параллельной фронту. Основываясь на принципе Гюйгенса-Френеля, рассмотрим каждую точку фронта волны как источник вторичных волн. Тогда “новый” фронт (плоскость, касательная к волновым поверхностям вторичных источников) не будет параллелен старому, будет происходить искривление луча, понимаемого как кривая, касательная к которой перпендикулярна фронту волны. Вот это явление “искривления” луча в неоднородной среде и называется рефракцией.

Проявления рефракции весьма разнообразны, и подробный разговор о ней мог бы быть достаточно интересен. Но - нельзя объять необъятное и особенно за весьма ограниченное время, которое есть в нашем распоряжении. Однако, посмотрим, как это явление проявляется в атоме водорода.

В поле протона по мере увеличения радиуса потенциальная энергия электрона возрастает. При постоянной полной энергии E = const это означает уменьшение кинетической энергии, уменьшение импульса:

;    .

Так что уменьшение импульса означает и увеличение фазовой скорости v при увеличении радиуса r. Таким образом, луч электронной волны будет искривляться в направлении к протону и при определенных условиях может стать окружностью. При каких?

Условие, которое должно быть выполнено, достаточно очевидно. Поскольку длина окружности пропорциональна радиусу, пропорциональной радиусу должна быть и фазовая скорость. Таким образом мы получаем:

.

Исключив фазовую скорость, получим выражение для зависимости импульса от радиуса:

.

Запишем вновь выражение для энергии электрона и продифференцируем его по радиусу. С учетом выражения для  и условия E = const мы получим:

.

Нам осталось лишь потребовать выполнения очевидного для существования стоячей волны условия - на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн :

.

Из двух подчеркнутых выражений следует:

.

Таким образом, выражение для энергии электрона принимает вид:

.

Это выражение для электрона совпадает с точным значением, полученным из решения уравнения Шрёдингера. Наши оценочные расчеты никак не избавляют от необходимости решать это уравнение. Они должны лишь помочь понять, что квантовое состояние электрона в атоме описывается стоячей волной.

21. “Внутреннее движение” квантового состояния

Все то, о чем мы сейчас ведем речь, вообще говоря, не имеет прямого отношения к решению задач о поведении электрона в том или ином случае. Просто слишком часто квантовая физика противопоставляется классической, тогда как в ряде своих проявлений новая физика оказывается прямой “наследницей” старой.

Мы говорили о том, что принципиально новое привносит квантование в физику. Неплохо отметить и те воззрения, что могут быть оставлены без изменений.

Обратимся вновь к задаче об электроне в потенциальной яме. Квадрат модуля Y-функции для любого n является функцией координаты, не зависит от времени:

.

Никакого “движения материи” в этом выражении не видно. И тем не менее энергию электрона мы можем подсчитать как кинетическую энергию , тем не менее на стенку ямы действует сила . В этом не будет ничего загадочного, если мы не станем отказывать волне Y-функции в реальности, будем помнить, что стоячая волна представляет собой сумму бегущих в противоположных направлениях волн, которые отражаются от стенок. Волна переносит импульс и при отражении происходит изменение его направления. Конечно, как непрерывный процесс, а не “мгновенное”, как при корпускулярном представлении электрона.

При этом то обстоятельство, что функция  не зависит от времени, дает хорошее, естественное объяснение того, почему в стационарном состоянии не происходит излучения электромагнитной энергии - нет колебаний электрического заряда.

Линейному волновому уравнению Шрёдингера удовлетворяет и волновая функция, представляющая собой суперпозицию двух (стоячих) волн с разными частотами и волновыми числами:

.

Квадрат модуля этой функции:

.

Выражение получается достаточно громоздким, но легко видеть, что его можно записать в виде:

.

Если не придумывать для квантового объекта какого-то нового способа излучения электромагнитной энергии кроме осцилляции заряда, то это выражение “объяснит” нам, почему при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой, в процессе такого перехода происходит поглощение или излучение электромагнитной энергии на частоте .

Иногда говорят, что наблюдаются только стационарные состояния электрона, например, в случае атома водорода

Пожалуй, можно сказать, что это утверждение верно с точностью до наоборот: наблюдается, собственно, излучение или поглощение электромагнитной энергии, которые происходят при изменении энергии электрона от одного квантованного значения до другого. Если, конечно, признать, что процесс, например, излучения занимает некоторое время, и что в квантовой физике выполняется закон сохранения энергии.

Подчеркну еще раз: предлагаемые рассуждения никаким образом не влияют на практическое решение квантовомеханических задач. Речь идет только о “картинке” процесса, которую Вы можете иметь у себя в голове. Если Вам понятнее утверждение, что в квантовой физике излучение никак не связано с осцилляцией заряда, то - воля Ваша. Правда, давно было сказано: “Не умножай число сущностей без надобности”.

Но при этом необходимо отметить и такое обстоятельство. Экпериментально наблюдать осцилляцию заряда мы не можем - при попытке такого наблюдения разрушится “хрупкая индивидуальность квантового состояния”. Об осцилляции свидетельствует лишь то, что происходит излучение или поглощение электромагнитной энергии.

22. Квантование момента импульса

Другое “скрытое движение” внутри квантового объекта проявляется в наличии момента импульса его состояния. В случае, например, стоячей электронной волны в поле ядра атома момент импульса не определяется с помощью суммирования элементарных моментов импульсов, его (момента импульса) наличие или отсутствие явной связи с некоторым движением не обнаруживает. Однако, у нас нет и оснований считать, что момент импульса в этом случае создается как-то иначе, чем в физике обыкновенной, как-то без движения. Вспомните, что мы говорили об импульсе электрона в одномерной потенциальной яме.

При решении уравнения Шрёдингера определяется лишь модуль (точнее, квадрат модуля) момента импульса и одна из проекций (составляющих?) момента импульса. Но - не любая, а лишь проекция на ось симметрии квадрата модуля волновой функции (ось квантования). Так что обычное небрежное замечание, что может быть определена лишь одна из проекций M_x, M_y или M_z значит не более, чем утверждение, что ось квантования мы можем обозначить любой буквой. И направить ее, как нам захочется

Попробуем представить себе обособленный, не испытывающий внешних воздействий атом. Как направлен его момент импульса? Как направлена ось симметрии состояния? Видимо, ответ должен быть такой - как угодно. Положим, мы хотим определить эти направления. Если Вы сразу вспомните, что измерения характеристик квантового состояния сопряжены с изменением самого состояния, это очень хорошо. Но - тем не менее.

Направление момента импульса нам определить никак не удастся - оно не определяет каких-нибудь физических процессов или их характеристик. И здесь мы встречаемся с изумительной гармонией: то, что мы не можем определить экспериментально, не может быть и рассчитано. И это, видимо, должно нас радовать, это означает, что наши уравнения описывают реальные физические процессы. Эта гармония не является особенностью квантовой механики. Так же обстоит дело и с потенциальной энергией - она определена с точностью до произвольного слагаемого. Экспериментально определяется только изменение, приращение потенциальной энергии. Соответственно, у нас нет и возможности рассчитать однозначное ее значение.

Теперь - ось квантования. Если мы поместим атом в электрическое или магнитное поле, она окажется направленной вдоль поля. Магнитное квантовое число m определяет составляющую момента импульса электрона вдоль оси квантования. Экспериментально это проявляется в том, что в результате взаимодействия с полем изменяется энергия состояния. Это изменение энергии пропорционально величине магнитного поля и составляющей магнитного момента вдоль оси квантования. Величина магнитного момента считается пропорциональной механическому моменту, и изменение энергии электрона в магнитном поле, таким образом, связывается с магнитным квантовым числом. Почему оно так и называется.

23. Классический гироскоп в магнитном поле

Момент импульса электрона (атома) не может быть направлен вдоль оси квантования, как иногда говорят, вдоль “физически выделенного направления”. Бытует мнение, что это одна из особенностей квантовой механики. Я хочу обсудить этот вопрос применительно к классической физике.

Будем рассматривать гироскоп в виде несущего некоторый заряд кольца. Гироскоп обычно определяют как тело, имеющее ось симметрии и быстро раскрученное вокруг этой оси. Момент импульса такого гироскопа направлен вдоль его оси симметрии.

Поместив вращающееся заряженное кольцо в магнитное поле, мы легко убедимся, что действующий на него момент сил равен нулю. В самом деле, действующая на любой выделенный участок кольца с зарядом Dq сила имеет нулевой момент относительно центра кольца.

Однако, такое движение гироскопа представляет собой лишь частный случай. В общем случае направление момента импульса не обязательно совпадает с осью симметрии гироскопа. Такое движение можно легко наблюдать, подбросив с закручиванием какой-нибудь диск (например, плоскую тарелку) в воздух. Почти наверняка Ваш диск в полете будет покачиваться. Происходит это потому, что в отсутствии моментов внешних сил момент импульса остается постоянным, а ось симметрии, не совпадающая с моментом импульса, описывает конус вокруг его направления.

Рассмотрим именно такое движение заряженного кольца в магнитном поле. Выделим два малых участка кольца с зарядами Dq на концах диаметра, который лежит в одной плоскости с вектором момента импульса  и осью симметрии OO’. Хотя поле  параллельно вектору момента импульса, момент сил относительно центра кольца отличен от нуля.

Этот результат наводит на определенные размышления. Во-первых, он означает, что в общем случае момент импульса гироскопа, несущего электрический заряд, и в классической физике не может совпадать с направлением магнитного поля. И другое, быть может, более важное.

Момент импульса и магнитный момент, которым определяется взаимодействие такого гироскопа с магнитным полем, не направлены по одной прямой. Не рассматривая этой задачи более подробно, я хочу лишь обратить Ваше внимание на то, что при анализе поведения атома в магнитном поле без какого-нибудь обоснования считается, что эти векторы направлены по одной прямой.

Но все это только наводит на определенные размышления. Каких-нибудь выводов я здесь делать не хочу.

24. Эпилог

Мы с Вами заканчиваем разговор о физике в рамках “физики общей”. В разделе “Механика и молекулярная физика” за основу было взято рассмотрение механического движения в приближении материальной точки, твердого тела, деформируемого тела и молекулярного движения, для описания которого оказалось необходимым использование вероятностного подхода.

В разделе “Электричество и магнетизм” мы сосредоточились на рассмотрении стационарных или квазистационарных полей. Собственно, одного - электромагнитного поля.

Наконец, третий раздел “Волны” был посвящен рассмотрению волновых процессов и закончился обсуждением явления, которое обычно называют волновыми свойствами частиц. Здесь мы обсудили некоторые вопросы интерпретации представлений квантовой физики. Считая, что это не вопрос общей физики, математического аппарата и большинства результатов, полученных квантовой физикой, я не касался.

Курс получился достаточно сложный. Я все время старался, чтобы обсуждаемые явления и результаты были понятны. Увы, это очень несовременный подход. В чем это проявляется? Например, уже в том, что последняя книжка Савельева названа учебником. До того учебников по физике для ВУЗов не существовало. Были только учебные пособия. В разных пособиях некоторые вопросы иногда трактовались по-разному. Учебники такой вольности не допускают.

Современным, к сожалению, часто оказывается формальное запоминание и пересказ предложенного материала на экзамене. Как заметил один китайский профессор, “похоже, мы учим студентов не физике, а тому, как сдать экзамен”. Не случайно слова “получить образование” прочно забыты. Сейчас при обучении “даются знания”. Такой способ учебы раньше назывался зубрежкой. Сейчас это норма.

Очень может быть, что при обсуждении проблем квантовой физики я был в чем-то очень не прав. Но и частое предложение давать квантовые представления в рецептурном плане мне очень не нравится - как можно отказываться от хотя бы попыток понять смысл физики? Понимать сложно, но только в понимании смысл образования.

На этом я прощаюсь с Вами, впрочем, пока что только до экзамена. Последнего Вашего экзамена по общей физике.