Исследование прочности на разрыв полосок ситца
Министерство
образования и науки РФ
Государственное
образовательное учреждение
Высшего
профессионального образования
Московской
области
Международный
Университет природы
общества и
человека «Дубна»
Филиал
«Котельники»
Кафедра
естественных и гуманитарных наук.
К У Р С О В А Я Р А Б О ТА
«Исследование прочности на
разрыв полосок ситца»
по
дисциплине:
«Теория
вероятностей и математическая статистика»
Выполнила студентка
Второго курса 262 ЭТ группы
Одинцова Е.С.
Проверила:
___________Поздеева С.Н.
2006г.
Содержание
1. Введение………………………………………………….3стр.
2. Цель работы………………………………………………3
3. Постановка задачи……………………………………….
3
4. Исходные данные………………………………………..
4
5. Распределение случайной
величины на основе
опытных данных…………………………………………
4
6. Построение эмпирической
функции распределения….. 9
7. Статистические оценки
параметров распределения……12
8. Проверка гипотезы о
нормальном распределении,
Изучаемой случайной
величины…………………………16
9. Заключение…………………………………………………19
10. Список литературы………………………………………..20
1. Введение.
Математическая статистика – наука которая занимается
разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью
изучения закономерностей массовых случайных явлений.
Математическая статистика опирается на методы и понятия теории
вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа
статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.
Задачи математической статистики:
1) нахождение функции
распределения по опытным данным.
2) из теоретических соображений
функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её
параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.
3) Статистическая проверка
гипотез:
в общем виде известна функция
распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются
экспериментальные данные с общим видом функции распределения.
2.
Цель курсовой работы.
Целью курсовой работы является закрепление
теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.
3.Постановка
задачи
В данной курсовой работе были поставлены следующие
задачи для
обработки статистических данных:
1) построение полигона частот и
относительных частот
2) построение гистограммы частот
и относительных частот
3) построение эмпирической
функции распределения.
4) нахождение выборочной
средней, выборочной дисперсии и
нахождение среднего выборочного
квадратичного отклонения.
5) проверка гипотезы о
нормальном распределении изучаемой случайной величины.
4. Исходные данные
Вариант 14
Прочность на разрыв
полосок ситца (в дан.):
32 31 34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32
34 33 31 30 30 32 32 34 31 31 35 32 34 33 32 31
34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32 34 33
31 30 34 32 31 29 32 34 33 31 30 32 32 31 36 32
34 33 31 30 32 33 31 28 32 34 33 31 30 32 33 30
35 32 34 33 32 30 31 33 30 33 32 34 33 31 30 32
33 30 31 32 34 33 31 30 32 33 30 31 32 33 33 31
30 32 33 30 31 32 33 30 34 33 31 30 32 33 30 31
32 33
5. Распределение случайной величины на основе
опытных данных
Для обработки опытных данных
воспользуемся составлением статистического ряда. В первой
строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты
наблюдений.
Если результаты наблюдений расположить
в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.
Результат измерения называется- варианта.
Число появления каждой варианты
называется частотой.
Отношение частоты к объему выборки
называется относительной частотой.
xi - варианта (значение, полученное в
процессе измерения)
ni - частота (сколько раз
появилась каждая варианта)
Р*i – отношение частоты объёму выборки
|
xi
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
|
ni
|
1
|
3
|
18
|
29
|
32
|
24
|
18
|
4
|
1
|
|
ni
Pi* n
|
1
130
|
3
130
|
18
130
|
29
130
|
32
130
|
24
130
|
18
130
|
4
130
|
1
130
|
Существует вместо статистического
ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые
значения признака разбиваются на группы равной длины.
|
xi<x≤xi+1
|
(27;29]
|
(29;31]
|
(31;33]
|
(33;35]
|
(35;37]
|
|
ni
|
4
|
47
|
56
|
22
|
1
|
|
Pi*
|
4/130
|
47/130
|
56/130
|
22/130
|
1/130
|
Размах колебания: хmin=28
хmax=36
R= 36-28=8
Статистическое
распределение можно изобразить графически:
Либо в виде полигона частот,
полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы
относительных частот.
Полигоном
частот называется ломаная линия, соединяющая точки с
абcциcсой (Ох) - варианта и ординатой (Оу)
– частота.
Cтроим полигон частот.
Полигоном относительных
частот называется
ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (Ох) – варианта и
ординатой (Оу) – относительная частота.
Строим полигон относительных частот.
Полигон относительных частот
Гистограммой частот называется фигура, состоящая
из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно
равной частоте.
Для построения гистограммы
воспользуемся таблицей:
|
xi<x≤xi+1
|
(27;29]
|
(29;31]
|
(31;33]
|
(33;35]
|
(35;37]
|
|
ni
|
4
|
47
|
56
|
22
|
1
|
|
hi
= ni
Δx
|
4/2
|
47/2
|
56/2
|
22/2
|
1/2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δx=2
|
|
|
hi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56⁄ 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47⁄ 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22⁄ 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4/2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
29
|
31
|
33
|
35
|
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гистограммой относительных
частот
называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина
интервала)и площадью численно равной относительной частоте.
Для построения гистограммы
воспользуемся таблицей:
|
xi<x≤xi+1
|
(27;29]
|
(29;31]
|
(31;33]
|
(33;35]
|
(35;37]
|
|
Р*i
|
4/130
|
47/130
|
56/130
|
22/130
|
1/130
|
|
hi
= P*i
Δx
|
4/260
|
47/260
|
56/260
|
22/260
|
1/260
|
Δx=2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h*i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56∕
260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47⁄
260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22⁄
260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4∕
260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
∕ 260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
27
|
29
|
31
|
33
|
35
|
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.
Построение эмпирической функции распределения
Статистическая функция
распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная
величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого
фиксированного х
Статистическая функция распределения
( эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва совпадают с
наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва
равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма
скачков всегда равна 1.
1) ∞ < х ≤ 28
F*(x)=P*(X<28)=0
2) 28<x≤29
F*(x)=P*(X<29)=P*(X=28)=1/130
3) 29<x≤30
F*(x)=P*(X=28)+ P*(X=29)=1/130+3/130=4/130
4) 30<x≤31
F*(x)=P*(X<31)= P*(X=28)+ P*(X=29) P*(X=30)+1/130+3/130+18/130=22/130
5) 31<x≤32
F*(x)=P*(X<32)= P*(X=28)+
+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130
6) 32<x≤33
F*(x)=P*(X<33)=
P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)
P*(X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130
7) 33<x≤34
F*(x)=P*(X<34)=
P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130
8)34<x≤35
F*(x)=P*(X<35)=
P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33)
P*(X=34)=
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130
9) 35<x≤36
F*(x)=P*(X<36)=
P*(X=28)+P*(X=29)+P*(X=30)+P*(X=31)+
+P*(X=32)+P*(X=33)
P*(X=34)+ P*(X=35)
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130
10) x>36
F*(x)=1
0, -∞<х≤28
1/130, -∞<х≤29
4/130, 29<х≤30
22/130, 30<х≤31
F*(x) 51/130,
31<х≤32
83/130, 32<х≤33
107/130, 33<х≤34
125/130, 34<х≤35
129/130, 35<х≤36
1, х>36
Статистическая функция распределения
является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.
Построим систему координат:
на оси Ох=хi
на оси Оу=F*(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi
|
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Статистические оценки
параметров распределения
Одной из задач статистики является
оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.
Оценка параметра зависит от
наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку
можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим
условиям:
1) оценка должна быть не смещённой
оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому
параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой
оценкой оцениваемого параметра;
2) оценка должна быть состоятельной
оценкой оцениваемого параметра;
3) Оценка должна быть эффективной
оценкой оцениваемого параметра;
Из всех различных оценок выбираем ту
которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её
дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.
Таким образом, чтобы полученная
опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть
несмещённой состоятельной и эффективной.
Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.
|
|
|
_ х1+х2+….+хN
хг=
=
N
N
=Σ
xi
i=1
N
|
|
Если же значение признака х1,х2,…….хк имеют
соответственно частоты N1,N2……..Nk, то средняя генеральная вычисляется по формуле:
Пусть для изучения генеральной
совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена
выборка объема n.
|
х1+х2+….хn
хв= =
n
n
=Σ xi
i=1
n
|
|
Выборочной
средней называют
среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.
Если же значение признака х1,х2,….хk имеет соответственно частоты n1,n2,….nk, то выборочная средняя
определяется по формуле:
|
|
|
_ х1×n1+x2×n2+…+xk×nk
хв=______________________
=
n
k
=Σ
xi×ni
i=1
n
|
|
|
xi
|
28
|
29
|
30
|
32
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
|
ni
|
1
|
3
|
18
|
29
|
32
|
24
|
18
|
4
|
1
|
_
28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1
хв =
=
130
= 4158 = 31,98
130
Выборочной дисперсией называется среднее
арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней.
Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:
Если же значение признака х1,х2…..x k имеет
соответственно частоты n1,n2….nk, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
_ (28-31,98)2×1+(29-31,98)2×3+(30-31,98)2×18+(31-31,98)2×29+
Dв=
+(32-31,98)2×32+(33-31,98)2×24+(34-31,98)2×18+(35-31,98)2×
×4+(36-31,98)2×1
=
130
=
291,972 = 2,24
130
Среднее выборочное квадратичное
отклонение - это величина численно равная квадратному корню из выборочной
дисперсии.
__
σв
= √ 2,24 = 1,5
Нормальный закон распределения случайной
величины
Говорят, что случайная величина
распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной
величины выражается формулой:
8.Проверка гипотезы о нормальном распределении
изучаемой величины
Гипотезу Н0 выдвигаем в
качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному
закону. Параллельно гипотезе Н0 выдвигаем альтернативную гипотезу о
том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.
Проверка гипотезы о предполагаемом
законе распределения производится с помощью специально подобранной величины
называемой критерием согласия.
Для исследования воспользуемся
критерием χ2 Пирсона.
Вычисляем χ2 для наблюдаемых значений. Для
вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:
_
хв =31,98
_
Dв=2,24
_
σв=1,5
|
N
интервал
I
|
xi<X≤xi+1
|
ni
|
xi
|
xi^2
|
xi-xв
|
xi+1-xв
|
Zi
|
Zi+1
|
Ф(Zi)
|
Ф(Zi+1)
|
Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi)
|
ni*=n*Pi
|
ni-ni*
|
(ni-ni*)^2
|
(ni-ni*)^2/ni*
|
|
1
|
27<X≤29
|
4
|
28
|
784
|
-4,98
|
-2,98
|
-3,32
|
-1,987
|
-0,4991
|
-0,4699
|
0,03
|
3,7999
|
0,2001
|
0,04004
|
0,01053712
|
|
2
|
29<X≤31
|
47
|
30
|
900
|
-2,98
|
-0,98
|
-1,987
|
-0,653
|
-0,4699
|
-0,2357
|
0,23
|
30,446
|
16,554
|
274,03492
|
9,00068699
|
|
3
|
31<X≤33
|
56
|
32
|
1024
|
-0,98
|
1,02
|
-0,653
|
0,68
|
-0,2357
|
0,2357
|
0,47
|
61,282
|
-5,282
|
27,899524
|
0,45526458
|
|
4
|
33<X≤35
|
22
|
34
|
1156
|
1,02
|
3,02
|
0,68
|
2,0133
|
0,2357
|
0,4699
|
0,23
|
30,446
|
-8,446
|
71,334916
|
2,34299796
|
|
5
|
35<X≤37
|
1
|
36
|
1296
|
3,02
|
5,02
|
2,0133
|
3,3467
|
0,4699
|
0,49913
|
0,03
|
3,7999
|
-2,7999
|
7,83944
|
2,06306482
|
|
Σ
|
|
130
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13,8725515
|
k (ni-ni*)2
χ2 набл.=Σ
i=1 ni
χ2 набл=13,8725515
Далее находим χ2 с помощью таблицы критических точек
распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней
свободы.
К=S-3
5-3=2
χ2крит.=6,0
χ2 набл=13,8725515
> χ2крит=6,0
Гипотеза
не принимается.
9. Вывод
В данной работе был изучен
статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца,
статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.
Цель курсовой работы реализована
через решение поставленных задач.
Наглядно представление о поведении случайной величины
показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы
частот и гистограммы относительных частот.
Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен
график этой функции на основе наблюдаемых значений.
0ценили параметры распределения:
- выборочную среднюю
- выборочную дисперсию
- выборочное среднее квадратичное
отклонение.
После обработки имеющихся
статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении
случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная
величина нераспределена по нормальному закону.
Литература
1. Гнеденко Б.В.
Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А.
Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.
3. Бочаров П.П.,
Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы
народов, 1994.
4. Бочаров П.П.,
Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та
Дружбы народов, 1994.
5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К.
Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев,И.М.Гладких, Р.В.
Сигитов, В.Г.Шершнев.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под
ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФАРМА-М, 2005.-656с.-(Высшее образование).