Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное Государственное Образовательное Учреждение

Государственная Морская Академия имени адмирала С.О. Макарова

Кафедра  ТОЭ

Курсовая работа №6

“ Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами”.

Вариант № 21

Выполнил: к-т гр. Э-232

Попаденко Н.С.

Проверил: доцент, к.т.н

Попов Ю.В.

Санкт-Петербург

2005

Задана электрическая цепь, изображенная на рисунке 1:

Требуется:

1) Определить выражения для всех токов в цепи в переходном режиме, решив задачу классическим и операторным методами.

2) Определить выражения для напряжений на емкости и индуктивности, решив задачу классическим и операторным методами.

3) Построить кривые напряжения токов во всех ветвях и напряжений на емкости и индуктивности  в функции времени.

Заданные параметры цепи:

(Ом);

 (Ом);

(Гн);

(мкФ)

1) Для t≥0 получим систему уравнений метода переменных состояния. Используя законы Кирхгофа, составим систему уравнений:

               (1)

   (2)

   (3)

    (4)

В качестве переменных состояния рассмотрим  и , подставим уравнения (2,3,4) в систему (1), сведя ее к системе из двух уравнений:

     (5)

Приведем систему уравнений (5) к нормальной форме.

2)

При  определим принужденные составляющие. Учтем, что в установившемся режиме

 (В/с);                                      (А/с).

Тогда система (6) примет вид:

(В)

(А);

3)

Корни характеристического уравнения можно найти из выражения входного комплексного сопротивления схемы переменному синусоидальному току, т.е для t≥0

;  заменяем на р и выражение приравниваем к нулю:

(1/с);    (рад/с).

4)

С помощью законов коммутации находим начальные условия переходного процесса:

(А);

(В).

Подставляя эти значения в систему (6) при t=0, получаем:

(В/с)

(А/с)

5)

Определим постоянные интегрирования, для этого составим систему уравнений. Первое уравнение системы – это уравнение искомой величины. Оно записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Принужденная составляющая найдена выше. Свободная составляющая записывается в соответствии с видом корней характеристического уравнения. При двух комплексных сопряженных корнях свободная составляющая представляет собой затухающую синусоиду, которая содержит две постоянных интегрирования  А и . Для их определения необходимо второе уравнение. Его получают дифференцированием первого:

При t=0 система сведется к виду:

Решение системы дает:                     ;                А= 37,79 (В);

Искомое решение для напряжения на емкости принимает   вид:  (В).

Аналогичным образом находим решение для тока второй ветви:

При t=0:

0.075= 0.0857+

50=

Искомое выражение для тока второй ветви:

 (А);

Определение :

Согласно уравнению (3)  ,  (В);

Из системы (1):

II. Операторный метод расчета

1) Составляется операторная схема замещения исходной электрической цепи (Рис.1) для времени . При этом все известные и неизвестные функции заменяются изображениями. Для нахождения параметров дополнительных источников операторной схемы замещения с помощью законов коммутации определяются независимые начальные условия (НУ):

 (А);                   (В).

2) Находится изображение искомого тока. Операторная схема замещения содержит 3 источника в разных ветвях: основной и два дополнительных. Поэтому для нахождения изображения тока второй ветви воспользуемся законами Кирхгофа в операторной форме:

            (7)

Подставим выражения для начальных условий в систему (7). Первое уравнение системы подставим во второе, выразим ток  и подставим его в третье уравнение системы,  в результате получили одно уравнение с одним неизвестным .

3) По найденному изображению определяется оригинал. Для нахождения корней приравнивается к нулю выражение :

;            ;            ;

(1/с);               (рад/с).

;

;

;   где    

;

(А).

Искомое выражение для тока :

 (А).

4) Аналогично найдем ток в первой  из системы уравнений (7).

Подставим выражения для начальных условий в систему (7).  Найденное выражение для тока  в пункте (3) подставим во второе уравнение системы (7):

;            ;            ;

(1/с);    (рад/с).

;

;   где    ;

;

Искомое выражение для тока :

5) Найдем напряжения :

;

;            ;            ;

(1/с);    (рад/с).

;

;   где    ;

Искомое выражение:

 (В);

6)

Найдем ток третьей ветви :

;

;            ;            ;

(1/с);    (рад/с).

;

;        где             

Искомое выражение для тока:

;

В методе переменных состояния было получено выражение для тока:

Покажем, что это одно и тоже значение:

7) В случае колебательного процесса рассчитать логарифмический декремент затухания.

 (А).