Билет
1. (1) Первый признак равенства треугольника по
двум сторонам и углу между ними формулируется в виде теоремы: Т: Если две стороны и
угол между ними одного ∆ соответственно равны двум сторонам и углу
между ними другого ∆, то такие треугольники равны. Д:
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, ÐA=ÐA1. Наложим ∆ABC на
∆A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, а стороны AB и AC легли
соответственно на лучи A1B1 и A1C1. Это возможно, поскольку ÐA=ÐA1. Так как AB=A1B1 и AC=A1C1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AC – с A1C1, а значит совместятся точки B и B1, C и C1, следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Таким образом треугольники ABC и A1B1C1 совместятся, следовательно они равны:
∆ABC=∆A1B1C1.
(2) Параллелограммом
называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны. Четырёхугольник ABCD, у которого сторона AB║DC, а
сторона BC║AD. Следовательно ABCD
–параллелограмм. Свойства: 1) В параллелограмме противоположные
стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD). 2)
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
Докажем второе свойство. Д: ABCD – параллелограмм, BD и AC –
диагонали, О – точка их пересечения. Доказать: BO=OD и AO=OC.
Д-во: ∆AOB=∆COD по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=DC как
противоположные стороны параллелограмма, ÐABO=ÐCDO, ÐBAO=ÐDCO как
накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и
секущих BD и AC). Поэтому BO=OD, AO=OC,
ч.т.д. Признаки параллелограмма: 1) Если в четырёхугольнике две
стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 2)
Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот
четырёхугольник – параллелограмм. 3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются
и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.
|
Билет
3. (1) Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется
в виде теоремы. Т: Если три стороны одного треугольника соответственно равны
трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Д: Пусть ABC
и A1B1C1
– треугольники, у которых AB=A1B1, AC=A1C1,
BC=B1C1. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы их стороны AC и A1C1 совместились, а вершины B и B1 оказались по одну сторону от A1C1. Предположим, что треугольники ABC и A1B1C1 не равны, тогда они не совместятся, это значит, что вершина B не
совместится с вершиной B1. Соединим точки B1 и B отрезком и найдём середину этого
отрезка. Треугольники B1BA1 и B1BC1 – равнобедренные треугольники (A1B1=A1B и С1B1=C1B) с общим основанием B1B.
Отрезки A1D и C1D не
совпадают, потому что точки A1, C1
и D
не лежат на одной прямой, то оказалось, что через точку D прямой
B1B проведены две разные прямые,
перпендикулярные к B1B. Это противоречит теореме, согласно которой
через каждую точку прямой можно провести лишь одну перпендикулярную ей
прямую. Это противоречие доказывает теорему.
(2) Ромбом называется
параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке изображён
параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По
определению этот параллелограмм – ромб. Поскольку ромб – параллелограмм, для
него справедливы все свойства и признаки параллелограмма. Но существует и
особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его
углы пополам. В равнобедренном ∆ABD (AB=AD, так
как ABCD – ромб) BO=OD по свойству диагонали параллелограмма,
следовательно, AO – медиана, а значит и высота, и биссектриса
∆ABD. Отсюда AO^BD, ÐBAO=ÐDOA.
Обратные утверждения являются признаками ромба: 1) Если диагонали
параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб 2)
Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм
ромб.
|
Билет
5. (1) Т: Сумма углов треугольника равна 180º. Д: Докажем, что для произвольного ∆АВС справедливо соотношение ÐА+ÐВ+ÐС=180º. Через вершину В проведём прямую а,
параллельную стороне АС, и введём в рассмотрение углы, образованные этой
прямой со сторонами АВ и ВС: Ð1 и Ð2.Углы 1 и А – внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых а и АС, и секущей АВ, поэтому Ð1=ÐА.
Углы 2 и С – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС и
секущей ВС, поэтому Ð2=ÐС. Сумма углов 1,В и 2 равна развёрнутому углу,
значит Ð1+ÐВ+Ð2=180º. В силу полученных равенств будем иметь ÐA+ÐB+ÐC=180º.
Теорема доказана.
(2) Касательной к
окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная к окружности обладает свойством, которая формулируется в виде
теоремы. Т: Касательная
к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Д:
Проведём радиус OA окружности, в точку касания. Докажем,
что a^OA. Предположим, что это
не так. Тогда радиус OA является наклонной, проведённой из точки O к
прямой a. Так как перпендикуляр прямой < наклонной,
то расстояние от центра O до прямой меньше радиуса. При этом,
согласно первому случаю взаимного расположения прямой и окружности, прямая и
окружность имеют две общие точки, что противоречит тому условию, что прямая a –
касательная. Теорема доказана. Из доказанной теоремы является свойство
отрезков касательных, проведённых из одной точки. Отрезки касательных к
окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с
прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. AC=BC; ÐACO=ÐBCO.
|
Билет
7. (1) Т: В треугольнике 1) против большей стороны лежит большой угол; 2)
обратно, против большего угла лежит большая сторона. Д: На рисунке изображён ∆АВС, в котором
АВ>ВС. Докажем, что ÐС>ÐА. На стороне АВ отложим отрезок BD,
равный отрезку ВС, и построим равнобедренный ∆DBC.
Равные углы при основании этого треугольника обозначим 1 и 2. Так как точка
D лежит между точками A и B (ВD=ВС<АВ), то Ð1 является частью ÐС, то есть Ð1<ÐС. Угол 2 − внешний угол ∆ АDС, поэтому Ð2>ÐА. Но Ð1=Ð2,
значит справедливо соотношение ÐА<Ð1=Ð2<ÐС или ÐС>ÐА.Д: Пусть в ∆АВС ÐС>ÐА.
Докажем, что АВ>ВС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=ВС. В
первом случае ∆АВС− равнобедренный, а значит ∟С=∟А.
Во втором случае ∟С<∟А по доказанному. И то и другое
противоречит условию теоремы. Значит АВ>ВС.Т: доказана.
(2) Радиус окружности, описанной около правильно
п-угольника со стороной ап выражается по формуле R=(an)/ (2sin(180º/n)). Для вывода этой формулы разобьём
правильный n-угольник на n равных равнобедренных треугольников
радиусами, проведёнными из центра в вершину n-угольника.
Рассмотрим один из таких треугольников, например ∆A1OA2 в этом треугольнике A1A2=an сторона n-угольника, A1O=A2O=R – радиус
описанной окружности, ÐA1OA2=360º/n. Из центра окружности O опустим
перпендикуляр OB на отрезок A1A2:OB^A1A2. Этот перпендикуляр является высотой,
медианой и биссектрисой равнобедренного ∆A1OA2. Поэтому A1B=BA2=an/2; ÐA1OB=ÐA1OA2=180º/n. В прямоугольном ∆A1OB A1B/A1O=sinÐA1OB или an/2R=sin(180º/n) откуда R=(an)/ (2sin(180º/n)). Определение:
окружность называется описанная около
многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности.
Т: Около любого правильного многоугольника (n-угольника) можно описать
окружность, и притом только одну.
|
Билет
9. (1) Т: Средняя линия ∆ параллельна одной из его сторон и равна
половине этой стороны. Д: В ∆АВС МN-средняя линия. Докажем,
что МN║АС, МN=½AC.Треугольники МВNи АВС
подобны по первому признаку подобия ( ÐВ-
общий угол, ВМ ∕ВА=ВN ∕ВС=½), поэтому ÐВМN=ÐBAC, MN ∕ AC=½.
Из последнего равенства следует что MN=½AC. ÐBMN и ÐBAC – соответственные
углы при прямых MN и AC и секущей AB. Из их равенства следует параллельность
прямых MN и AC: MN║AC. Т: доказана. Определение:
средней линией ∆ называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
(2) Площадь S круга радиуса R выражается
формулой S=πR2. Для вывода этой формулы докажем утверждение: Площадь круга равна
половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус: S=½
l•R. Представлен круг радиуса R с
центром O, а также 2 правильных n-угольника – вписанный в окружность (A1A2…An) и описанный около неё (A1’A2’…An’). Площадь S заключена между
площадями Sn вписанного и Sn’
описанного n-угольников: Sn<S<Sn’ Площадь вписанного n-угольника
выражается формулой Sn=½ Pnr, где Pn – его периметр, r – радиус
вписанной в него окружности. Из рассмотрения прямоугольного ∆A1BO получаем OB=A1O cosÐA1OB или r=К cos180º/n (A1O=R; ÐA1OB=½
ÐA1OA2=180º/n) Отсюда Sn=½PnRcos180º/n. Площадь описанного n-угольника
выражается формулой Sn’=½Pn’•R где Pn’ – его периметр. При неограниченном увеличении
числа сторон n-угольников (n→∞) и в периметре приближаются к
длине l окружности. Pn→l, Pn’→l
n→∞ n→∞
угол 180º/n
приближается к 0, а его cos к 1: ( (cos(180º/n))/(n/(n→∞))
)→l
Следовательно, Sn→½ lR, Sn’→½
lR
n→∞
n→∞
Это означает что
площадь S круга ограничена с двух сторон последовательностями Sn и Sn’, стремящимися при n→∞
к одному и тому же пределу. Этот предел и принимается за площадь круга: S=½
l•R. Заменяя длину окружности l на 2πR
получаем S=π•R2
|
Билет 11. (1) Окружностью,
описанной около ∆, называется окружность которая проходит через все
вершины ∆. Рассмотрим теорему.Т: около любого ∆ можно описать окружность. Д:
На рисунке∆АВС; ОК,OL и ОМ − серединные перпендикуляры к его
сторонам. Докажем, точка О их пересечение равноудалена от вершин А, В и С.
Соединим точку О с вершинами и рассмотрим ∆АОК и ∆ВОК:
∆АОК=∆ВОК по первому признаку равенства треугольников (АК=КВ по
условию, ОК - общая сторона ÐВКО=ÐАКО=90°). Отсюда АО=ВО. Аналогично доказываем, что
ВО=СО. Следовательно АО=ВО=СО, т.е точка О равноудалена от вершины
∆АВС. Значит все вершины ∆ лежат на окружности с центром в точке
О и радиусом, равным ОА. Эта окружность является окружностью, описанной около
∆АВС.Т: доказана.
(2) Равенство
справедливое при всех допустимых значениях входящих в него в переменных, называется
тождеством. Справедливы следующие тригонометрические тождества: (1) sin2α +cos2α=1; (2) 1=tg2α = 1/cos2 α; 3) l+ctg2•α=1/sin2α. Докажем тождество 1. Для этого рассмотрим
тригонометрическую окружность, радиус R, который равен 1 (R=1), а
центр O расположен в начале прямоугольной декартовой системы
координат Oxy. Отложим острый ÐAOB: ÐAOB=α и опустим из точки B,
лежащей на окружности, перпендикуляр BC к оси Ox. BC^Ox. По определению синуса
и косинуса угла альфа имеем. sin α=y, sos α=x, где x и y координаты точки B. В
прямоугольном ∆OBC катеты и гипотенуза выражаются: OC=x=cosα;
BC=y=sinα, OB=R=1. По теореме Пифагора OC2 + BC2 = OB2 или
cos2α+sin2α=1. Тождество (1) доказано для случая 0º≤α<90º.
При α=90º cosα=0, sinα=1, поэтому тождество справедливо. Для тупого
угла α=ÐAOB’ (90º<α<180º).
Аналогичные рассуждения проводятся для прямоугольного ∆OB’C’. Наконец, в случае развёрнутого угла (α=180º)
cosα=-1, sinα=0. Тождество 1 справедливо при
0º≤α≤180º. Если обе части тождества 1
разделить на cos2α, то с учётом того, что sinα/cosα=tgα,
получим тождество 2, при
0º≤α<90º
90º<α≤180º
Если обе части тождества 1 разделить на sin2α,
то с учётом того что cosα/sinα=tgα, получим тождество 3 справедливое при
0º<α<180º.
(2). Площадь S параллелограмма ABCD с основанием AD и высотой ВЕ (BE^AD) выражается формулой S=AD•BE. Опустим перпендикуляр CF на
продолжение основания AD.Получим прямоугольник BCFE. Прямоугольные
треугольники АВЕ и DCF равны по гипотенузе и острому углу (AB=DC как
противоположные стороны параллелограмма, ÐВАЕ=ÐCDF как соответственные углы при параллельных
прямых AB и DC и секущей AD). Параллелограмм ABCD
составлен из трапеции BCDE и треугольника АВЕ; прямоугольник BCFE составлен из той же трапеции и треугольника DCF, равного
треугольнику АВЕ. Значит площадь параллелограмма ABCD
равна площади прямоугольника BCFE, то есть S=BC•BE, но так как ВС=AD, то S=AD•BE. Таким образом площадь параллелограмма равна произведению основания на
высоту.
|
Билет15.
(1) Т: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие
вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Д: Пусть на прямой 1 отложены равные отрезки А1А2;
А2А3…… и через их концы проведены параллельные прямые,
которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, B3,…. Докажем, что В1В2
=В2В3=… два Рассмотрим два случая- прямые l1
и l2 параллельны
и прямые l1и l2 не параллельны. А)Пусть l1║ l2 . Докажем, что В1 В2= В2
В3. Четырёхугольники А1 В1 В2 А2
и А2 В2 В3 А3
–параллелограммы по определению, поэтому А1 А2=В1
В2,А 2А 3=В2 В 3.Поскольку
А1 А2=А2 А3, то В1 В2
=В2 В3. Б).Пусть l2╫ l1 . Для доказательства равенства отрезков В1 В2
и В2 В3 проведём через точку В1 прямую
l3, параллельную прямой l1 ,которая пересечёт прямые А2 В2
и А3 В3 в точках C иD соответственно. По доказанному
в пункте А) В1С=СD.Через точку D проведём прямую l4, параллельную
l2, которая пересечёт прямую А2 В2 в точке Е.
Треугольники С В2 В1 и CDE равны по второму
признаку равенства треугольников (В1С=CD по
доказанному, ÐВ1СВ2=ÐDCE как
вертикальные, ÐСВ1В2=ÐCDE как
накрест лежащие углы при параллельных прямых l2 и l4 и секущей l3).
Следовательно, В1 В2=ЕD. Но ED=В2В3.
Теорема доказана.
(2) Две точки А1 и А2
называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается
симметричной самой себе относительно прямой а. Фигура называется
симметричной относительно прямой а, если для каждой точки А фигуры
симметричная ей точка А1 относительно прямой а, также принадлежит
фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. А) равнобедренный
(не равносторонний) треугольник - одна ось симметрии; б)
равносторонний треугольник- три оси симметрии; в) прямоугольник (не
квадрат)-две оси симметрии; г) ромб (не квадрат)- две оси симметрии; д)
квадрат – четыре оси симметрии; е)окружность- бесконечное
множество осей симметрии.
|
Билет
17. (1).Т: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих
углов. Д: Рассмотрим ∆АВС, в котором стороны
обозначены следующим образом: АВ=с,ВС=а, СА=b.
Докажем, что (a/sinA)=(b/sinB)=(c/sinC)
Выразим площадь S треугольника
ABC: S=½ ab sin C, S=½
ac sin B, S=½ bc sin A. Приравнивая
части первых двух равенств, получаем ½ ab sin C=½
ac sin B или b sin C=csinB, откуда (b/sinB)=(c/sinC),
аналогично, приравнивая правые части второго и третьего равенств, получаем (a/sinA)=(b/sinB). Окончательно
имеем (a/sinA)=(b/sinB)=(c/sinC).
Теорема доказана.
(2).Серединным перпендикуляром к
отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и
перпендикулярна к нему. Свойство
серединного перпендикуляра формулируется в виде теоремы. Т: Каждая точка
серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно:
каждая точка, равноудалённая от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре. Д: На рисунке l - серединный перпендикуляр к отрезку АВ,
точка О - середина отрезка АВ. а) Докажем первое утверждение теоремы. Для
этого на прямой l выберем
произвольную точку М и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О,
то равенство верно, так как Точка О - середина отрезка АВ. Пусть точки М и О
не совпадают. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМО и ВМО:
∆АМО=∆ВМО по двум катетам (МО - общий катет, АО=ВО по условию).
Отсюда следует, что АМ=ВМ. б) Докажем второе утверждение теоремы. Рассмотрим
произвольную точку N, равноудалённую от концов отрезка AB.
Докажем что она лежит на серединном перпендикуляре l.
Если точка N лежит на отрезке AB, то
она является серединой этого отрезка, значит лежит на прямой l.
Пусть точка N расположена вне отрезка AB так, что NA=NB. Рассмотрим равнобедренный треугольник ANB.
Отрезок NO является медианой (точка O – середина
отрезка AB), а следовательно и высотой этого треугольника,
значит NO^AB, откуда следует что прямая NO совпадает с серединным перпендикуляром l.
Таким образом точка N лежит на прямой l.
Т: доказана.
|
Билет
19. (1) Первый признак подобия треугольников
формулируется в виде теоремы. Т: Если два угла одного ∆ соответственно равны двум
углам другого, то такие ∆-ки подобны. Д: Пусть у
треугольников ABC и A1B1C1 ÐA=ÐA1, ÐB=ÐB1. Докажем, что ∆ABC подобен ∆A1B1C1. Найдём углы С и С1: ÐС=180º-(ÐA+ÐB), ÐС1=180º-(ÐA1+ÐB1). В силу равенства углов A и A1, а также B и B1 ÐC=ÐC1. По теореме об отношении прощадей треугольников, имеющих по равному
углу, имеем (S)/(S1)=(AB•AC)/(A1B1•A1C1)=(AB•BC)/(A1B1•B1C1)= (BC•AC)/(B1C1•A1C1). Символами S и S1 обозначены площади треугольников ABC и A1B1C1 соответственно. Из второго равенства следует, что (AC)/(A1C1)=(BC)/(B1C1), а из третьего: (AB)/(A1B1)=(AC)/(A1C1). Сопоставляя полученные результаты, делаем вывод, что (AB)/(A1B1)=(BC)/(B1C1)=(AC)/(A1C1), т.е. сходственные стороны данных ∆-ков пропорциональны.
Следовательно, ∆ABC подобен ∆A1B1C1. Т: Если угол одного ∆ равен углу другого ∆, то
площади этих ∆-ков относятся как произведения сторон, заключающих
равные углы.
(2) Для того, чтобы построить середину данного
отрезка AB с помощью циркуля и линейки, построим две окружности
с центрами A и B радиуса AB. Они
пересекутся в точках K и L.
Соединим эти точки. Точка M пересечения отрезков KL и AB и будет серединой отрезка AB. Докажем это. Построим треугольники AKL и BKL. Они равны по 3-му признаку равенства
∆-ков (AK=BK, AL=BL, KL – общая сторона). Отсюда следует, что ÐAKM=ÐBKM.
Значит KM – биссектриса равнобедренного треугольника AKB,
следовательно, является его медианой, поэтому AM=MB, т.е.
точка M – середина отрезка AB. Построенные
окружности не обязательно должны иметь радиус, равный AB.
Важно, чтобы они пересекались в двух точках, поэтому их радиус должен быть больше,
чем ½ AB.0
|
Билет
21. (1). Третий признак подобия ∆-ков
формулируется в виде теоремы.Т: Если 3 стороны одного ∆ пропорциональны 3 сторонам
другого, то такие ∆-ки подобны.Д: Пусть стороны
∆-ков АВС и А1В1С1 пропорциональны: АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1.
Докажем, что ∆АВС ~ ∆А1В1С1.построим
∆АВ2С, у которого Ð1=ÐА1, Ð2=ÐС1. ∆-ки АВ2С и А1В1С1
подобны по 1-ому признаку подобия, значит АВ2/А1В1=В2С/В1С1=АС/А1С1.
сравнивая полученные пропорции с теми, которые даны в условии, получаем АВ=АВ2,ВС=В2С.∆-ки
АВС = АВ2С по 3-м сторонам, следов. ÐА=Ð1, но Ð1=ÐА1,
значит ÐА=ÐА1.
Таким образом у ∆-ков АВС и А1В1С1
пропорциональны стороны и равны углы заключённые между 2-мя сторонами.
Следов., по 2-му признаку подобия ∆АВС ~ ∆А1В1С1.
(2) Пусть дан угол с вершиной в т. А и луч ОМ.
Требуется построить угол равный данному так, чтобы одна из его сторон совпала
с лучом ОМ. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке
А. Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла через В и С.
Соединим точки В и С отрезком ВС. С помощью циркуля проведём дугу окружности
радиуса АВ с центром в точке О. Обозначим точку пересечения её с лучом ОМ
буквой D. Из точки D проведём дугу окружности радиуса ВС, которая
пересечёт ранее построенную дугу в точке Е. Соединяя точки О, Е и D
получим ∆ОDЕ. Докажем, что ÐЕОD =ÐА.
Рассмотрим ∆-ки АВС и ОDЕ. Эти ∆-ки равны по 3-му признаку
равенства ∆-ков (АВ=ОD, АС=ОЕ, ВС=DЕ по построению).
Поэтому ÐЕОD=ÐСАВ,
т.е ÐЕОD=ÐА.
|
Билет
23. (1).Выведем уравнение окружности радиуса r с
центром в точке С (х0; у0) в прямоугольной
декартовой системы координат. Для этого выберем на окружности произвольную
точку М с координатами(х; у).Точка М называется текущей точкой
окружности, а её координаты- текущими координатами. Расстояние от
произвольной точки М (х; у) окружности до её центра С (х0;
у0) постоянно и равно r: МС=r или МС2=r2. Запишем
последнее неравенство в координатной форме:(х-х0)2+(у
–у0)2=r2.Любая
точка, не лежащая на окружности, удалена от центра на расстояние, отличное от
r, значит её координаты не удовлетворяют этому
уравнению. Таким образом, полученное уравнение является уравнением окружности
радиуса r с центром С. Если центр окружности лежит в начале
координат, то её уравнение имеет вид х2+у2=r2. Определение:
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек,
расположенных на заданном расстоянием от данной точки.
(2) Треугольник называется
равнобедренным, если 2 его стороны равны. На рисунке равные стороны (АВ=ВС) называются боковыми
сторонами, третья сторона АС- основанием равнобедренного ∆-ка.
Равнобедренный ∆ обладает 2-мя свойствами, которые можно сформулировать
в виде теорем.Т(1): В равнобедренном ∆-ке углы при основании равны.Д:Докажем
равенство углов А и С в равнобедренном ∆АВС (АВ=ВС). Проведём
биссектрису ВD ÐАВС.
∆АВD =∆СВD по первому признаку рвенства ∆-ков
(АВ=ВС по условию ВD- общая сторона, Ð1=Ð2, т.к.
ВD- ,биссектриса угла В). Отсюда следует, что ÐА=ÐС . Т: доказана. Т(2): В равнобедренном ∆-ке биссектриса, проведённая к
основанию, является медианой и высотой. Д: На рисунке ВD
является биссектрисой ÐВ, противолежащего
основанию. ПО доказанному в теореме 1 ∆АВD=∆СВD,
откуда следует, что АD=DС, значит ВD- медиана, проведенная к
основанию. Кроме того из равенства ∆-ков АВD и
СВD вытекает, что Ð3=Ð4. Но эти углы смежные, значит Ð3+Ð4=180°.
Из 2-х последних равенств следует, что Ð3=Ð4=90°, значит ВD- высота, опущенная на основание. Справедливы
2 следствия из теорем 1: Высота равнобедренного ∆, опущенная на
основание, является медианой и биссектрисой.2: Медиана равнобедренного
∆, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Определение 1: Отрезок биссектрисы угла ∆,
соединяющая вершину ∆ с противоположной стороной, называется
биссектрисой ∆. 2: отрезок, соединяющий вершину ∆ с серединой противоположной
стороны, называется медианой ∆. 3: Перпендикуляр, проведенный из
вершины ∆ к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется
высотой ∆.
|
|
Билет
6. (1) Т: Сумма углов выпуклого п-угольника равна (п-2)•180º. Д: Соединим вершину А1 п-угольника
диагоналями с его другими вершинами. В результате получим п-2
треугольника. На рисунке выпуклый шестиугольник разбит тремя диагоналями А1
А3; А1А4; А1А5 на
четыре треугольника. Сумма углов п-угольника равна сумме всех углов
полученных треугольников, т.е(п-2)•180º.Теорема доказана. Пример:
(6-2)•180º=4•180º=720º. (2). Выведем формулу для длины
l окружности радиуса R:l=2πR. При этом под длиной
l окружности будем понимать предел, к которому стремится периметр Рп
правильного п-угольника, вписанного в окружность при
неограниченном увеличении числа п его сторон. Это записывается так:
Рп–––––––→l.
n→∞
Таким образом, чем
больше число сторон такого п-угольника, тем ближе его периметр к длине
окружности. Рассмотрим две окружности, радиусы которых R
и R1, а длины l и l1. В каждую из них впишем правильный п-угольник и обозначим
через Рп и Рп1 их периметры, а
через ап и ап1 длины сторон.
Тогда, Рп1=п•ап1=п•2R1sin(180º/n). Здесь использована
формула, выражающая стороны an правильного n-угольника,
вписанного в окружность, через радиус R окружности. Отсюда следует (Pn/Pn’)=(2R/2R’), что справедливо при любом n. При
неограниченном увеличении числа сторон n-угольника (n→∞) получим Pn/Pn’→l/l’ n→∞. При этом отношение 2R/2R’
остаётся неизменным. Следовательно, l/l’=2R/2R’ или l/2R=l’/2R’ таким образом отношение длины окружности к
её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято
обозначать греческой буквой π. Из равенства l/2R=π следует, что l=2πR – формула длины окружности.
|
Билет
4. (1) Существуют 3
признака параллельности двух прямых: 1) Если при пересечении двух
прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Прямые a и b
пересечены прямой. Если выполняется хотя бы одно их следующих условий: Ð1=Ð7; Ð2=Ð8; Ð4=Ð6; Ð3=Ð5, то
согласно признаку 1, прямые a║b. 2) Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если выполняются
хотя бы одно из условий: Ð1=Ð5; Ð2=Ð6; Ð4=Ð8; Ð3=Ð7, то по признаку 2 прямые a║b. 3)
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна
180º, то прямые параллельны. Если выполняется хотя бы одно из условий Ð4+Ð5=180º;
Ð3+Ð6=180º;
Ð1+Ð8=180º;
Ð2+Ð7=180º,
то по признаку 3 прямые параллельны a║b. Докажем 3-ий признак: пусть прямые a и b пересекаются прямой
с в точках A и B.
Докажем что Ð3+Ð6=180º
следует параллельность прямых. Отметим что Ð4+Ð3=180º,
так как Ð3 и Ð4
смежные, откуда Ð4=Ð6.
Разделим отрезок AB пополам точкой O и
проведём через эту точку отрезок CD, перпендикулярный прямой a и пересекающий прямые a и b в
точках C и D соответственно. ∆AOC=∆BOD по
стороне и двум прилежащим к ней углам (AO=BO по построению, Ð4=Ð6 по доказанному,
ÐCOA=ÐDOB, как
вертикальные). Из равенства треугольников следует равенство их
соответствующих элементов: ÐBDO=ÐACO=90º (так как CD^a). Значит отрезок CD^b. Таким образом a^CD и b^CD, то есть прямые a и b перпендикулярны третьей прямой, а значит не
пересекаются. Прямые a и b параллельны.
(2) Окружностью
называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на
заданном расстоянии от данной точки. Эта данная точка называется
центром окружности, а отрезок, соединяющий любую точку окружности с её
центром, называется радиусом. Все радиусы имеют одну и ту же длину. Отрезок,
соединяющий две точки окружности, называется диаметром. Диаметр окружности
равен удвоенному радиусу. Существует 3 случая взаимного расположения прямой и
окружности в зависимости от соотношения между радиусом r
окружности и расстоянием d прямой от центра окружности. 1)
d<r. Если расстояние от центра окружности до
прямой < радиуса окружности, то окружность и прямая имеют две общие точки.
2) d=r. Если расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют единственную
общую точку. 3) d>r. Если расстояние от
центра окружности до прямой > радиуса окружности, то прямая и окружность
не имеют общих точек. Свойство: Касательная к окружности
перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
(2) Прямоугольником
называется параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке
изображён параллелограмм ABCD у которого ÐA=ÐB=ÐC=ÐD=90º.
Согласно определению этот параллелограмм – прямоугольник. Для него
справедливы все свойства и признаки параллелограмма: 1)
Противоположные стороны и углы прямоугольника равны. 2) Диагонали
точкой пересечения делятся пополам. 3) Диагонали прямоугольника равны.
Действительно из
равенства двух прямоугольных треугольников ABD и DCA по двум катетам (AB=DC как противоположные стороны параллелограмма,
AD – общий катет) следует равенство гипотенуз: AC=BD справедливо и обратное утверждение которое является признаком
прямоугольника. Признак: если в параллелограмме диагонали равны, то этот
параллелограмм прямоугольник.
|
Билет
12. (1) Окружность называется вписанной в ∆-к
, если стороны ∆ -ка касаются окружности. Т: В любой ∆-к можно вписать окружность .Д: На
рисунке ∆АВС,АО,ВО,СО – биссектрисы его углов, которые пересекаются в
точке О.Из точки О проведём перпендикуляры ОD, OE и OF к сторонам ∆-ка .Докажем, что
они равны. Прямоугольные треугольники АОD иAOF равны по гипотенузе и острому углу (АО- общая сторона, ÐAOD=ÐOAF, так
как АО- биссектриса). Отсюда следует, что OD= OF. Аналогично доказываются равенства OD=OE, OE=OF. Следовательно,
OD=OE=OF.Таким образом, точка О равноудалена от
сторон ∆-ка. Окружность с центром в точке О и радиусом, равным OD,
касается всех сторон ∆-ка, то есть является вписанной окружностью. Т:
доказана.
(2) Площадь S трапеции ABCD с высотой ВЕ выражается формулой S=½(BC+AD)•BE, то
есть площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Для
вывода этой формулы на продолжении отрезка AD отложим отрезок DF
равный ВС (DF=BC) и соединим точки В и F. При
этом отрезок BF пересечёт сторону CD в точке G.
∆ВСG и ∆FDG равны по второму признаку (ВС=DF, ÐCBG=ÐDFG, ÐBCG=ÐFDG как
накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AF и
секущих BF и CD соответственно). Из равенства
треугольников следует равенство их площадей. Значит площадь S
трапеции равна площади ∆ABF, имеющего ту же высоту ВЕ, что и трапеция.
Следовательно, S=½AF•BE=½(AD+DF)•BE. Так как ВС=DF,окончательно получаем S=½(BC+AD)•BE. Cвойства
площади трапеции: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура
состоит из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
|
Билет
10.(1).Т:Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их
полусумме.Д: На рисунке трапеция АВСD и её
средняя линия МN (АМ=МВ, DN=NC).Через середину N
стороны СD и через вершину В проведём прямую, которая пересечет
продолжение основания АD в некоторой точке Е.∆ВСN и
∆ЕDN равны по второму признаку (NC=DN по
условию, ÐВNC=ÐЕND как вертикальные, ÐВСN=ÐЕDN как внутренние накрест лежащие углы при
параллельных прямых ВС и АD и секущей СD). Из равенства
∆-ков следует равенство сторон: ВС=ЕD, ВN=EN. Следовательно, МN−средняя
линия ∆АВЕ, а значит МN║AE и МN=½AE=½(AD+ED)=½(AD=ВС).Т:доказана.Определение: Средней линией трапеции называется отрезок
соединяющий середины её боковых сторон.
(2) Рассмотрим ∆АВС, стороны которого
обозначены: АВ=с, АС=b, ВС=а, высота АP,
опущенная на сторону ВС обозначена hа.. Тогда площадь ∆АВС может быть
найдена по одной из формул: (1) S=½ha•a;
(2) S=½
absinC; 3) S=√
p(p-a)(p-b)(p-c) В формуле (3), которая называется
формулой Герона, символом p обозначен полупериметр: p=½
(a+b+c). Можно выписать формулы, аналогичные (1) и
(2), в которых использованы другие стороны, высоты и углы. Выведем формулу
(1). Для этого дополним ∆ABC до параллелограмма ABCD.
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и ACD. ∆ABC и ∆ACD равны по 3-му признаку (AC – общая
сторона, AB=CD, BC=DA, как противоположные стороны
параллелограмма), следовательно, равны их площади. Значит площадь
параллелограмма равна удвоенной площади ∆ABC. С другой стороны
площадь параллелограмма равна AP•BC=ha•a, так как высота параллелограмма совпадает с
высотой ∆ABC. Отсюда, 2S=ha•a
или S=½ha•a.
|
Билет
8. (1) Т: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Д: Рассмотрим произвольный ∆АВС. На продолжении стороны АС отложим
отрезок СD = ВС и построим ∆ВСD, который
является равнобедренным, откуда ÐСВD = ÐСDВ. В ∆АВD ÐАВD>ÐСВD,
следовательно ÐАВD>ÐАDВ. Так
как в ∆ против большего угла лежит большая сторона, то АD
>АВ, но АD=АС+СD=АС+СВ, поэтому АС+СВ>АВ или
АВ<АС+СВ.Анологично доказываются неравенства АС<АВ+ВС, ВС<АВ+АС.Т:
доказана. (2). Радиус окружности, вписанной в правильный п-угольник
ап выражается по формуле r=(an)/(2tg•(180º/n))
Для вывода этой
формулы разделим правильный n-угольник, описанный около окружности на n-треугольников
отрезками, соединяющими центр окружности с вершинами n-угольника.
Рассмотрим один из таких треугольников, например, треугольник A1OA2. По следствию из теоремы об окружности,
вписанной в правильный n-угольник, окружность касается сторон n-угольника
в их серединах. Следовательно, радиус OB, проведённый из центра O в
точку касания, делит сторону A1A2 пополам, то есть A1B=BA2=an/2, где а сторона правильного n-угольника.
Поэтому высота OB треугольника A1OA2 является и его медианой, значит треугольник A1OA2 – равнобедренный. Отсюда следует, что OB делит угол A1OA2 пополам, т.е. угол A1OB=½ улга A1OA2. А поскольку угол A1OA2=360°/n. Для прямоугольного треугольника A1BO справедливо соотношение A1B/BO=tg∟A1OB или an/2r=tg180°/n.
Отсюда получаем r=(an)/(2tg•(180º/n))
Определение:
Окружностью называется вписанной в многоугольник, если все стороны этого
многоугольника касаются окружности. Т: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и
при том только одну.
|
Билет
18. (1) Т: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон минус удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними. Д: Рассмотрим
∆АВС и введём три вектора АВ, АС и ВС. По
правилу сложения векторов АВ=ВС=АС, откуда ВС=АС-АВ. Найдём
скалярное произведение вектора самого на
себя (скалярный квадрат): ВС2=(АС-АВ)2 или ВС2=АС2+АВ2-2АС•АВ.
По свойствам скалярного произведения имеем ВС2=АС2+АВ2-2АС•АВ•cosA.
Введём обозначения ∆-ка АВС: ВС=а, АС=b, АВ=с. Окончательно получим а2=b2+c2-2bc cosA.
Т: доказана.
(2) Луч, исходящий из вершины угла и
делящий его на два равных угла называется биссектрисой угла. Биссектриса обладает свойством, которое
можно сформулировать в виде теоремы. Т: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена
от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от
сторон угла, лежит на его биссектрисе. Д: 1)На биссектрисе угла
АВС возьмём произвольную точку М, проведём перпендикуляры МК и МL к
прямым АВ и ВС и докажем, что МК=МL. Рассмотрим прямоугольные треугольники МКВ и
МLB. Они равны (∆МКВ=∆MLB) по
гипотенузе (МВ – общая гипотенуза) и острому углу (Ð1=Ð2, так
как МВ – биссектриса. Следовательно, МК=МL.
2) Пусть точка М
лежит внутри угла АВС и равноудалена от его сторон, то есть МК=МL, где
МК^АВ, ML^BC. Докажем, что луч МВ –
биссектриса угла АВС. Прямоугольные треугольники МКВ и МLВ равны
по гипотенузе и катету (МВ – общая гипотенуза, МК=МL по
условию), отсюда Ð1=Ð2. Следовательно, МВ – биссектриса угла АВС.
Т: доказана.
|
Билет
16. (1) Т: В прямоугольном ∆ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов (пифагогра). Д: Рассмотрим прямоугольный ∆АВС с
катетами а и b и гипотенузой с. С помощью
равных ему прямоугольных ∆-ков построим квадрат расположив треугольники
так как и на рисунке. Сторона квадрата равна а+b,
следовательно площадь S=(a+b) 2. С другой стороны этот квадрат состоит из четырёх равных
прямоугольных треугольников, площадь которых равна 4•½ ab=2abи
квадрата со стороной с. Площадь которого равна с2.
Таким образом площадь S=2аb+c2. Приравниваем
полученые выражения (a+b)2=2ab+c2;а2+2ab+b2=2ab+c2;с2=a2+b2. Т: доказана. Справедлива теорема, обратная
теореме Пифагора Т: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. С помощью этой
теоремы, зная стороны треугольника, можно определять является ли он
прямоугольным.(2). Две точки А и А1
называются симметричными относительно точки О, если точка О- середина отрезка
АА1.Точка О считается симметричной самой себе. Фигура
называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно точки О так же принадлежит этой фигуре.
Точка О называется центром симметрии фигуры. Поэтому о симметричной фигуре
относительно точки О можно сказать, что она обладает центральной симметрией.
Фигуры обладающие центральной симметрией это: а) окружность(центр симметрии-
центр окружности;б) параллеограмм(центрсимметрии- точка пересечение
диагоналей).Фигуры F и F1 называются симметричными относительно точки О. При таком
преобразовании не меняются расстояния между точками, поэтому преобразование
симметрии является движением.
|
Билет
14. (1) Признак 1. Если в четырёхугольнике
две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Признак 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм. Признак 3. Если в
четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырёхугольник – параллелограмм. Докажем второй признак. Д: Пусть
в четырёхугольнике АВСD АВ=DC, AD=BC Докажем, что АВСD –
параллелограмм. Для этого проведём диагональ АС и рассмотрим ∆АВС и
∆СDА. ∆АВС=∆СDА по третьему признаку
равенства треугольников (АD=BC, AB=DC, AC – общая сторона). Отсюда Ð1=Ð2, Ð3=Ð4. Но Ð1 и Ð2 –
накрест лежащие углы при прямых ВС и АD и секущей АС. Значит ВС║AD;Ð3 и Ð4 –
накрест лежащие углы при прямых АВ и DC и секущей АС, значит АВ║DC.
Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВСD попарно
параллельны, следовательно,
АВСD – параллелограмм.
Признак доказан.
(2) Параллельным переносом на вектор а называется такое преобразование
фигуры F, при котором каждая
её точка М переходит в точку М1 , такую что вектор ММ1 равен
вектору а:ММ1=а. Основное свойство
параллельного переноса состоит в том, что при параллельном переносе сохраняются
расстояния между точками и любая прямая переходит в прямую, параллельную
исходной. Докажем это. Пусть М и N –произвольные точки фигуры F,
расстояние между которыми равно MN.При параллельном переносе
на вектор а точки М и N
переходят в точки М1 и N1 соответственно. Так как ММ1=NN1=а, то ММ1=NN1
и ММ1║NN1 .Значит четырёхугольник MM1N1N-параллелограмм
(по первому признаку). Отсюда следует, что, MN=M1N1 и MN║M1N1. Из того, что при параллельном переносе сохраняются
расстояния между точками, следует, что параллельный перенос есть движение.
Движение бывает: поворот, параллельный перенос, осевая и центральная
симметрии.
|
Билет
24. (1) Скалярным
произведением двух векторов называется число, равное произведению
их модулей (длин) на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов a и
b обозначается так: a • b. По
определению a • b = |a|•|b|cos(a^b), где символом (a^b) обозначен
угол между векторами. Из определения скалярного произведения нетрудно вывести
условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора
перпендикулярны тогда и только тога, когда их
скалярное произведение равно нулю.
Действительно,
если a^b, причём |a|≠0,
|b|≠0, то cos (a^b)=cos90º=0, значит a • b=0.
Обратно, если a • b=0, причём |a|≠0, |b|≠0, то cos(a^b)=0, значит
a^b. Легко видеть, что для ненулевых a•b>0 при
(a•b)<90º, a•b<0 при (a•b)>90º.
Скалярное произведение вектора самого на себя a •
a называется скалярным квадратом
и обозначается a2. Из определения скалярного произведения следует a 2= a•a= |a| |a|cos0= |a|2,
т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Скалярное
произведение обладает свойствами, справедливыми
для любых векторов a, b, с и числа k.
1) a2≥0, причём a2>0 при |a|≠0. 2) a•b=b•a
. (переместительный закон). 3) (a+b) • c= a• c+b•c
(распределительный закон). 4) (ka)•b=k(a•b) (сочетательный закон).
(2) Два угла называются вертикальными, если
стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке
углы 1 и 3, а также 2 и 4 – вертикальные. Вертикальные углы обладают
следующим свойством. Свойство. Вертикальные углы равны. Действительно, углы 1 и
2, а также 2 и 3 – смежные, значит Ð1+Ð2=180º, Ð2+Ð3=180º, откуда Ð1=180º-Ð2,
Ð3=180º-Ð2, т.е. Ð1=Ð3. Аналогично доказывается, что Ð2=Ð4. Два
угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна
другой, называются смежными (углы 1 и 2 на рисунке). Сумма смежных углов
равна 180º.
|
Билет
22. (1) Чтобы вывести уравнение прямой на плоскости,
рассмотрим следующую задачу: в прямоугольной декартовой системе координат
найти уравнение такой прямой l, которая равноудалена от двух точек A(x1;y1) и B(x2;y2),
т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Выберем произвольную точку M(x;y), лежащую на прямой l.
Такая точка называется текущей точкой прямой l, а
её координаты – текущими координатами. Согласно условию задачи, AM=BM или AM2=BM2. Выразим в координатной форме левую и правую части последнего
равенства: (x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2. Преобразуем полученное уравнение x2-2xx1+x12+y2-2yy1+y12=x2-2xx2+x22+y2-2yy2+y22; 2•(x2-x1)•x+2(y2-y1)•y+x12-x22+y12-y22=0. Отметим, что x1,y1,x2,y2 – это числа, поэтому введём обозначения (x2-x1)=a; 2(y2-y1)=b; x12-x22+y12-y22=c. Тогда
уравнение примет вид ax+by+c=0. Это и есть уравнение прямой. 1) Если a=0,
т.е. x1=x2, то уравнение примет вид by+c=0 или y=y0, где y0=-c/b; в этом случае прямая параллельна оси Ox. 2)
Если b=0, т.е. y1=y2,
то уравнение примет вид ax+c=0 или x=x0, где x0=-c/a; в
этом случае прямая параллельна оси Oy. 3) Если с=0, то уравнение примет вид ax+by=0; в
этом случае прямая проходит через начало координат.
|
Билет
20. (1) Т: Если две стороны одного ∆-ка пропорциональны двум сторонам
другого ∆-ка и углы, заключенные между этими сторонами равны, то
такие треугольники подобны.
Д: Пусть у ∆АВС и
∆ А1В1С1 АВ ∕ А1В1=
АС ∕ А1С1 и ÐА=ÐА1.
Докажем, что ÐС=ÐС1.
Для этого построим ∆АВ2С, у которого Ð1=ÐА1
, Ð2=ÐС1.
∆АВ2С и ∆А1В1С1
подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому АС ∕ А1С1=АВ2
∕ А1В1. С другой стороны, по условию АС
∕ А1С1=АВ ∕ А1В1,
откуда следует, что АВ=АВ2. ∆АВС и ∆АВ2С
равны по двум сторонам и углу между ними (АС- общая сторона, АВ=АВ2
по доказанному, ÐА=Ð1 так
как Ð1=ÐА1
ÐА1=ÐА). Отсюда следует, что ÐС=Ð2, а
так как Ð2=ÐС1,
то ÐС=ÐС1.
Значит у треугольников АВС и А1В1С1 ÐА=ÐА1
(по условию) и ÐС=ÐС1
(по доказанному). По первому признаку подобия ∆АВС ~ ∆А1В1С1.
Т: доказана.
(2) Пусть дан угол с вершиной в точке A.
Построим биссектрису этого угла. Для этого проведём дугу окружности
произвольного радиуса с центром в точке A. Она пересечёт стороны угла в точках B и
C. Проведём дуги окружностей одинакового радиуса с
центрами в точках B и C так,
чтобы они пересеклись. Одну из точек пересечения этих дуг, лежащую внутри
угла, обозначим буквой E. Соединим точку E с
точкой A. Луч AE является биссектрисой угла A.
Докажем это. Построим ∆ABE и ∆ACE. Они
равны по третьему признаку равенства треугольников. (AE – общая
сторона, AB=AC, BE=CE по построению). Отсюда следует, что ÐBAE=ÐCAE,
т.е. AE – биссектриса угла A.
|