Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
Равномерная непрерывность
Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Пояснение: Пусть: . Тогда: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно
непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема
на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема
на нём.
Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и
если можно указать конечное
число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на .
Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и .
Существование
первообразной
Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , ,
тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом,
аналогично функция -
интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку -
одна из первообразных , то
по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и
неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
Теорема. Если 1. Функция и
ее производная непрерывны
при
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. , то =.
Док-во: Пусть
F(x) есть первообразная для f(x) на
отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле
Ньютона-Лейбница имеем
=.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1.
при вычислении опред.
интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2.
часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3.
не следует забывать менять
пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование
заменой переменной.
а). Метод подведения
под знак дифференциала
Пусть требуется
вычислить интеграл .
Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и
последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется
вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой:
, где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на -
взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и
последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
, откуда: .
Интегрирование по
частям. Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива
формула: , или короче: . Эта формула используется в тех
случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить .
Положим . Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: .
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается
зависимость: . Откуда можно
получить выражение для первообразной: .
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
1).
|
2).
|
3).
|
т.е. все задачи
сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть
, тогда, если: , где , то Из
этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции
необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10. .
|
Интегрирования
дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: , получим: .
тогда
a). Подстановки
Эйлера.
1). Корни многочлена - комплексные, сделав
подстановку: , получим: .
2). Корни многочлена - действительные: . Подстановка: , получаем: .
b). Подстановка: , далее, если:
1). подстановка -
|
2). подстановка -
|
3). подстановка -
|
c).
Если подстановка -
Интегрирование функций, рационально
зависящих от тригонометрических
Универсальная
подстановка: , тогда:
подстановка:
или - нечётные: вносим функцию при нечётной степени под
знак дифференциала
Интегрируется по
частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции на , если: .
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .
Замечание 26.1: Если -
одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из
себя полный дифференциал первообразной на ,
т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до
постоянной”.
Св-ва
неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от
неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная
неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность
интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр.
от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной
постоянной:
3. Постоянный
множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a0-постоянная.
4. Неопред. интегр.
от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме
интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность
формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную
производную.
Табличные интегралы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определённый
интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”)
назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .
Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если
существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .
Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но
недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле
(ограничена, но неинтегрируема).
Критерий
интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором
отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие: .
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно
существованию определённого интеграла.
Свойства
определённого интеграла
1. Если с –
постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с
можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x)
интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их
сумма и разность
,
3. Если , то:
4. Если функция f(x)
интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку
равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью
определенного интеграла.
Сравнение
определённых интегралов
Если - интегрируема на и ,
то: .
Если - интегрируема на и ,
то:
Неравенство м\у
непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если - интегрируемы на и почти для всех , то:
Модуль определенного
интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если - интегрируема на , то - также интегрируема на (обратное неверно), причём:
Теорема о среднем значении
Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что .
Док-во: По формуле
Ньютона-Лейбница имеем
, где F’(x)=f(x).
Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном
приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Эта теорема при f(x)0 имеет простой геометрич.
смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f(с) и
основанием b-a.
Число наз-ся
средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
Формула Ньютона-Лейбница
Если - первообразная непрерывной функции на , то:.
Док-во: Рассмотрим
тождество
Преобразуем каждую
разность в скобках по формуле Лагранжа
. Получим т.е. , где есть нек-рая точка интервала. Т.к. функция y=f(x)
непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной
суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].
Переходя к пределу
при , получаем F(b)-F(a)=
=,
т.е. .
интеграл с переменным верхним пределом
Если изменять,
например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то
величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным
верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.
Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна
подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим
пределом, т.е.
.
Док-во: По формуле
Ньютона-Лейбница имеем:.
Следовательно,
=.
Это значит, что
определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных
подынтегральной функции.