Механические колебания в дифференциальных уравнениях
Министерство образования Российской Федерации
Магнитогорский государственный технический университет
им. Г.И. Носова
РЕФЕРАТ
на тему:
“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”
Выполнил: студент гр. МХТ-02
Казаков Василий Васильевич
Проверила:
Абрамова Ирина Михайловна
Магнитогорск 2003
Содержание
1) Гармонические колебания
2) Затухающие колебания
3) Вынужденные колебания без
учета сопротивления среды
4) Вынужденные колебания с
учетом сопротивления среды
Колебаниями называются процессы,
которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные
процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника
часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника
изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются
напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако
различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и
одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
Гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называются
колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса
(косинуса).
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной
пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем
отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и
сопротивлением воздуха.
Решение
Направим ось Ох вниз по вертикальной
прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в
положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза
уравновешивается силой натяжения пружины.
Пусть
l означает удлинение пружины в
данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой
пружины до положения равновесия. Тогда l=lст+х, или l-lст=х.
Дифференциальное уравнение получим из
второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения
и F—равнодей-ствующая приложенных к
грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины
и силы тяжести.
По закону Гука сила натяжения
пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности
называемый жесткостью пружины.
Так как в положении равновесия сила равновесия
сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное
уравнение выражение Р и заменим l-lст через х, получится уравнение в виде:
или, обозначив с/m через k2,
(1)
Полученное уравнение определяет так
называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического
осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет мнимые корни , соответственно этому общее
решение
Для выяснения физического смысла
решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные.
Умножив и разделив на ,
получим:
Если положить
(2)
График гармонических колебаний имеет вид:
Таким образом, груз совершает гармонические колебания около
положения равновесия.
Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент
— фазой колебания.
Значение фазы при t=o т.e. величина , называется начальной
фазой колебания. Величина есть частота колебания. Период колебания
и
частота k зависят только
от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода
можно получить также формулу:
Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:
Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать
начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение
груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда , откуда
,
Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от
частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния
системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0,
а начальная фаза a=p/2 и, таким
образом,
или
Затухающие колебания.
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых
из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени
уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с
учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.
Решение
К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила
сопротивления воздуха (знак минус
показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное
уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид
или если положить , , то
(3)
Это уравнение также является линейным однородным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
имеет корни
(4)
Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны
три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место,
когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно
записать в виде
или, преобразовав, умножая и деля на , получим:
положим, что
,
тогда
(5)
График зависимости отклонения от положения равновесия
от времени имеет вид:
Если заданы начальные условия: при
t = 0, то можно
определить А и a. Для этого находим
и
подставляем t = 0 в выражения для и получим систему уравнений
Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части
первого получим
откуда
или а
Так как
то
Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно,
амплитуда колебания зависит от времени и является монотонно
убывающей функцией, причем при .
Период затухающих колебаний определяется по формуле
Частота колебаний в этом случае меньше,
нежели в предыдущем (),
но, как и там, не зависит от начального положения груза.
Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни
(4) в виде Так как , то оба корня отрицательны.
Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
(6)
Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет
колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее
решение имеет вид
(7)
Легко заметить, что в обоих последних случаях
при имеем .
Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим
,
и, следовательно
В случае
же, когда , получаем , и следовательно,
Вынужденные колебания без учета
сопротивления среды.
Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней
периодической возмущающей силой.
Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина
которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая
сила где Q и р — постоянные.
Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.
Решение
Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
Полагая,
как и прежде, и,
кроме того, перепишем
уравнение в виде
(8)
Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8),
является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить,
что , то
частное решение х, нужно искать в виде , где М и N — коэффициенты,
подлежащие определению. Итак,
Производя вычисления, получаем
откуда
М=0 и Полученное
таким образом частное решение
(9)
определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей
силой .
Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с
ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются
на p, если k<p, т. е. если N<0.
Закон движения представляется общим решением
. (10)
Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые
определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2),
обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой
груза.
Если заданы начальные условия: и , то можно определить произвольные постоянные А
и u. Для этого продифференцируем функцию
(10):
и подставим в выражения х и значение
аргумента t = 0; получим
систему уравнений относительно A и a:
Преобразуем её
так:
возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим.
Тогда
Для нахождения a разделим обе части
первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим
откуда
при этом ,
Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным
начальным условиям, является функция
или
Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные
колебания, было получено в предположении, что , т. е. что частота внешней силы не совпадает
с частотой собственных колебаний. Если же , то дело будет обстоять совсем иначе.
Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде
(11)
Частное решение следует искать в форме
,
где М и N — коэффициенты, подлежащие определению.
Итак,
откуда получаем , , и следовательно, частное решение имеет вид
Общее решение в этом случае
(12)
Найдем и подставим в выражения х и значение t=0; получим
или
Из последних двух равенств находим
,
откуда
Перепишем общее решение так:
тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям, запишется в виде.
Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний в этом случае может стать
неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь
угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом.
Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы
совпадает с частотой собственных колебаний.
Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не
является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что
при близости частот амплитуда может быть очень большой, хотя и
ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания колебаний с
значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в
радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появление больших
амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций
(скажем, мостов или перекрытий).
Вынужденные колебания с учетом
сопротивления среды.
Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с
учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения.
Решение
Как и выше, имеем
или положив,
и
(13)
Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение
(3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление
среды невелико, т. е. . При этом общее решение однородного уравнения
имеет вид (5):
где . Это решение
определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания
вынужденных колебаний ищем частное решение в виде
Имеем:
Сравнивая коэффициенты, получаем систему
Так как
то
и
и мы находим частное решение
Преобразуем выражение следующим образом:
.
Обозначив
(14)
перепишем виде
(15)
Выражение
(16)
носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей
задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно
вынужденных колебаний (15):
(17)
Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие
колебания, которые, особенно при большом , довольно скоро становятся мало ощутимыми.
Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от
времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как . Она отличается
от q множителем
(18)
характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты
возмущающей силы.
Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную
функции (18)
Положив ,
получим уравнение (случай р = 0 отбрасывается как
невозможный), корень которого дает частоту внешних сил:
(19)
Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем
меньше п. При малых п частота р близка к частоте
собственных колебаний k.
Решение (15) существует всегда, когда
В случае получаем p=k и n= 0, и уравнение
(13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса,
при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).