Методы расчета электрических полей
В методе эквивалентных зарядов возникают следующие проблемы, связанные
друг с другом:
Размещение эквивалентных зарядов и контурных точек;
Проблема обусловленности СЛАУ.
Определитель матрицы СЛАУ равен нулю, если она имеет два одинаковых
столбца или строки. Если же два столбца или две строки не одинаковы, но близки
друг к другу, то определитель матрицы отличен от нуля, но очень мал. Его
значение тем меньше, чем меньше отличия соответствующих строк или столбцов.
В соответствии с этим, при сближении строк или столбцов исходной
матрицы, будут возрастать коэффициенты матрицы, обратной к рассматриваемой.
Будет возрастать и норма обратной матрицы.
В линейной алгебре вводится понятие числа обусловленности N матрицы
равного произведению норм прямой и обратной матриц
N=||A-1||×||A||.
При сближении двух строк или столбцов матрицы, число обусловленности N
возрастает.
Рассмотрим теперь СЛАУ, записанную в матричной форме:
A×X=U,
где
X и U –соответственно, векторы неизвестных и правых частей.
Пусть правая часть U известна точно, а матрица A получает некоторое
приращение DА. Тогда решение также несколько изменится. Обозначим его приращение
через DХ.
Это можно записать как
(A+DA)(X+DX)=U.
Если раскрыть скобки и пренебречь величиной DА×DХ, то получим
DХ»А-1 DАХ.
Переходя к нормам, получим:
.
Смысл этого выражения состоит в том ,что относительная погрешность
решения пропорциональна
относительному изменению коэффициентов матрицы А, причем коэффициент пропорциональности
равен числу обусловленности матрицы А.
Системы уравнений с большим числом обусловленности N называются плохо
обусловленными. Для них небольшим изменениям коэффициентов матрицы
соответствуют большие изменения решения.
Теперь перенесем изложенные результаты на МЭЗ. Предположим, что
расстояния от отдельных ЭЗ до каких-либо двух контурных точек близки. Это
приводит к тому, что два столбца в матрице СЛАУ близки между собой и число
обусловленности матрицы может быть весьма велико. В этом случае полученные
значения ЭЗ очень сильно зависят от выбранных координат контурных точек.
Поэтому если координаты ЭЗ и КТ выбраны неудачно, то решение может иметь
осциллирующий знакопеременный характер, что не соответствует физической
постановке задачи.