Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ

на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

    Казаков Василий Васильевич

Проверила:

    Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

1) Гармонические колебания

2) Затухающие колебания

3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Пусть l означает удлинение пружины  в данный момент, а l_ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=l_ст+х, или l-l_ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,   где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению: F_упр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сl_ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим  l-l_ст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через k²,

                                                  (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

         Если положить

                                    (2)

         График гармонических колебаний имеет вид:

         Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргу­мент  — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e.  величина  , называется начальной фазой колебания. Величина  есть частота колебания. Период коле­бания   и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/l_ст = mg/l_ст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцирова­нием решения по t:

Для определения амплитуды и начальной фазы необхо­димо задать начальные условия. Пусть, например, в началь­ный момент t = 0 положение груза x=x₀ и скорость u=u₀. Тогда  , откуда

,        

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных коле­баний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u₀=0) амплитуда А=х₀, а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,

  или    

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибав­ляется здесь сила сопротивления воздуха  (знак минус показывает, что сила R направлена противопо­ложно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид

или если положить , , то

                                                     (3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен­тами. Его характеристическое уравнение:

 имеет корни

                                                    (4)

Характер движения целиком определяется этими кор­нями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сна­чала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если поло­жить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде

или, преобразовав, умножая и деля на , получим:

         положим, что

  ,

         тогда

                                                     (5)

         График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

Если заданы начальные условия:  при t = 0, то можно определить А и a. Для этого находим

и   подставляем  t = 0  в  выражения   для и  получим систему уравнений

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

 откуда

    или   а    

         Так как

         то

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания  зави­сит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем  при .

Период затухающих колебаний определяется по формуле

Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде  Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

                                              (6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид

                                                      (7)

Легко заметить,  что  в обоих  последних  случаях при  имеем .

Если заданы начальные условия  и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно  и , получим

,     

            и, следовательно

         В случае же, когда , получаем ,  и следовательно,

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р под­вешен на вертикальной пружине, длина которой в нена­груженном состоянии равна . На груз действует перио­дическая возмущающая сила  где Q и р — постоян­ные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

Полагая, как и прежде,  и, кроме того,  пере­пишем уравнение в виде

                                               (8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным урав­нением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если пред­положить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и N — коэф­фициенты, подлежащие определению. Итак,

Производя вычисления, получаем

         откуда М=0 и  Полученное таким образом частное решение

                                                     (9)

определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k<p, т. е. если N<0.

Закон движения представляется общим решением

.                                     (10)

Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.

Если заданы начальные условия:  и , то можно определить произвольные постоянные А и u. Для этого продифференцируем функцию (10):

и подставим  в   выражения  х   и  значение  аргумента t = 0;   получим  систему  уравнений  относительно  A и a:

         Преобразуем её так:

возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда

Для нахождения a разделим обе части  первого урав­нения на соответствую-щие части второго; получим

откуда

при этом ,   

Итак, искомым  частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция

         или

Частное решение (9), характеризующее собственно вы­нужденные колебания, было получено в предположении, что , т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же , то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде

                                               (11)

Частное решение следует искать в форме

,

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

откуда получаем , , и следовательно, частное решение имеет вид

Общее решение в этом случае

                                          (12)

Найдем   и   подставим  в  выражения  х и   значение t=0; получим

    или

Из последних двух равенств находим

,        

         откуда

Перепишем общее решение так:

тогда искомое  частное  решение, удовлетворяющее задан­ным начальным условиям, запишется в виде.

Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужден­ных колебаний  в этом случае может стать неогра­ниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших ампли­туд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с часто­той собственных колебаний.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда  может быть очень большой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания колебаний с значительной ампли­тудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе слу­чаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).

Вынужденные колебания с уче­том сопротивления среды.

 Найдем закон движе­ния груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопро­тивления среды, пропорционального скорости движения.

Решение

Как и выше, имеем

или положив, и

                                            (13)

Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е. . При этом общее решение однородного урав­нения имеет вид (5):

где . Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде

Имеем:

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

Так как

         то

 и

и мы находим частное решение

Преобразуем выражение  следующим образом:
    .

Обозначив

                       (14)

перепишем  виде

                                                     (15)

Выражение

                                                    (16)

носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в пре­дыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):

                                      (17)

Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом , довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как .  Она отли­чается от q множителем

                                            (18)

характеризующим  зависимость  амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.

Определим максимум этой амплитуды. Для этого най­дем производную функции (18)

Положив , получим уравнение  (случай р = 0  отбрасывается  как  невозможный),  корень которого дает частоту внешних сил:

                                                (19)

Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.

Решение   (15)   существует   всегда,   когда

В случае получаем p=k и n= 0, и уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).