Три знаменитые классические задачи древности
Министерство
Образования РБ.
Средняя
общеобразовательная школа №42
«Три знаменитые
классические
задачи древности»
Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван
Проверил: Леонова Вера Михайловна
г. Улан – Удэ
2005 г.
Введение
Искусство построения геометрических фигур
при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции.
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения,
используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с
помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач
относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:
о квадратуре круга о
трисекции угла
о удвоении S круга.
Задача о квадратуре круга
Одной из древнейших и
самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4
тысячелетий, является задача о квадратуре круга, т.е. о построении с
помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если
обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата,
площадь которого равна r2, а сторона
равна r. Теперь известно,
что число -отношение
окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной
непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с
707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с
формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного
рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко
превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.
Шенкс вычислял.
Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре
круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в
сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может
служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись
доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется,
что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить
приближенное значение (и корня квадратного из ), удовлетворяющее тем или
иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала
людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона:
возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только
циркуля и линейки.
Следы задачи о квадратуре
круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э.
Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается
впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх
рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь
в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В
комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на
тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:
Возьму линейку, проведу
прямую,
И мигом круг квадратом
обернётся,
А от него уж улицы пойдут
–
Ну, как на Солнце! Хоть
оно само
И круглое, а ведь лучи
прямые!..
Эти стихи говорят о том,
что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из
современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно
осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги,
соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник,
затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в
силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат
равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже
Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение
задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.
Квадратурой круга
занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих
занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить
прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана
Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием
«гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром вписан равнобедренный прямоугольный
треугольник BAC . На и , как на
диаметрах, Рис. 1
описываются полуокружности.
Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми
дугами, и называются луночками.
По теореме Пифагора:
.
(1)
Отношение площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые
доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров , которые в силу
(1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на
диаметре .
Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что
площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади
равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и
продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему,
конечно, не удалось.
Различные другие,
продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга
оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что
квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре
круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще
другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики
Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была
найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их
последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и
линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей,
квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу
арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию
новых понятий и идей в математике.
Квадратура круга была в
прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия
«квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все
усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство,
что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям.
Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством
служит появление до сих попыток её решить.
Задача о
трисекции угла
Знаменитой была в
древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria – три и section – рассечение ,
разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и
линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым
греческим философом Платоном.
Так, деление прямого угла
на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что
в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о. Пусть требуется
разделить на три равные части прямой угол MAN (Рис. 2). Откладываем на
полупрямой произвольный
отрезок ,
на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол Рис. 2 CAB
равен 60о, то = 30о.
Построим биссектрису
угла САВ, получаем искомое деление
прямого угла MAN
на три равных угла: , , .
Задача о трисекции угла
оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например,
для углов в ,
п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол
невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки.
Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.
Рис. 3, а, б, в: конхоида
Никомеда
Задача о
трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в
геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем
и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были
предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый
софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла
квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу
о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис.
3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.
Рис.
4
Рис. 5
Интересное решение задачи
о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается ,
что если продолжить хорду (рис.4) окружности радиуса r на отрезок = r и провести через
С диаметр , то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ.
Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов
при основании равнобедренного треугольника имеем:
,
,
значит,
Отсюда следует так
называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав
окружность с центром O и радиусом и , проводим диаметр . Линейку CB на которой
нанесена длина радиуса
r (например, помощью
двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по
продолжению диаметра ,
а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности.
Тогда угол BCF и будет искомой третьей
частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом
приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение
отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше
построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для
проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого
отрезка.
Вот ещё одно решение задачи о три
секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей
линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)
Построение
На одной из сторон угла откладываем
от вершины B прямую BA = PQ. Делим ВА пополам в точке М; проводим линии Рис. 6 и .
Возьмём теперь нашу линейку и
приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину
данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью
часть угла В.
Доказательство
как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы
прямоугольного треугольника PQM, а
потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит
Внешний же
Вместе с тем .
Значит,
Итак:
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи
принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не
воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для
доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает
стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только,
что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам
измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и
доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача
об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья
классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя
первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба,
имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а
ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять
уравнению
x3 = 2a3, или x =
Задача является естественным
обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто:
стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок
длиной а,
т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба,
объём которого равен 2а3, т.е. отрезок х, равный , не может быть
построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой
половине XIX в.
Задача об удвоении куба носит так же
название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море)
распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за
советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма
Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму
куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше
ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили
объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на
вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте
геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не
потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть
греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ
Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два
средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а,
b, т.е. найти х и у,
которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:
а
: х = х : у = у : b (1)
Суть одного механического решения
задач об удвоении куба, относящегося к IV в. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим
на стороне прямого угла отрезок =а, где а-
длина ребра куба (рис.7), а на другой его стороне – отрезок =2а. На
продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M и N , чтобы (АМ) и
(ВN) были
перпендикулярны к (MN); тогда (х) и (у) будут двумя серединами
пропорциональными между отрезками и . Для этого устраивается угольник с подвижной
линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.
Имеем:
: = : = : ,
или
а : х = х : у = у : 2а.
или
,
т.е.
.
Это значит что отрезок искомый.
Архит Тарентский дал интересное
стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали
свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др.
Итак, все старания решить три
знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка)
привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной,
пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов,
пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет
неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий,
имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка
Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как
известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться.
Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой
новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют
ныне все сокровища Индии.
Древность завещала решение всех трёх
задач нашим временам.