Методические указания по технической механике

РАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

1 Общие положения.

Наличие первичных погрешностей при изготовлении и монтаже зубчатых передач приводит к погрешностям в их работе, проявляющихся в кинематической погрешности пе­редачи, представляющей собой разность между действительным и номи-нальным (расчет­ным) углами поворота ведомого зубчатого колеса передачи, а также мертвом ходе, возни­кающем при ревер-сировании передачи. Значения первичных погрешностей различных ти­пов зубчатых передач ограничены стандартами, перечень которых приведен в таблице 1.1.

Стандарты устанавливают 12 степеней точности и 8 видов сопряжении зубчатых ко­лес. В точных механизмах применяются зубчатые колеса 5...8 степеней точности. При этом для высокоточных отсчетных и кинематических цепей механизмов приборов исполь­зуются передачи 5-й степени точности.

Таблица 1.1

Вид передачи

Модуль, мм

Стандарт

Степень точности

Вид сопряжения

Цилиндрические, внешнего и внутреннего зацепления с прямозубыми и косозубыми зубчатыми колесами

от 1 до 55

ГОСТ 1643-81

3...12

А, В, С, D, Е, Н

0.1...1.0 (исключительно)

ГОСТ 9178-81

3...12

D, Е,  F,G, Н

реечные прямозубые и косозубые

I...40

ГОСТ I0242-8I

3...I2

А, В, С, D, Е, Н

0,1...1,0

(исключительно)

ГОСТ 13506-81

3...12

D, Е, F, G, Н,

конические и гипоидные внешнего зацепления с пря­мыми, тангенциальными и криволинейными зубьями

1...56

ГОСТ 1768-81

4...12

А, В, С, D. Е, Н

конические мелкомодуль­ные внешнего зацепления с прямыми зубьями

0,1...1,0 (исключительно)

ГОСТ 9368-81

4...12

D, Е, F, G, Н

червячные цилиндрические с червяками типа ZA, Z1, ZN.ZK

1...25

ГОСТ 3675-81

1...12

А, В, С, D, Е, Н

0,1...1,0 (исключительно)

ГОСТ 9774-81

3...12

D, Е, F, G, Н

Необходимая степень точно-сти устанавливается в зависимо-сти от заданной кинема­тической погрешности зубчатой передачи. Вид сопряжения зависит от усло-вий эксплуа­тации зубчатой пере-дачи, главным из которых являет-ся температурной режим.

2 Расчет кинематической погрешности

Для определения кинематической погрешности механизма, составленного из зуб­чатых передач, сначала необходимо определить минимальные и максимальные значения кинематической погрешности каждой пары, а затем произвести суммирование этих погре­шностей относительно заданного вала методом максимума-минимума или вероятностным.

2.1 Минимальное значение кинематической погрешности, мкм

Передачи зубчатые цилиндрические:

,                                                                 (2.1)

где - допуск на кинематическую погрешность соответственно ведущего и ведомого колеса зубчатой пары; выби-рается из ГОСТ 1643-81 или ГОСТ 9178-81 в зависимости от степени точности колеса.

Передачи зубчатые конические:

,                                                                             (2.2)

где  - допуск на кинематическую погрешность ведущего и ведомого колес соответ­ственно, выбирается из  ГОСТ1756-81  и  ГОСТ 9368-81 в зависимости от степени точности.

Передачи червячные цилиндрические:

,                                                             (2.3)

где  - допуск на погрешность винтовой линии на длине нарезанной части червяка;

 - допуск на погрешность профиля витка червяка;

 - допуск на кинематическую погрешность червячного колеса.

Значения величин , ,  выбираются из ГОСТ 3675-81 и ГОСТ 9774-81 в зави­симости от принятой степени точности.

Передачи зубчатые реечные:

,                                                                                 (2.4)

где  - коэффициент фазовой компенсации, значение которого выбирается из таблицы 2.2.

Примечание 1.1

В формулах 2.1…2.3 k_s - коэффициент фазовой компенсации, выбираемый в зависимости от передаточ­ного числа зубчатой пары u=z₂/z₁ по таблице 2.1;

В формулах  2.1… 2.4  k₁ -коэффициент, зависящий от степени точности;

Коэффициент k₁

Тип передачи

Степень точности

5;6

7;8

Цилиндрическая; реечная

0,62

0,71

коническая

0,67

0,72

- коэффициент, учитывающий угол поворота ведомого зубчатого колеса, вычисляется по формуле:,

где j (…°) - угол поворота ведомого колеса зубчатой пары;

 -допуск на кинематическую погрешность зубчатого колеса:

, где Fp и f_f параметры, определяемые по таблицам стандартов (см. таблицу 1.1) в зависимости от степени точности. Для цилиндрических зубчатых колёс эти параметры можно определить по таблицам Приложения 1.

Таблица 2.1

u

k_s

k

u

k_s

k

от 1,0 до 1,5

0,3

0,98

св.4,0 до 4,5

0,90

0,96

св. 1,5 до 2 ,0

0,76

0,85

св.4,5 до 5,0

0,87

0,96

св. 2,0 до 2,5

0,75

0,83

св. 5,0 до 5,5

0,85

0,98

св.2,5 до 3,0

0,74

0,93

св.5,5 до 6,0

0,88

0,96

св.3,0 до 3,5

0,75

0,97

св.6,0 до 6,5

0,94

0,97

св.3,5 до 4,0

0,80

0,96

св. 6,5

0,99

0,98

Если передаточное число не выражается конеч-

ным , числом,  а  угол поворота ведомого

 колеса   то принять k_s= 0,98

Таблица 2.2

Unp

ks

k

Unp

ks

k

от 0,25 до 0,5

0,07

0,90

св. 2,00 до 2.25

0.68

0,87

св. 0,5 до 0,75

0,17

0,95

св.2,25 до 2,50

0.78

0,94

св. 0.75 до 1,00

0,4

0,80

св. 2,50 до 2,75

0,72

0,98

св. 1,00до 1,25

0,65

0,80

св. 2,75 до 3,00

0,68

0,92

св. 1,25 до 1,50

0,65

0,95

св. 3,00 до 3.25

0,73

0,90

св. 1,50 до 1,75

0,60

0,95

св. 3,25 до 3,5

0,83

0,95

св. 1,75 до 2,00

0,59

0,88

св. 3,5

0,98

0,98

U_пр=z_рейки/z_колеса

2.2 Максимальное значение кинематической погрешности передач, мкм.

Передачи зубчатые цилиндрические и конические

,                            (2.5)

где k - коэффициент фазовой компенсации, значение которого выбирается из таблицы 2.1 в зависимости от передаточного числа в зубчатой паре и.

- суммарная приведенная погрешность монтажа, мкм.

Передачи червячные цилиндрические:

,                    (2.6)

Передачи зубчатые реечные:

,                                                    (2.7)

где k - коэффициент фазовой компенсации, значение которого выбирается из таблицы 2.2 в зависимости от приведенного передаточного числа

2.3 Суммарная приведенная погрешность монтажа

Нормируемый стандартами допуск кинематической точности зубчатой передачи  обеспечивается технологическим процессом изготовления и контроля зубчатых ко­лес, валов (осей), опорных поверхностей корпусных элементов и процессом сборки с ис­пользованием выбранных по классу точности подшипников качения. Однако уже на ста­дии проектирования зубчатой передачи необходимо соблюдать рациональное соотношение между принятой степенью точности зубчатых колес и допусками на размеры формы и расположения поверхностей, которые прямо или косвенно определяют положение рабочей поверхности зубьев. В таблице 2.3 приведены рекомендуемые значения допусков на элементы зубчатых колес и валов, оказывающих влияние на степень точности зубчатой передачи. На рисун­ке 2.1 и рисунке 2.2 показаны обозначения допусков формы и расположения поверхностей отдельных зубчатых колес (рисунок 2.1) и собранных в узел (рисунок 2.2).

Для реечных, конических, червячных и винто-вых передач соотношение уровней точ­ности при выборе классов точности подшипников, посадок колёс на вал, допусков на диа­метр поверхности вершин и шероховатостей поверхностей также можно использовать ре­комендации таблицы 2.3.

При назначении на элементы зубчатых колес и валов допусков в соответствии с рекомендациями таблицы 2.3 суммарная приведенная погрешность монтажа отсутствует , В случае назначения (с целью удешевления деталей) более грубых значений допусков, необходимо вычислить значение возможной суммарной погрешности монтажа.

Таблица 2.3 - К выбору допусков на элементы монтажа цилиндрических эвольвентных  зубчатых колес на валах по рисунке 2.1 и рис.2.2

Рекомендуемые параметры и характеристики

Степень точности передачи

по ГОСТ 1643-81 или ГОСТ 9178-81

Обозначения:

       IT- допуск на диаметр d₂ (по ГОСТ 25346-89);

Fr- допуск радиального биения зубча-того венца, в мкм (по ГОСТ 1643-81, - для m > 1 мм или по ГОСТ9178-81, - для m <1 мм );

d - делительный диаметр, мм;

b- ширина венца зубчатого колеса, мм;

F_b - допуск на направление зуба, мкм (по ГОСТ 9178-81, таблице 7 - для

m <1 мм   или ГОСТ 1643-81, табли- це 11 для т ³ 1 мм).

5-

6

7

8

Класс точности подшипников качения

Р4

P5

P6

P6

Посадка ступицы колеса, на вал Æd₂; (НQ/ТQ)

H5/k5*

H6/k6

Н7/j_s6

Радиальное биение посадочной поверхности вала F_R1 мкм

IT5/4

IT6/4

IT6/2

Радиальное биение поверхности вершин зубьев F_R2, мкм

F_R2=0,6F_r

Предельное отклонение диаметра окружности вершин hQ

h7

h8

Биение базового торца шестерни или колеса F_a1 мкм; d, мм

Биение базового торца колеса после сборки F_a2 мкм

F_a2=1,2×F_a1

Радиальное биение зубчатого венца F_{R3 ,}мкм

F_R3=0,75×F_r,

Шероховатость поверхности

рабочих профилей зубьев - ^а¨

0,63

1,25

посадочной поверхности вала -^б¨

0,32

0,63

1,25

посадочной поверхности ступицы колеса -^в¨

0,63

1,25

поверхности цапф вала -^г¨

0,32

0,63

1,25

Для зубчатых цилиндрических, конических и червячных колес:

,                                                                                          (2.8)

где e_r - монтажное радиальное биение зубчатого колеса;

e_a - монтажное осевое биение зубчатою колеса.

a - угол профиля исходного контура зубчатого колеса; (a=20°);

b - угол наклона линии зуба зубчатого колеса;

Монтажное радиальное биение может быть определено по формуле:

,                                                                  (2.9)

где - избыточное радиальное биение посадочной поверхности вала, мкм.

,                                                                                            (2.10)

где принятое значение радиального биения посадочной поверхности вала, отличное от табличного значения .

- избыточное радиальное биение зубчатого венца, мкм:

,                                                                                                   (2.11)

принятое значение радиального биения зубчатого венца отличное от табличного ;

избыточное радиальное биение дорожек качения внутреннего кольца шарикоподшипников, на которых установлен вал данного колеса:

,                                                                                             (2.12)

где  принятое радиальное биение дорожек качения внутреннего кольца в случае при­менения шарикоподшипников более грубого класса точности, чем рекомендуется по табли­це 2.3. Значения радиального биения дорожек подшипников  выбираются по ГОСТ 520-89

Осевое биение зубчатого колеса определяется по формуле:

,                                               (2.13)

где  избыточное торцевое биение базового торца шестерни или колеса, мкм;

'                                                                                                           (2.I4)

где - принятое торцовое биение базового торца шестерни или колеса значения , отличное от рекомендуемого по таблице 2.3.

избыточное торцовое биение базового торца колеса после сборки, мкм

,                                                                                                   (2.15)

где -принятое торцовое биение базового торца колеса после сборки отличное от значения  рекомендуемое по таблице 2.3;

 - избыточное торцовое биение дорожек шарикоподшипников:

,                                                                                                               (2.16)

где - торцовое биение дорожек шарикоподшипников более грубых классов точности,

чем рекомендуется по таблице 2.3. Значения торцового биения дорожек выбираются по ГОСТ 520-89.

Суммарная приведенная погрешность монтажа цилиндрических червяков может быть определена по формуле:

.                                                   (2.17)

Значения e_a и e_r могут быть вычислены по формулам (2.9) и (2.13).

2.4 Значение кинематической погрешности зубчатой передачи в угловых единицах.

При расчете погрешностей механизма в угловых единицах, вычисленные по форму­лам (2.1)...(2.7) значения минимальной  и максимальной кинематической погрешностей из линейных единиц (мкм) переводятся в угловые (...'):

,                                                                                       (2.18)

где - минимальное или максимальное значение кинематической погрешности, (...');

- минимальное или максимальное значение кинематической погрешности, мкм;

d - делительный диаметр ведомого колеса зубчатой пары, мм.

2.5 Суммарная кинематическая погрешность зубчатого механизма

2.5.1 При расчете по методу максимума-минимума

,                                                          (2.19)

где  - максимальное значение кинематической погрешности зубчатой пары, вычисленное в зависимости от вида передачи;

- передаточное отношение от вала, на котором находится ведомое колесо данной зубчатой пары, до вала, к которому приводится погрешность.

Полученное по формуле (2. 19) значение кинематической погрешности должно быть меньше или равно допустимому значению погрешности, заданному для данной кинемати­ческой цепи механизма.

2.5.2 При расчете по вероятностному методу

Координата середины поля рассеяния кинематической погрешности зубчатой пары:

,                                                                                      (2.20)

где i - номер зубчатой пары.

Поле рассеяния кинематической погрешности зубчатой пары:

.                                                                                                (2.21)

Координата середины поля рассеяния кинематической погрешности рассматривае­мой цепи механизма:

.                                                                   (2.22)

Суммарное  вероятностное значение кинематической погрешности рассматривае­мой цепи механизма:

,                           (2.23)

Процент риска р,%

10

4.5

1,0

0,27

Коэффициент t₁

0,26

0,35

0,46

0,57

где t₁ - коэффициент, зависящий от процента риска, значение его

выбирается из следующей таблицы

Вероятностное значение кинематической погрешности цепи, состоящей из одной зубчатой пары, определяется по формуле:

,                                                                                                                    (2.24)

где K_p- вероятностный коэффициент, значение которого выбирается из таблиц (2.4)...(2.6), в зависимости от вида передачи,

Таблица 2.4-Значение коэффициента К_p для цилиндрических и конических зубча­тых передач

Про­цент 

риска

Передаточное число

от 1,0

св. 1,5

св.2,0

св.2,0

св.3,0

св.3,5

св.4,0

св.4,5

св.5,0

св.5,5

св.6,0

св

до 1,5

до 2,0

ДО 2,5

ДОЗ

до 3.5

до 4,0

до 4,5

до 5,0

до 5,5

до 6,0

6,5

32

0,58

0,68

0,60

0,74

0,71

0,71

0,68

0,71

0,78

0,70

0,78

0,80.

10

0,92

0,78

0,73

0,88

0,82

0,32

0,80

0,82

0,90

0,88

0,91

0,94

4,5

0,95

0,83

0,81

0,91

0,91

0,91

0.88

0,92

0,94

0,94

0,94

0,96

1,0

0,96

0,84

0,82

0,92

0,95

0,95

0,94

0,95

0,97

0,95

0,96

0,96

Таблица 2.6--Значение

коэффициента К_p

для червячной передачи

Процент риска р,%

Коэффициент Кр

32

0,79

10

0,87

4,5

0,89

1,0

0,92

0,25

0,93

 процента риска и передаточного числа.

Таблица 2.5 - Значение коэффициента К для зубчатой реечной передачи

Про­цент риска

Приведенное передаточное число

От 0,25 до0,50

св. 0,5 до0,75

св.0,75 до 1,00

св.1,00 до 1,25

св.1,25 до1,50

св.1,50 ДО 1,75

св.1,75 до2,00

св.2,00до2,25

св.2,25 до2,50

св.2,50 до 2,75

св.2,75 до 3,00

32

10

4,5

1,0

0,54 0,81 0,85 0,88

0,62 0,83 0,87 0,89

0,42 0,75 0,77 0,78

0,54 0,70 0,76 0,78

0,70 0,86 0,88 0,89

0,70 0,86 0,86 0,89

0,76 0,86 0,84 0,86

0,73 0,81 0,84 0,86

0,76 0,84 0,90 0,93

0,76 0,91 0,93 0,95

0,73 0,82 0,86 0,88

2.6 Кинематическая погрешность планетарных механизмов

При проектировании механизмов часто возникает требование компоновки, при кото­рой входной и выходной валы были бы соосны. Такая задача лучше других способов реша­ется планетарными зубчатыми механизмами. Одной из наиболее распротра-ненных явля­ется кинематическая схема механизма, представленная на рисунке 2.3. При этом вопрос о том, какое из центральных колее должно быть неподвижным (а или с), решается в зависимости от требуемой ориентации входного и выходного вала

                                                                                     Рисунок 2.3

Передаточное отношение механизма по схеме 2.3а при ведущем водиле h опре­деляется по формуле:

,                                                                                                 (2.25)

а для механизма по схеме рис. 2.3:б

.                                                                                                    (2.26)

Суммарная кинематическая погрешность планетарного механизма рассчитывается в соответствии с вышеприведенной методикой, но при этом водило условно считается не­подвижным, а кинематическая погрешность суммируется от вала неподвиж-ного централь­ного колеса до вала подвижного центрального колеса.

2.7. Методы достижения заданной кинематической погрешности

В случае если расчетное значение суммарной кинематической погрешности превы­шает заданное, его можно уменьшить за счет следующих мероприятий:

1. Применением зубчатых колее более высоких степеней точности, начиная с пос­ледних (выходных) ступеней.

2. Уменьшением приведенной погрешности монтажа за счет выбора подшипников более высокого класса точности и уменьшением допусков на погрешность формы и раз­меров посадочных мест зубчатых колес.

3. Перераспределением передаточных отношений между ступенями механизма с целью увеличения передаточных отношений последних ступеней при соответствующем уменьшении передаточных отношений первых ступеней.

4. Увеличение процента риска и соответствующим уменьшением значения коэффи­циента t₁ в формуле 2.23.

2.8. Рекомендации по расчету кинематической погрешности

Номер колеса

d

u

F_r

F_p

f_f

f_hk

k₁

k_s

k

k_j

DE_SM

i_Si

t₁

1

2

…

Расчет кинематической погрешности зубчатого механизма производится после оп­ределения геометрических размеров зубчатых колес, составляющих механизм. Далее в за­висимости от типов зубчатых передач (цилиндрические, конические, червячные, реечные) и степени точности по соответствующим стандартам (см. таблицу 1.1) составить таблицу первичных погрешностей, а также параметров и коэффициентов, учитываемых при расчете кинематической погрешности

После этого произвести расчет кинематической погрешности заданной кинематиче­ской цепи.

3. Расчет погрешности мертвого хода

Мертвый ход возникает в механизмах, работающих в реверсивных режимах. Сос­тавляющими погрешности мертвого хода зубчатых механизмов являются зазоры между рабочими поверхностями зубьев, зазоры в опорах валов и упругие деформации: скручи­вание и изгиб валов.

3.1 Определение вида сопряжения.

В зависимости от вида сопряжения в зацеплении устанавливается значение гаранти­рованного бокового зазора J_nmin,, кoтоpoе в свою очередь определяется в зависимости от условий эксплуатации с учетом температурного режима, способа смазывания и окружной скорости работы зубчатых колес. В мелкомодульных зубчатых колесах основным крите­рием для выбора вида сопряжения является температурная деформация.

Минимальный боковой зазор из условий предотвращения заклинивания зубьев при температурных деформациях J_пр определяется в зависимости от типа передач по следую­щим формулам:

3.1.1 Передачи цилиндрические зубчатые и червячные:

,                            (3.1)

где J_пр - допустимый зазор, мкм;

d_{1 ,}d₂ -диаметры делительной окружности шестерни и колеса соответственно, мм;

a₁, a₂, a_k,- температурный коэффициент теплового расширения материала шес­терни, колеса и корпуса соответственно, "С;

t₀- нормальная температура, °С (t₀= 20°C);

t - рабочая температура, °С;

a_tw- угол зацепления шестерни и колеса;

т - модуль зацепления, мм.

Для цилиндрических зубчатых и червячных передач, у которых имеются колеса из искусственных смол или других пласт-масс, необходимо учитывать набухания венца во влажной атмосфере. В этом случае минимальный допустимый зазор равен:

,       (3.2)

где Dd- ширина части колеса, изготовленной из пластмассы, мм;

x- коэффициент набухания пластмассы (для полиамидных смол x = 0,05 %).

3.1.2. Передачи зубчатые конические

            (3.3)

где d_е1, d_е2 - угол делительного конуса шестерни и колеса соответственно;

d_ei,d_e2- внешний делительный диаметр шестерни и колеса соответственно.

Значения температурных коэффициентов линейного расширения различных материалов, приведены в таблице 3.1

                                                                                                                   Таблица 3.1

Материал

Марка

a×10⁵×°С^-1 

Материал

Марка

a×10⁵×°С^-1 

Чугун

белый

0,8

Алюми-

ниевый

сплав

АМг

2,36

серый

1,05

Д16-Т

2,27

ковкий

1,1

В95

2,31

Сталь

10…20

1,16

АЛ2

2,11

30,45,А12

1,06

АЛ3

2/2

40Х

1,34

АЛ9

2,3

40Х13

1,1

Бронза

БрОФ6,5-1,5

1,72

Х18Н9Т

1,6

БрОЦ4-3

1,8

ШХ15

1,4

БрАЖ9-4

1,62

30ХГСА

1,1

БрБ2

1,66

12ХН3А

1,2

Латунь

Л62

2,06

25Х13Н2А

1,2

ЛС59-1

2,06

Минимальное значение бо­кового зазора, определяю­щее вид соп­ряжения, наз­начается из условия: J_nmin ³ Jпр и выбирается по таблицам соответствующих стандар­тов (см. таблицу 1.1)

3.2  Минимальное значение мертвого хода передачи

Для всех видов передач минимальное значение мертвого хода, приведенное к дуге делительной окружности, определяется по формуле:

                                                                                                      (3.4)

где  J_{t min} - гарантированный боковой зазор, мкм

а_t,- торцовый угол профиля;

g - делительный угол подъема винтовой линии червяка. Для косозубых колес g=b для прямозубых g =0.

3.3 Максимальное значение мертвого хода передач

3.3.1 Передачи зубчатые цилиндрические:

,                                                    (3.5)

где E_HS1, E_HS1 -наименьшее дополнительное смещение исходного контура шестерни и колеса соответственно, мкм;

T_H1, T_H2 -смещение исходного контура шестерни и колеса соот­ветственно, мкм;

f_а - предельное отклонение межосевого расстояния, мкм;

G_r1 и G_r2 - радиальный зазор в опорах шестерни и колеса соответственно, мкм.

3.3.2 Передачи зубчатые конические:

,                                                                                                                    (3.6)

  где  - наименьшее отклонение средней делительной толщины зуба по хорде шестерни и колеса соответственно, мкм;

f_AM1, f_{AM2 -}- предельное осевое смещение зубчатого венца шестерни и колеса соответственно, мкм;

E_S - предельное отклонение межосевого угла передачи;

- допуск на среднюю делительную толщину зуба по хорде в шестерне и колесе соответственно, мкм;

G_a1, G_a2- осевой зазор в опорах шестерни и колеса, мкм;

d₁, d₂- угол делительного конуса шестерни и колеса соответственно.

3.3.3 Передачи червячные цилиндрические:

,                                           (3.7)

где  - наименьшее отклонение толщины витка по хорде, мкм;

 - допуск на толщину витка, мкм;

f_a - предельное отклонение межосевого расстояния червячной передачи, мкм;

f_ac - предельное отклонение межосевого расстояния в обработке f_ac = 0,75 f_a.

3.3.4 Передачи зубчатые реечные:

.                                                             (3.8)

Все значения величин, входящих в формулы (3,5)...(3,8), выбираются по таблицам стандартов, указанных в таблице 1.1 в зависимости от типа передач, степени точности и вида сопряжения. Значения радиальных G_r,. и осевых G_a зазоров назначаются в зависимо­сти от типа опор.

3.4 Погрешность мертвого хода в угловых единицах (...')

При необходимости получения погрешности мертвого хода в угловых единицах, вычисленные по формулам (3.5) ... (3.8) значения минимальной и максимальной погреш­ностей, из линейных единиц (мкм) переводятся в угловые (...'):

                                                                                             (3.9)

где J_j - минимальное или максимальное значение погрешности мертвого хода в угловых единицах (...');

J_t- минимальное или максимальное значение погрешности мертвого хода в мкм,

d - делительный диаметр ведомого колеса зубчатой пары, мм.

3.5 Суммирование погрешностей мертвого хода, вызванных боковым зазором в передаче.

3.5.1 При расчете по методу максимума-минимума:

,                                                                    (3.10)

где J_{j max i} - максимальное значение мертвого хода i-ой ступени, рассматриваемой кинематической цепи;

i_Si  передаточное отношение между валом ведомого колеса зубчатой пары и валом, к которому приводится погрешность

3.5.2 При расчёте по вероятностному методу:

1. Определить координату середины поля рассеяния погрешности мертвого хода каждой ступени:

.                                                                                                             (3.11)

2. Определить поле рассеяния погрешности мертвого хода каждой ступени:

.                                                                                                 (3.12)

3. Определить суммарную координату середины поля рассеяния, рассматриваемой кинематической цепи

,                                                                          (3.13)

где E_Vj - координата середины поля рассеяния i-ой ступени.

4. Суммарное вероятностное значение погрешности мертвого хода, рассматривае­мой кинематической цепи:

,                                                                     (3.14)

Процент риска р,%

10

4,5

1,0

0,27

Коэффициент t₂

0,21

0,28

0,39

0,46

 где Vji - поле рассеяния i-ой ступени,

t₂- коэффициент, учитывающий процент риска. Его значение вбирается по таблице:

3.6 Погрешность упругого мертвого хода

3.6.1. Погрешность упругого мертвого хода от скручивания валов

Эта погрешность определяется как двойной угол скручивания вала при нагружении его крутящим моментом:

                                                                                                                                                                         (3.15)

где - двойной угол скручивания вала, рад;

Т- крутящий момент на валу, Н-мм;

l - расстояние между средними плоскостями зубчатых колес, установленных на валу, или расстояние между средними плоскостями колеса и места съема движения с вала, мм;

Jp- полярный момент инерции поперечного сечения вала, мм⁴. Для вала круглого сечения Jp =л•d⁴/32•,

G - модуль упругости материала вала при кручении, МПа. Для стали G = 8×10⁴ МПа.

Значение погрешности упругого мертвого хода от скручивания для стального вала круглого сечения в угловых минутах (...') определяется по формуле:

,                                                                                                                                   (3.16)

где d_в- диаметр вала, мм.

Суммарная погрешность мертвого хода от скручивания валов кинематической цепи определяется по формуле:

                                                                                                                                  (3.17)

где - погрешность упругого мертвого хода от скручивания отдельных валов,

- передаточное отношение между i-тым валом и выходным валом, рассматри­ваемой кинематической цепи.

3.6.2 Погрешность упругого мертвого хода от изгиба валов, приведенная к оси ве­домого колеса зубчатой пары в угловых минутах (...') для стальных валов круглого сече­ния определяется по формуле:

,                                  (3.18)

где Т₂ - крутящий момент на валу ведомого колеса зубчатой пары, Н-мм;

dw₂ - диаметр начальной окружности ведомого колеса, мм;

, - диметры валов, на которых установлены ведущее и ведомое колеса данной зубчатой пары, мм;

k₁, k₂ - коэффициенты, учитывающие расположение зубчатых колес относительно опор вала, мм. Для схемы на рисунке. 3.1а , для схемы на рисунке. 3.16 .

Если , то погрешность упругого мертвого хода от изгиба валов не учитывается.

Суммарная погрешность упругого мертвого хода от изгиба валов может быть опре­делена по формуле:

                                                                                                                (3.19)

 - погрешность упругого мертвого хода от изгиба валов i-ой зубчатой пары;

 - передаточное отношение между валом ведомого колеса данной пары и валом, к которому приводится погрешность.

3.7 Полная погрешность мертвого хода

Полная погрешность мертвого хода представляет собою сумму погрешностей мерт­вого хода от зазоров между зубьями, определяемую по формулам (3.10) или (3.14), и по­грешностей упругого мертвого хода, определяемой по формулам (3.17) и (3,19),

Таким образом

                                                                       (3.20)

или                                 ,                                                                           (3.21)

где  - допустимое значение погрешности мертвого хода кинематической цепи.

3.8 Погрешность мертвого хода в планетарных механизмах

Погрешность мертвого хода, вызванная боковым зазором между зубьями в отдельно взятых зубчатых парах, составляющих планетарный механизм, определяется по формулам (3.1)...(3.8). Суммарная погрешность (максимальная) мертвого хода в (...') между водилом и подвижным центральным колесом для схемы на рисунке 2.За может быть определена по формуле:

                                                                                 (3.22)

а для схемы на рисунке 2.3б по формуле

                                                                                (3.23)

где d_a, d_c- диаметры делительных окружностей центральных колес, мм;

,- максимальная погрешность мертвого хода в зубчатых парах, мкм;

, - передаточные отношения планетарного механизма, вычисляемые по фор­мулам (2.25) или (2.26).

При суммировании вероятностным методом:

для схемы на рисунке 2.3а:

;                                                                           (3-24)

-для схемы на рисунке 2.3.6:,

 ,                                                                             (3.25)

где  - координата середины поля рассеяния погрешности мертвого хода для планетар­ного механизма  на рисунке 2.3,а:

 ,                                                                                                           (3.26)

где - координата середины поля рассеяния погрешности мертвого хода для планетарного механизма на рисунке. 2.36:

E_va-g и E_vf-c - координаты середины поля рассеяния погрешности мертвого хода зубчатых пар a-g и f-c,   вычисляемые по фор-

муле (3.11);

V_a.g, V_f-c - поле рассеяния погрешности мертвого хода зубчатых пар a-g и f-c, вычисляемых по формуле (3.12);

t₂- коэффициент, учитывающий процент риска. Его значения выбираются по таб­лице 3.2.

3.9 Способы уменьшения погрешности мертвого хода.

В случае превышения расчетной суммарной погрешности над допустимой необхо­димо принять меры по уменьшению погрешности мертвого хода. Основные из них сле­дующие:

1. Уменьшение зазора в опорах валов.

2. Применение специальных конструкций зубчатых колес, уменьшающих или устра­няющих боковой зазор между зубьями. Наиболее эффективными являются безлюфтовые  зубчатые колеса, состоящие из 2-х колес: основного и поджимного и устанавливаемых между ними пружинами (винтовыми или плоскими).

Рабочее усилие пружины (в Н) определяется из условия:

,                                                                                                                (3.28)

где  Т_кр - момент, передаваемый валом, на котором устанавливается бсзлюфтовое зуб­чатое колесо, Н мм;

l₂- расстояние между осями пружины и зубчатого колеса, мм;

n - количество пружин.

Расчет усилия пружины по формуле (3.28) производится в случае применения пру­жин сжатия или растяжения. В случае использования конструкций безлюфтовых колес с пружинами, создающими вращающий момент, пружина выбирается по условию:

  .                                                                                                              (3.29)

3.10 Рекомендации по расчету погрешности мертвого хода

Номер

 колеса

d

a_W

J_nmin

f_a

E_H

T_H

f_aM

E_S

T_Ŝ

f_ac

G_r

G_a

t₂

1

2

3

4

Расчет погрешности мёртвого хода производится после определения геометричес­ких размеров зубчатых колес и выполнения компоновки механизма с целью определения положения зубчатых колес на валах и значений пролетов валов. Далее необходимо оп­ределить минимальный боковой зазор из условий предотвращения заклинивания зубьев при температурных деформациях по формулам (3.1)...(3.3), выбрать вид сопряжения, зна­чения величин, входящих в формулы (3.4)...(3.8), в зависимости от видов передач по ста­ндартам (таблица 1.1). Значения этих величин свести в таблицу, куда также занести значе­ния других параметров, входящих в формулы (3.4)...(3.8):

После составления таблицы исходных данных произвести суммирование погрешно­стей в заданной кинематической цепи

Таблица 1-Нормы кинематической точности

Степень точности

Обозначение

Модуль т, мм

Делительный диаметр d, мм

До 12

Св. 12 до 20

Св. 20 до32

Св. 32 до 50

Св. 50 до 80

Св. 80 до 125

Св. 125 до 200

Св. 200 до 315

Св. 315 до 400

мкм

5

Fr

От 0,1 до 0,5

7

8

9

10

12

14

16

—

—

Св.. 0,5 до 1,0

9

10

11

12

14

16

19

22

22

Fp

От 0,1до<1,0

10

11

12

14

16

19

22

25

30

6

Fr

От 0,1 до 0,5

11

12

14

16

19

22

26

—

—

Св.0,5до<1,0

15

16

18

20

22

25

30

35

36

Fp

От0,1до<1,0

16

17

19

22

25

30

36

40

45

7

Fr

От 0,1 до 0,5

16

18

20

22

26

30

36

—

—

Св. 0,5 до < 1,0

21

22

24

26

30

36

42

48

50

Fp

От0,1до<1,0

22

24

26

30

35

42

50

56

63

8

Fr

От 0,1 до 0,5

19

21

25

28

32

38

45

—

—

Св,0,5до<1,0

26

28

30

34

38

45

50

55

63

Fp

От0,1до<1,0

32

34

38

42

50

60

70

80

90

*- для этих диапазонов диаметров числовые значения допусков относятся к зубча­тым колесам с модулями свыше 0,5 мм

Fr -допуск на радиальное биение зубчатого колеса;

Fp -допуск на накопленную погрешность шага зубчатого колеса

Таблиц 2-Нормы плавности работы

(показатель f_f-допуск на погрешно­сть

 профиля  зуба)

Обоз­на-

че­ния

Модуль т. мм

Степень

 точности

5

6

7

8

мкм

f_f

От 0,1 до 0,5

5

7

9

11

Св. 0,5  < 1

3

4

10

13

Приложение 1

Таблица 3-Нормы контакта зубьев (показатель f_b)

Обоз наче ния

Ширина зубчатого венца b_w, мм

Степень точности

5

6

7

8

мкм

f_b

До 10

6

7

9

13

Св. 10 до 20

7

9

11

15

Св. 20 до 40

7

9

11

17

Таблица 5 - Нормы бокового зазора (показатели –E_Wms или +E_Wmi

cлагаемое I и –E_Ws  или E_Wi)

Вид сопряжения

Степень точности

по нормам плавности

Делительный диаметр d, мм

До 12

Св. 12 до 20

Св. 20 до32

Св. 32 до 50

Св. 50 до 80

Св. 80 до 125

Св. 125 до 180

Св. 180 до 250

Св. 250 до 315

Св. 315 до 400

мкм

H

3-7

3

4

5

6

7

8

9

9

10

10

G

3-6

8

9

11

13

15

17

19

25

28

30

7

11

12

13

15

17

19

21

26

28

32

8

15

16

17

18

20

22

24

30

32

35

F

3-6

12

15

18

21

24

26

30

36

40

45

7

15

16

19

22

25

28

32

36

40

45

8

18

20

22

25

28

32

36

40

42

45

E

3-7

19

22

26

30

36

42

48

55

63

70

8

24

26

30

35

40

45

50

60

63

70

9

28

32

36

40

45

50

55

63

70

D

3-7

28

34

40

48

55

63

75

85

95

105

8

34

38

42

48

55

63

80

85

95

105

9

38

42

48

55

60

70

80

90

100

110

Таблица 4 -Нормы бокового зазора (показатели J_nmin,f_a)

Вид сопряжения

Класс отклонений межосевого расстояния*

Обозначения

Межосевое расстояние a_w, мм

До 12

Св. 12 до 20

Св. 20 до32

Св. 32 до 50

Св. 50 до 80

Св. 80 до 125

Св. 125 до 180

Св. 180 до250

Св. 250 до 315

Св. 315 до 400

мкм

H

II

J_nmin

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

G

III

6

8

9

11

13

15

18

20

23

25

F

IV

9

11

13

16

19

22

25

29

32

36

E

V

15

18

21

25

30

35

40

46

52

57

D

VI

22

27

33

39

46

54

63

72

81

89

H

II

f_a

±8

±9

±11

±14

±16

±18

±20

±22

±25

±28

G

III

±11

±14

±16

±20

±22

±28

±30

±35

±40

±45

F

IV

±18

±22

±25

±32

±35

±45

±50

±55

±60

±70

E

V

±30

±36

±40

±50

±60

±70

±80

±90

±100

±110

D

VI

±45

±55

±63

±80

±90

±110

±120

±140

±160

±180

* Класс отклонений межосевого расстояния используется при измерении соответствия между видом сопряжения и классом отклонения межосевого расстояния

Таблица 6- Нормы бокового зазора (показатели E_HS- lдля зубчатых

 колёс  с внешними зубьями; E_HI- для зубчатых колёс с внутрен-

ними  зубьями

Вид сопряжения

Степень точности

 по нормам плавности

Делительный диаметр d, мм

До 12

Св. 12 до 20

Св. 20 до32

Св. 32 до 50

Св. 50 до 80

Св. 80 до 125

Св. 125 до 180

Св. 180 до 250

Св. 250 до 315

Св. 315 до 400

мкм

H

3-7

5

6

7

6

9

11

13

14

16

18

G

3-6

12

14

16

18

22

25

28

38

40

45

7

16

18

20

22

26

28

30

40

40

45

8

22

24

26

28

30

32

34

45

50

50

F

3-6

18

22

26

30

35

40

45

55

60

63

7

22

24

28

32

36

42

48

55

60

63

8

26

30

34

38

42

45

53

60

63

70

E

3-7

28

32

38

45

53

60

70

80

90

100

8

35

40

45

50

55

63

75

85

95

105

9

42

48

55

60

63

70

80

90

100

110

D

3-7

40

55

60

70

80

90

110

130

140

150

8

50

55

60

70

80

95

118

130

150

160

9

55

60

70

80

90

100

120

130

150

160

Таблица7-Нормы бокового зазора (Twm - допуск на среднюю длину

общей нормали)

Вид сопряжения

Допуск на радиальное биение зубчатого венца Fr

Вид допуска бокового зазора

До 6

Св. 6 до 8

Св. 8 до 10

Св. 10 до 12

Св. 12 до 16

Св. 20 до 25

Св. 25 до 32

Св. 32 до 40

Св. 40 до 50

Св. 50 до 60

Св. 60 до 80

Св. 80 до 100

Св. 100 до 125

Св. 125 до 160

Св. 160

мкм

Н

h

6

7

7

8

9

10

11

12

14

16

18

21

25

28

35

38

G

g

8

8

9

9

11

12

14

15

16

20

21

28

32

40

48

50

F

f

9

10

10

11

12

14

16

19

21

22

28

35

38

45

56

63

E.D

e

11

11

12

14

15

17

21

22

26

30

38

45

53

67

80

85

Таблица 8-Нормы бокового зазора (Tw - допуск на длину общей нормали)

Вид сопряжения

_{Вид допуска бокового} зазора

Допуск на радиальное биение зубчатого венца Fr

До 6

Св. 6 до 8

Св. 8 до 10

Св. 10 до 12

Св. 12 до 16

Св. 16 до 20

Св. 20 до 25

Св. 25 до 32

Св. 32 до 40

Св. 40 до 50

Св. 50 до 60

Св. 60 до 80

Св. 80 до 100

Св. 100 до 125

Св. 125 до 160

Св. 160

мкм

Н

h

10

11

12

14

17

20

22

26

34

40

48

60

75

95

112

130

G

g

11

12

14

15

19

22

26

30

36

45

50

67

80

100

130

140

F

f

12

14

15

17

20

24

28

34

40

48

56

75

90

110

140

160

E,D

e

14

15

17

20

22

28

32

38

48

53

67

85

100

130

160

180

Таблица 9-Нормы бокового зазора

(Т_Н- допуск на смещение исходного контура)

Вид сопряжения

Вид допуска бокового зазора

Допуск на радиальное биение зубчатого венца F_r

До 6

Св. 6 до 8

Св. 8 до 10

Св. 10 до 12

Св. 12 до 16

Св. 16 до 20

Св. 20 до 25

Св. 25 до 32

Св. 32 до 40

Св. 40 до 50

Св. 50 до 60

Св. 60 до 80

Св. 80 до 100

Св. 100 до 125

Св. 125 до 160

Св. 160

мкм

Н

h

14

16

18

20

25

30

34

40

50

60

70

90

110

140

170

190

G

g

16

18

20

22

28

32

38

45

53

67

75

100

120

150

190

210

F

f

18

20

22

25

30

36

42

50

60

70

85

110

130

160

200

230

E,D

e

20

22

25

30

34

40

48

56

70

80

100

125

150

190

240

260

Таблица 9-Нормы бокового зазора

(Т_Н- допуск на смещение исходного контура)

Вид сопряжения

Вид допуска бокового зазора

Допуск на радиальное биение зубчатого венца F_r

До 6

Св. 6 до 8

Св. 8 до 10

Св. 10 до 12

Св. 12 до 16

Св. 16 до 20

Св. 20 до 25

Св. 25 до 32

Св. 32 до 40

Св. 40 до 50

Св. 50 до 60

Св. 60 до 80

Св. 80 до 100

Св. 100 до 125

Св. 125 до 160

Св. 160

мкм

Н

h

14

16

18

20

25

30

34

40

50

60

70

90

110

140

170

190

G

g

16

18

20

22

28

32

38

45

53

67

75

100

120

150

190

210

F

f

18

20

22

25

30

36

42

50

60

70

85

110

130

160

200

230

E,D

e

20

22

30

34

40

48

56

70

80

100

125

150

190

240

260

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Параметры и конструктивные элементы безлюфтовых зубчатых колес.

В зависимости от конструктивных особенностей механизма и допустимых его габаритов люфтовыбиращее устройство может устанавливаться либо на ведущем колесе зубчатой пары, либо на ведомом. Тип безлюфтового зубчатого колеса и размеры его элементов зави­сят от значения момента, передаваемого валом, на котором установлено данное зубчатое колесо. На рисунке 1 даны размеры винтовых пружин растяжения в зависимости от рабо­чей нагрузки, определяемой по формуле (3.28), а на рисунке 2 даны размеры мест установ­ки этих пружин на зубчатых колесах. На рисунке 3 даны размеры пружины кручения в зависимости от потребного значения кру­тящего момента пружины, определяемого по формуле (3.29), а на рисунке 4 показана кон­струкция безлюфтового колеса с пружиной кручения и даны размеры элементов для ее установки.

Рисунок 1

b

R

l

l₁

l₂

l₃

d

k

s

4

2,0

9

1,0

13,9

2,0

0,8

2,5

0,6

5

2,5

11

1,5

14

4,4

0,9

3,0

0,7

6

3,0

12

12,7

2,5

1,0

7

3,5

18

2,5

14,6

6,9

1,2

5,0

0,9

7

14,5

15,2

5,5

1,0

4,0

1,0

9

4,5

21

13,5

8,7

1,2

4,5

11

5,5

23,5

16

9,5

1,3

Рисунок 2

Рисунок 3

мм

D

D₁

b

d

17

14

1,2

1,3

22

19

27

24

1,8

1,7

32

29

1,5

1,5

37

34

42

39

45

43,5

2,3

2,0

50

48,5

Размеры, мм

j°

Угол заrру-чивания (¼°)

Крутя-

щий момент, Нмм

D

d

h

h₁

R

15

0,8

2,5

4,0

0,8

27

23

48

20

38

32

49

25

1,2

47

39

163

30

1,0

59

49

96

35

3,0

5,0

1,0

69

57

40

78

65

45

1,6

5,0

10

1,5

84

50

291

50

97

55

270

Рисунок 4

Литература

1.   Детали и механизмы приборов: Справочник /Б.М. Уваров, В.А. Бойко, В.Б. Подаревский, Л.И. Власенко./- К.:

Техн1ка, 1987.

*2. Куцоконь В.А. Точность кинематических цепей приборов.-Л.: Машиностроение, 1980 г.

3. ГОСТ 21098-82. Цепи кинематические. Методы расчет точності.