Балансовая модель

Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ  МОДЕЛЬ

      Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

      Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

      Обозначим через x_i валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y_i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

      Таким образом, разность x_i - y_i  составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

      Обозначим через x_ik  часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х_k.

                                                                                                                    Таблица 1

      №                                потребление                             итого на        конечный   валовый 

       отрас.                                                                           внутре            продукт      выпуск

                                                                                            производ.          (  у_i  )               (   х_i  )

  №               1          2         …         k           …         n       потребление

  отрас.                                                                                    ( å х_ik  )

           

            1       х₁₁      х₁₂        …       х_1k           …         х_1n            å х_1k                   у₁                 х₁      

           

         2     х₂₁       х₂₂        …       х_2k          …         х_2n          å х_2k               у₂                х₂

           

            …    …        …        …        …          …         …              …                …                …

            

             i       х_i1       x_i2        …        x_ik         …          x_in            å x_ik               y_i                x_i

 

            …    …        …        …        …         …          …              …                …                …

 

             n      x_n1       x_n2       …        x_nk        …          x_nn           å x_nk              y_n                x_n

 

  итого

  произв.

  затраты   å х_i1      å x_i2     …      å x_ik       …       å x_in

 в  k-ю

  отрасль

                                                                                                                   

      Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

       х₁ - ( х₁₁ + х₁₂ + … + х_1n ) = у₁    

          х₂ - ( х₂₁ + х₂₂ + … + х_2n ) = у₂                   ( 1 )

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

       x_n - ( x_n1 + x_n2 + … + x_nn ) = y_n

      Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

      Будем снабжать штрихом ( х^’_ik , y^’_i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

      Будем называть совокупность значений y₁ , y₂ , … , y_n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

       _

       у = ( у₁ , у₂ , … , y_n ) ,    ( 2 )

а совокупность значений x₁ , x₂ , … , x_n ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

       _

       x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ).      ( 3 )

      Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х_k , содержат n­­­­² неизвестных x_ik , которые в свою очередь зависят от x_k.

      Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a_ik из соотношений :

                x_ik

       a_ik = –––  ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

                 x_k

     

      Величины a_ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

       x^’_ik        x_ik  

      –––  = ––– = a_ik = const     ( 4 )     

        x^’_k        x_k

      Исходя из этого предложения имеем

       x_ik = a_ikx_k ,         ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_k. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

      Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

                       a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

                       a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

             A=     ………………….

                       a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

                       a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a_ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

      Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

      Подставляя значения x_ik = a_ik = x_k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

       x₁ - ( a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ) = y₁

       x₂ - ( a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ) = y₂                      ( 6 )

       ……………………………………

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

      Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

          _        _    _

       Е·х - А·х = У , или окончательно

                     _     _

       ( Е - А )·х = У ,            ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

                     1-a₁₁   -a₁₂  …  -a_1n

      E - A=     -a₂₁   1-a₂₂ …  -a_2n

                       …………………

                       -a_n1    -a_n2 … 1-a_nn

     

      Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x_i и  y_i ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

      Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y₁ , y₂ , … , y_n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х₁ , х₂ , … х_n ).

      Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

 

              

                            

                                                                                                                                        табл.2

 

         № отрас               Потребление              Итого           Конечный       Валовый     

 №                                                                           затрат           продукт          выпуск

 отрас                          1                         2

                                          

                                           0.2                      0.4  

                 1               100                    160                  260                  240                    500

 

                                           0.55                    0.1

                 2               275                     40                    315                  85                     400     

 

  Итого затрат                                                                575

  в k-ю                       375                     200       

  отрасль …                                                            575                            

 

      Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2

      Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

                100                       160                       275                           40

       а₁₁ = –––– = 0.2 ; а₁₂ = –––– = 0.4 ; а₂₁ = –––– = 0.55 ; а₂₂ = –––– = 0.1

                 500                       400                      500                          400

      Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

      Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2

       х₁ - 0.2х₁ - 0.4х₂ = у₁

       х₂ - 0.55х₁ - 0.1х₂ = у₂

      Эта система двух уравнений может быть использована для определения х₁ и х₂ при заданных значениях у₁ и у₂, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

      Так, например, задавшись у₁=240 и у₂=85, получим х₁=500 и х₂=400, задавшись у₁=480 и у₂=170, получим х₁=1000 и х₂=800 и т.д.

  РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

      Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

      Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.

      Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

      Так, например, если

        

        0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6' )

А=                 , то Е - А =

        0.6  0.9                        -0.6  0.1

запишется в виде    0.1   -0.8    х₁     у₁     или в развернутой форме

                                 -0.6    0.1    х₂     у₂

       0.1х₁ - 0.8х₂ = у₁               ( a )

       -0.6х₁ + 0.1х₂ = у₂

          

      Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

       -0.5х₁ - 0.7х₂ = у₁ + у₂,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х₁ и х₂, если только у₁>0 и у₂>0 ( кроме х₁=х₂=0 при у₁=у₂=0 ).

      Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).

      Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

      Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.

      При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.

      Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

      Обозначив обратную матрицу ( Е - А )^-1 через S = || s_ik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде

       х = S·У          ( 7 )

      Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )^-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

      Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

       x₁ = S₁₁y₁ + S₁₂y₂ + … + S_1ny_n

       x₂ = S₂₁y₁ + S₂₂y₂ + … + S_2ny_n                         ( 8 )

       ………………………………

       x_n = S_n1y₁ + S_n2y₂ + … + S_nny_n   

 ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

      Выясним экономический смысл элементов S_ik матрицы S.

      Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

                  1

       _         0

       У₁ =    :

                  0

      Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим

                    1             S₁₁

       _           0             S₂₁       _

       х = S­    :     =        :      = S₁                               

                    0             S_n1                                          0

                                                                    _          1

задавшись ассортиментным вектором   У₂ =     0        , получим     

                                                                                :

                                                                                0

                   0             S₁₂

       _          1             S₂₂        _

       х = S­   :     =       :        = S₂

                   0             S_n2

      Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит

          

                   0           S_1k

       _          :            S_2k       _

       х = S­   1   =      :       = S_k   ,                  ( 9 )

                   :            S_nk

                   0

т.е. k-й столбец матрицы S.

      Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х₁=S_1k, во 2-й х₂=S_2k и т.д., в i-й отрасли выпустить x_i=S_ik и, наконец, в n-й отрасли выпустить x_n=S_nk единиц продукции.

      Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S_1k, S_2k, …, S_ik, …, S_nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a_1k, a_2k, …, a_ik, …, a_nk на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a_ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a_1k ), 2-й отрасли (a_2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( a_i1, a_i2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

      Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х₂=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a₁₂=0.4 и 2-й отрасли a₂₂=0.1.

      Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у₂=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х₁=0.4­100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а₁₁=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х₁=40+0.2­40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х₁'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у₂=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у₁=0  и   у₂=1   ( см п.2 ):

       0.8х₁ - 0.4х₂ = 0

       -0.55х₁ + 0.9х₂ = 1

      Решив эту систему, получим х₁=0.8 и х₂=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х₁=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S₁₂. Таким образом, если а₁₂=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S₁₂ учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а₁₂ ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S₁₂-a₁₂=0.8-0.4=0.4

      Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а₁₂=0.4 при х₂=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

      Итак, величина S_ik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( a_ik ), так и косвенные ( S_ik - a_ik ) затраты.

      Очевидно, что всегда S_ik > a­_ik.

      Если необходимо выпустить у_k единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

       x₁ = S_1k·y_k, x₂ = S_2k·y_k, …, x_n = S_nk·y_k ,

что можно записать короче в виде:

       _    _

       x = S_k·y_k            ( 10 )       

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-

                         _        у₁

ным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  x_k,  необходимый  для    его

                                   у_n

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца S_k на вектор У, т.е.

                                                             _  _

       x_k = S_k1y₁ + S_k2y₂ + … + S_kny_n = S_k·y ,              ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.

     Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх₁, Dх₂, …, Dх_n ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу₁, Dу₂, …, Dу_n ) по формуле:

         _          _

       Dх = S·DУ ,         ( 12 )

      Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

0.2     0.4

         А =  

                    0.55   0.1 

 

Следовательно,

      Е - А =                                         =

                     -0.55       1        -0.1               -0.55     0.9

Определитель этой матрицы

                                0.8     -0.4

       D [ E - A ] =                         = 0.5

                               -0.55    0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )^*. Имеем:

                              0.9     0.4

       ( Е - А )^* =                           ,

                              0.55   0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

                                   1        0.9      0.4              1.8    0.8       

       S = ( Е - А )^-1 = –––                            =

                                  0.5      0.55    0.8              1.1    1.6

      Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S₁₁=0.8 и S₂₁=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а₁₁=0.2 и а₂₁=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

      Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S₁₂=0.8 и S₂₂=1.5, откуда косвенные затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

      Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х =  х₁ найдется из равенства ( 7 ):

                                                                       х₂

       ­_        _          1.8     0.8         480            1000

       х = S·У =                         ·                =

1.1      1.6         170             800     .

 

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

      Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x_ik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

      Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через x_n+1,k, и затраты капиталовложений – через x_n+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты  a_ik,   

                                                                                                                    x_n+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a_n+1,k = –––––  , и

                                                                                                                       x_k

                                               x_n+2,k

капиталовложений  a_n+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего  

                                                  x_k  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

                          a₁₁     a₁₂     …     a_1k     …     a_1n

                          a₂₁     a₂₂     …     a_2k     …     a_2n             основная часть матрицы

                          …………………………………

          А' =         a_i1      a_i2     …     a_ik      …     a_in

                          …………………………………

a_n1     a_n2     …     a_nk     …     a_nn

a_n+1,1 a_n+1,2  …    a_n+1,k   …   a_n+1,n          

                          a_n+2,1 a_n+2,2  …    a_n+2,k   …   a_n+2,n           дополнительные строки

      При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

      Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.

       _       1

       У =   0

                 :

                0        .

      Для этого требуется валовый выпуск продукции

                       S₁₁

       _    _        S₂₁

       x = S₁ =     :

                       S_n1

      Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S_n+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a_n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S₁₁, S₁₂, …, S_1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a_n+1,1S₁₁, во 2-ю – a_n+1,2S₂₁ и т.д., наконец в n-ю отрасль a_n+1,nS_n1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

                                                                                _    _

       S_n+1,1 = a_n+1,1S₁₁ + a_n+1,2S₂₁ + … + a_n+1,nS_n1 = a_n+1S₁  ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим a_n+1, на 1-й столбец матрицы S.

      Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

                    _    _

       S_n+1,k = a_n+1S_k            ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

                    _    _

       S_n+2,k = a_n+2S_k            ( 14 )

      Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S_n+1,k и  S_n+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

                              S₁₁     S₁₂     …     S_1k     …     S_1n                 матрица коэффициентов

                              S₂₁     S₂₂     …     S_2k     …     S_2n                  полных внутрипроизводст.

                               …………………………………                  затрат 

              S' =          S_i1      S_i2     …     S_ik      …    S_in

                               …………………………………                                                          ( 15 )

S_n1     S_n2     …     S_nk     …    S_nn

                               S_n+1,1 S_n+1,2  …   S_n+1,k   …   S_n+1,n               дополнительные строки

      Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда x_n+1, капиталовложений x_n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

      Очевидно,

       x_n+1 = S_n+1,1y₁ + S_n+1,2y₂ + … + S_n+1,ny_n ,         ( 16 )

       x_n+2 = S_n+2,1y₁ + S_n+2,2y₂ + … + S_n+2,ny_n ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

      Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

                    x₁

                    x₂

      _             :                _

      x =         x_n        = S'У            ( 17 )

                   x_n+1

                   x_n+2

     

      Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда x_n+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений x_n+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3

      Переходя к коэффициентам прямых затрат a_ik, получим расширенную матрицу:

                   0.2    0.4

       А' =     0.55  0.1

                   0.5    0.2

                   1.5    2.0

                                                                                                                          Таблица 3

                № отраслей            потребление                 итого         конечный    валовый  

      №                                                                             затрат        продукт       выпуск  

      отраслей                          1                      2

 

                    1                        100                  160               260               240               500

 

                    2                        275                   40                315                85                400

       

                труд                      250                   80                330 

 

       капиталовложе-           750                  800               1550   

       ния

 

      Обратная матрица S = ( E - A )^-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.

      На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( S_n+1,k=S_3,k ):

                 _  _

       S₃₁ = a₃·S₁ = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;

                 _  _

       S₃₂ = a₃·S₂ = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72

и капиталовложений S_n+2,k = S_4,k:

                 _  _

       S₄₁ = a₄·S₁ = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;

                 _  _

       S₄₂ = a₄·S₂ = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .

      Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:

                  1.8    0.8

      S' =      1.1    1.6

                  1.12   0.72

                  4.9     4.4

      Если   задаться   на   планируемый   период   прежним   ассортиментным   вектором

У =    240   , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда x_n+1 и

          85

капиталовложений x_n+2, получили бы x_n+1 = x₃ = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и x_n+2 = x_n = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.

      Однако  в  отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям          

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

      При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).

      Так, пусть задан ассортиментный вектор У =    480   . Тогда

                                                                                       170  

              _             х₁          1.8      0.8                        1000

              х =          х₂    =    1.1      1.6        480    =   800            

                             х₃          1.12   0.72       170          600

                             х₄           4.9      4.4                       3100

      Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х₁=1000 и х₂=800, при суммарных затратах труда х₃=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х₄=3100 тыс.руб.

      Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.  

 

Задача

      В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.

                                                Таблица

 

                                  Нормы расхода                         

                                             I                  II                 III

 

          Сырье I                   1.4                2.4               0.8                  a₄                        5

          Сырье II                   –                  0.6               1.6                  a₅                        12

          Сырье III                 2.0                1.8               2.2                  a₆                        2

 

    Трудоемкость               10                 20                20                   а₇                        12                                               

 

 

      Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

      Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

       _ _                                 235

       а₄х = ( 1.4; 2.4; 0.8 )     186     = 1088     

                                             397

      Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.

      Все это удобно записать в виде произведения:

       1.4    2.4    0.8         235                 1088           Сырье I   

        0      0.6    1.6         186       =        746             Сырье II

       2.0    1.8    2.2         397                 1678            Топливо

       0.1    0.2    0.2                                1409            Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у₁=1 ) найдем из выражения 1.4S₁₁ + 2.4S₂₁ + 0.8S₃₁. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

                                                                                I         II        III     

      1.4    2.4    0.8          1.04    0.21    0.02            1.97    2.92    1.36                Сырье I                                                                       

         0    0.6    1.6          0.21    1.05    0.13     =     0.17    0.84    2.09                Сырье II         

      2.0    1.8    2.2          0.03    0.13    1.26            2.53    2.60    5.23                Топливо

      10      20     20                                                   15.2    24.8    28.0                Труд

     

      Таким образом, например, для изготовления у₁=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

                                   I        II       III

       Сырье I            330    440    318     

       Сырье II             0      111    635

       Топливо           470    335    873

       Труд                 2350  3720  7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

                                      330    440    318

                                        0      111    635                  I        II        III

      ( 5; 12; 2; 1.2 )        470    335    873        =  ( 5410; 8666; 20484 )

                                      2350  3720  7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

           1.97    2.92    1.36

           0.17    0.84    2.09                I       II      III

       ( 5; 12; 2; 1.2 )      2.53    2.60    5.23        = ( 35.3; 59.6; 75.7 )

                                     15.2    24.8    28.0

      Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.