Шпаргалка: математика_Latvija_LLU
1.
Pamatjēdzieni
par rindām: skaitļu rindas definīcija, rindas parciālsumma,
konverģences definīcija.
Par rindu sauc virknes (a1, a2,
a3,..., an,... ) locekļu bezgalīgu summu. an- rindas vispārīgais loceklis. Rindas
parciālsumma-
Sn=a1+ a2+ a3+...+ an. Ja parciālsummai
eksistē galīga robeža, kad n=>∞ tad saka, ka rinda
konverģē, pretējā gadījumā rinda
diverģē. Rindu sauc par konverģentu, ja tās parciālsumma virknei ir galīga
robeža. Šo robežu sauc par konverģentas rindas summu. Ja
parciālsummu nav galīgas robežas, tad rindu sauc par
diverģentu. Diverģentai rindai nav summas. 2.Pozitīvu
sk. rindu konverģences nepieciešamā pazīme. Sn=a1+
a1+...+ an-1+ an; Sn-1=a1+
a1+...+ an-1; an=Sn- Sn-1;
Pieņēmums: rinda konverģē
;
ja rinda konverģē, tad robeža kad n=>∞ ir 0.
2.
Pozitīvu sk. rindu konverģences
pietiekamās pazīmes.
a) Salīdzināšanas pazīme:
0≤an≤bn , a) ja rinda
konverģē => konverģē. b) ja rinda
diverģē => diverģē. c) ja
, k≠±∞;k≠0, tad abas
rindas uzvedas vienādi. b) Dalambēra
pazīme: , S<1 rinda k onverģē, S>1
rinda diverģē, S=1 pazīme nedod atbildi. c) Košī
pazīme , S<1 rinda konverģē, S>1 rinda
diverģē, S=1 jāņem cita pazīme. d) Integrālā
pazīme: ,S=∞,0 rinda diverģē,
citādi konverģē.
3.
Alternējošās
rindas, Leibnica pazīme, absolūtā un nosacītā
konverģē nce.
Rindu sauc par alternējošu, ja jebkuriem
rindas blakus locekļiem ir pretējas zīmes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+...,
kur burti u1,u2,u3,...apzīmē
pozitīvus sk., ir maiņzīmju rindas. Leibnica pazīme:
Maiņzīmju rinda konverģē, ja tās locekļi tiecas
uz nulli, visu laiku dilstot pēc absolūtās vērtības.
Tādas rindas atlikumam ir tāsda pati zīme kā pirmajam
atmetajam loceklim un tas ir mazāks par to pēc absolūtās
vērtības. Rinda konverģē, ja izpildās divi
nosacījumi: 1) an>an+1, 2) .
Absolūtā un nosacītā konverģence: Rinda u1+u2+...+un+...
(1) katrā ziņa konverģē, ja konverģē
pozitīva rinda |u1|+|u2|+...+|un|+...
(2), kas sastādīta no dotās rindas locekļu
absolūtajām vērtībām. Dotās rindas atlikums
pēc absolūtās vērtības nepārsniedz
atbilstošo rindas (2) atlikumu. Dotās rindas summa S pēc
absolūtās vērtības nepārsniedz rindas (2) summu S’,
t.i., |S|≤S’. Vienādība ir tikai tad, ja visiem rindas (1)
locekļiem ir viena un tā pati zīme. Definīcijas: Rindu sauc
par absolūti konverģentu, ja konverģē rinda, kas
sastādīta no tās locekļu absolūtajām
vērtībām. Rindu sauc par nosacīti konverģentu, ja
tā konverģē, bet rinda, kas sastādīta no tās
locekļu absolūtajām vērtībām, diverģē.
4.
Pakāpju rinda,
tās konverģences intervāls, Ābela teorēma.Par pakāpju rindu sauc šāda
veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ ...+anxn+...
(1) un arī vispārīgākā veidā: a0+ a1(x-x0)+
a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+...
(2), kur x0 ir patstāvīgs lielums. Par rindu (1) saka, ka
tā ir attīstīta pēc x pakāpēm, par rindu (2), ka
tā attīstīta pēc x-x0 pakāpēm.
Konstantes a0, a1,..., an,... sauc par
pakāpju rindas koeficentiem. Pakāpju rinda vienmēr
konverģē vērtībai x=0. Attiecībā uz
konverģenci citos punktos var rasties trīs gadījumi: a) var
gadīties, ka pakāpju rinda diverģē visos punktos,
izņemot x=0. Tāda, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+...,
kurai vispārīgais loceklis nnxn=(nx)n
pēc absolūtās vērtības neierobežoti aug,
sākot ar momentu, kad nx kļūst lielāks par vienu.
Tādām pakāpju rindām praktiskas nozīmes nav. b)
Pakāpju rinda var konverģēt visos punktos. Tāda, piem, ir
rinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+...,
kuras summa jebkurai x vērtībai ir vienāda ar ex. c)
Tipiskajā gadījumā pakāpju rinda vienā punktu
kopā konverģē, citā-diverģē. Pakāpju rindas:
a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+...
konverģences apgabals ir kāds intervāls (-R;R), kas ir
simetrisks attiecībā pret punktu x=0. Dažreiz tanī
jāieskaita abi gali x=R, x=-R, dažreiz tikai viens, bet dažreiz
abi gali jāizslēdz. Intervālu (-R;R) sauc par pakāpju
rindas konverģences intervālu, pozitīvo sk. R par
konverģences rādiusu. Ābela teorēma: Ja pakāpju rinda
a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+...
konverģē (absolūti vai nosacīti) kādā punktā
x0, tad tā konverģē absolūti un
vienmērīgi jebkurā slēgtā intervālā (a,b),
kas atrodas intervāla (-|x0|,+|x0|)
iekšienē.
5.
Funkciju
izvirzīšana pakāpju rindā. Teilora un Maklorena rinda.
Ja funkciju f(x) var izvirzīt pakāpju
rindā a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+
...+an(x-x0)n+..., tad izvirzījums ir
viens vienīgs un rinda sakrīt ar Teilora rindu, kas
attīstīta pēc x-x0. pakāpēm. Teilora rinda:
Par Teilora rindu (kas attīstīta pēc x-x0 pakāpēm)
funkcijai f(x) sauc pakāpju rindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+
(f’’(x0)/2!)(x-x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+...,
ja x0=0, tad Teilora rindai (attīstītai pēc x
pakāpēm) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+ (f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+....
Maklorena rinda: Pamatojoties uz Teilora rindu:
6.
Pakāpju rindu lietojumi.
F-ju vērtības tuvināto
aprēķināšana: 1+(1/2)+ (1/8)+
(1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120) ,E=10-3. Robežu
aprēķināšana: x=>0; ex~1+x; sinx~x;
cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x;
ln(1+x)~x; arctgx~x. Integrāļu tuvināta
aprēķināšanai: ; E=10-3;
; Diferenciālvienādojums tuvināta
atvasināšana: .
7.
Furjē
rinda. Funkciju izvirzīšana Furjē rindā.
Furjē rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+ a2cos2x+
b2sin2x+...,
; .
9. Divkāršā
integrāļa definīcija un aprēķināšana Dekarta
koordinātēs. D:
Robeža uz kuru tiecas
summa
,kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par
divkāršo integrāli no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D.
Apzīmējums
Apgabalu D, sauc par regulāru pēc x, ja novelkot jebkurā
vietā līniju x=c, tā krusto apgabala D robežu ne
vairāk , kā 2 reizes. Vispārregulārs – regulārs
pēc x un y Aprēķināšana Dekarta koordinātēs
ds=dxdy
10. Divkāršā integrāļa
aprēķināšana polārajās koordinātēs.
f(x,y)=f(rcosj,rsinj)=F(r,j) DS»Dr*rDj dS=r*dr*dj
11. Divkāršā integrāļa pielietojums.1.plaknes
figūras lauk. aprēķināšana 2. Tilpuma
aprēķināšana z=z(x,y) 3. Plaknes figūras(nehomogēnas)
aprēķināšana r=r(x,y) 4. Plaknes figūras masas centra
aprēķināšana c(xc,yc) Ioy-
statiskais moments attiecībā pret y asi
12. Trīskāršā
integrāļa definīcija un aprēķināšana Dekarta
koor dinātēs ,lietojumi. D:
Pieņemsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir nepārtraukta
telpas apgabala D iekšienē un uz tā robežas. Sadalām D
n daļās; to tilpumus apzīmēsim ar Dv1, Dv2,...,
Dvn. Katrā daļā
ņemsim punktu un sastādīsim summu Sn=f(x1,y1,z1)
Dv1+ f(x2,y2,z2)
Dv2+...+ f(xn,yn,zn)
Dvn . Robežu uz kuru tiecas Sn
, kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par
funkcijas f(x,y,z) trīskāršo integrāli pa apgabalu D.
Aprēķināšana Lietojumi 1. Tilpuma
aprēķināšana 2. Nehomogēna ķermeņa masas
aprēķināšana
13. Pirmā veida līnijintegrāļi, to
aprēķināšana, lietojumi. 1) y=y(x), ,ja dota parametriski, tad 14. Otrā veida
līnijintegrāļi, to aprēķināšana, lietojumi.
1) y=y(x), dy=y’dx ,ja dots parametriski,
tad , ja līnija L ir
noslēgta, tad Grīna formula Līnijintegrāļu pielietojums
1)darba apr. 2)
līnijas loka garumu apr. 3)masu nehomogēnai līnijai apr. 15. Pirmā veida
virsmas integrāļi, to aprēķināšana, lietojumi. ,aprēķina
šķidruma plūsmu caur virsmu 16. Otrā veida virsmas
integrāļi, to aprēķināšana,
lietojumi. aprēķina
šķidruma plūsmu caur virsmu
17.Skalārais lauks. Atvasinājums
dotajā virzienā.
u=u(x,y,z) u(M0) , u(M) Du= u(M)-u(M0) 18. Skalāra lauka
gradients, tā fizikālā nozīme. Vektoru kura
virzienā skalārā lauka izmaiņas ātrums ir
vislielākais, sauc par skalārā lauka gradientu grad u 19. Vektoru lauks.
Vektoru lauka plūsma, tā fizikālā nozīme. Ja
kādā telpas apgabalā katram punktam, katrā laika
momentā t ir piekārtots noteikts vektoriāls lielums, tad saka ka
ir dots vektoriāls lauks Par vektoru lauka a plūsmu caur virsmu S
sauc virsmas integrāli (1) (2) 20. Vektoru lauka
diverģence, tās fizikālā nozīme. Par vektoru
lauka diverģenci sauc robežu no plūsmas un tilpuma
attiecības, kad apgabala diametrs tiecas uz 0 (1) (2)
21.Vektoru lauka cirkulācija, tās
aprēķināšana. Par
vektoru lauka cirkulāciju sauc līnijintegrāli pa slēgtu
līniju.(3)
22. Vektoru lauka rotors, tā fizikālā nozīme. Par
vektoru lauka a rotoru sauc sekojošo determinantu.
(3) 23. Potenciāls lauks. Vektoru
lauku a sauc par potenciālu, ja tas ir vienāds ar kāda
skalārā lauka gradientu
25.Stīgas svārstību vienādojums. d2u/dt2=a2*d2u/dx2 –stīgas sv. vien. Atrisinājums
26.Siltumvadīšanas vienādojums. d2u/dt=a2*d2u/dx2 –silt.vad. vien.
27. Parciālie
diferenciālvienādojumi, Košī problēma, Dirihlē
problēma, jaukta veida problēma