Центр момент 1
|
0,00
|
Центр момент 2
|
63,94
|
Центр момент 3
|
-2,85
|
Центр момент 4
|
12123,03
|
Выборочная дисперсия S^2 равна
центральному моменту второго порядка:
В нашем примере:
S^2= 63,94
Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:
В нашем примере:
S=
7,996
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по
формулам
Ac
= m3/ S^3;
В нашем примере:
Ас =-0,00557
Ek
= m4/ S^4 -3;
В нашем примере:
Ek
= -0,03442
Медиана Ме - значение признака x (e),
приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n=
2l) медианой Ме является средняя
арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=( x(e) + x( e+1) /2
Если исходить из интервального ряда, то медиану
следует вычислять по ормуле
Me=
a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me
где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) -
интервала, редшествующего медианому.
В нашем примере:
Me=751,646
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению
признака , которому соответствует наибольшая частота.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить
по формуле
Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m(
mo+1)
где мо означает номер модального интервала ( интервала с
наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и
следующего за ним интервалов.
В нашем примере:
Mo
= 751,49476
Так как Хср, Mo Me почти
не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое
распределение нормальным.
Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100 %= 3.06%
В нашем примере:
Vs= 1,06%
3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
Графическое изображение
вариационных рядов
Для визуального подбора теоретического распределения,
а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S)
вариационные ряды изображают графически.
Полигон и кумулята применяются для изображения как
дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только
интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды
распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)
Wi=mi/n,
накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h,
заполнив таблицу 1.4.
Интервалы xi Wi Whi Wi/h
Ai-bi
1 2 3 4 5
4,97-5,08
5,03 0,02 0.02 0,18
5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27
5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09
5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73
5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64
5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64
5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18
5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36
- 1,00 -
|
Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси
абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим
прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного
i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть
равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме
всех носительных частот, т.е. единице.
Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если
середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.
4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и
полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.
4 Анализ графиков и выводы
Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой
плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной
совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе
распределения.
Для построения кумуляты дискретного ряда по оси
абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат – накопленные относительные
частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают
интервалы .
С кумулятой сопоставляется график интегральной функции
распределения F(x).
В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не
намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным
(Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного
распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о
том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной,
имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую
нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть
гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек
является нормальным.
Приечание: Кумулята, гистронрамма и
полигон находятся в приложениях к работе.
5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического
нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и
кумуляты соответственно.
Расчет теоретической
нормальной кривой распределения
Приведем один из способов расчета теоретического
нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S
эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот m^тi за
оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения
соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.
Теоретические частоты находят
по формуле: M^i=npi,
где n – объем; Pi – величина попадания значения нормально
распределенной случайной величины в i-й интервал.
Вероятность Pi определяется
по формуле
Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],
Где Ф(t)=2\
2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx - интегральная функция Лапласа –
находится по таблице для
T2i=bi-x ср.\
S
T1i=ai-x
ср.\S
Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой
распределения
Интервалы
|
Mi
|
T1
|
T2
|
1/2Ф(T1)
|
1/2Ф(T2)
|
Pi
|
a(i)
|
b(i)
|
|
|
|
|
|
|
730,644
|
735,356
|
2
|
-2,640
|
-2,051
|
0,4958
|
0,4798
|
-0,0080
|
735,356
|
740,068
|
8
|
-2,051
|
-1,461
|
0,4798
|
0,4279
|
-0,0260
|
740,068
|
744,780
|
6
|
-1,461
|
-0,872
|
0,4279
|
0,3078
|
-0,0601
|
744,780
|
749,492
|
18
|
-0,872
|
-0,283
|
0,3078
|
1,1103
|
0,4013
|
749,492
|
754,204
|
35
|
-0,283
|
0,306
|
0,0300
|
0,6619
|
0,3160
|
754,204
|
758,916
|
12
|
0,306
|
0,896
|
0,1179
|
0,3133
|
0,0977
|
758,916
|
763,628
|
11
|
0,896
|
1,485
|
0,3133
|
0,4306
|
0,0587
|
763,628
|
768,340
|
6
|
1,485
|
2,074
|
0,4306
|
0,4808
|
0,0251
|
768,340
|
773,052
|
2
|
2,074
|
2,664
|
0,4808
|
0,4960
|
0,0076
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi*n
|
Mi(теор)
|
Mi(теор)/h
|
Mi(теор)накоп
|
|
|
|
1
|
0,002
|
0,0080
|
|
|
|
|
-2,5950
|
3
|
0,006
|
0,0340
|
|
|
|
|
-6,0050
|
6
|
0,013
|
0,0940
|
|
|
|
|
40,1250
|
40
|
0,085
|
0,4953
|
|
|
|
|
31,5950
|
32
|
0,068
|
0,8153
|
|
|
|
|
9,7700
|
10
|
0,021
|
0,9130
|
|
|
|
|
5,8650
|
6
|
0,012
|
0,9716
|
|
|
|
|
2,5100
|
3
|
0,005
|
0,9967
|
|
|
|
|
0,7600
|
1
|
0,002
|
1,0000
|
|
|
|
|
|
100
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно
показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.
Примечание: Построенные графики находятся в приложениях
к работе.
6* Проверить гипотезу
о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).
Проверка гипотез о нормальном
законе распределения
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда
распределения нормальному закону используют критерий X^2,
основанный на сравнении эмпирических частот mi
с теоретическими m^тi,
которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия,
полученное по результатам наблюдений, равно
к
F^2набл.=
(mi-m^тi)
I=1 m^i
Где к – число интервалов (после объединения). M^i – теоретические
частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2,
сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6.
Вычисление критерия X^2 при
проверке нормальности продолжительности горения электролампочек
Интервалы
|
Mi(Практ)
|
Mi(теор)
|
(Mi-Mi(теор))^2
|
…../Mi(теор)
|
a(i)
|
b(i)
|
|
|
|
|
730,644
|
735,356
|
2
|
2
|
9
|
1,29
|
735,356
|
740,068
|
8
|
5
|
|
|
740,068
|
744,780
|
6
|
13
|
49
|
3,88
|
744,780
|
749,492
|
18
|
21
|
9
|
0,43
|
749,492
|
754,204
|
35
|
25
|
100
|
4,01
|
754,204
|
758,916
|
12
|
21
|
81
|
3,89
|
758,916
|
763,628
|
11
|
12
|
1
|
0,08
|
763,628
|
768,340
|
6
|
5
|
1
|
0,14
|
768,340
|
773,052
|
2
|
2
|
|
|
|
|
|
|
X^2набл
|
13,71
|
Правило проверки гипотезы заключается в следующем.
Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа
для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.
Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе
распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном
законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a.
Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число
интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9
Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о
нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать
вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек является
нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.