Стохастическая диффузионная модель гетерогенных популяций
Тема дипломной работы: «Стохастическая
диффузионная модель гетерогенных популяций»
Во многих работах были рассмотрены
модели, описывающие процессы размножения и гибели в больших однородных
популяциях.
В данной
работе мы на основе модели и её компьютерной реализации мы исследуем
развитие и взаимодействие двух популяций клеток в условиях резкого изменения
параметров окружающей среды. Эволюцию популяций рассматриваем в терминах
процессов размножения и гибели в случайной среде функционального типа.
2.1
Построение
модели окружающей среды
В качестве
параметра окружающей среды мы рассматривали температуру.
Пусть процесс
- процесс со
скачками, значения которого имеют смысл средней температуры, т.е. определяют климат.
Траектории процесса представляют
собой кусочно-постоянные функции и в любой момент времени t процесс может принимать одно из
трёх значений: ,
что соответствует ледниковому, нормальному и тропическому климату. Процесс имеет длинные интервалы
постоянства, что означает стабильность климата. Скачок процесса определяет смену климата.
Описанный
процесс может быть представлен в виде:
(1)
где константа , и независимые пуассоновские процессы с
интенсивностью скачков .
процесс представляет текущие
значения температуры среды, в которой происходит развитие популяций:
,
(2)
где из (1), - стандартный винеровский
процесс, -
коэффициент диффузии. Наличие отрицательной обратной связи с параметром , не позволяет значениям
процесса ²отходить далеко²
от значений процесса ,
т.е. после скачка (изменения
средней температуры), включается механизм обратной связи и значения процесса сразу следуют за изменением
значения процесса .
Интервал разброса значений процесса относительно значений процесса определяется параметрами
и . Он равен (равно 1, если ) т.е. вероятность, что процесс выйдет из интервала мала)
2.2
Описание процессов эволюции популяций
Полагаем, что
в построенных климатических условиях развиваются две популяции клеток и .
Каждую
популяцию мы
разобьём на множество групп следующим образом: интервал возможных температур разобьём на подинтервалов длиной , т.е. . Каждому подинтервалу температур
присвоим номер , . - -ая группа популяции , для которой температура из
соответствующего подинтервала является благоприятной для развития, т.е. если
текущая температура окружающей среды находится в -ом подинтервале, то интенсивность смерти
клеток в группе снижается.
Процессы - определяют число клеток в группе
(3)
Деление
клетки в группе определяется
скачком точечного процесса , с компенсатором : (4)
Гибель клетки в группе определяется скачком точечного процесса с компенсатором : , (5)
где – неотрицательная,
симметричная и монотонная на интервалах и функция.
Предположим, что
возможны следующие ситуации при делении клетки группы :
2.
с вероятностью могут образоваться две
клетки в группе ,
3.
с вероятностью могут образоваться две
клетки в группе ,
4.
с вероятностью могут образоваться две
клетки в группе ,
Для описания процессов развития в группах введем , ,-
последовательности независимых случайных величин с распределением: "t³0, l=(1,
2, 3, 4).
Теперь
численность клеток в группе в каждый момент времени опишем следующим
образом:
+,
(6)
начальная
численность группы -
константа.
При
моделировании развития популяций рассматривали процесс :
,
(7)
значения которого
имеют смысл средней температуры благоприятной для популяции и выражают степень
её адаптации к климату (чем меньше величина ½½, тем больше популяция i приспособлена
к климату).
3
Выбор
параметров моделирования.
Выберем параметры интенсивности деления и гибели клеток популяции N1
таким образом, чтобы численность возрастала при нормальном климате и
уменьшалась при его изменении, для второй популяции N 2 выберем
параметры таким образом, чтобы численность клеток уменьшалась
даже при нормальном климате.
Вектора переходных вероятностей определим исходя из следующих соображений: для
первой популяции в случае отсутствия взаимодействия положим , что характеризует
популяцию слабой степенью приспосабливаемости к изменению окружающей среды
(т.е. вероятности перехода и клетки при делении из группы в соседние группы и относительно малы). В случае
взаимодействия популяций . Для второй популяции определим вектора
переходных вероятностей как и соответственно при наличии и отсутствии
мутаций между популяциями. Такие значения соответствуют высокой степени приспосабливаемости
популяции к изменению окружающей среды.
4 Компьютерное моделирование.
Основной
вопрос: как влияет взаимодействие видов (мутация) на динамику численности
популяций.
Сначала
рассматривали динамику популяций и фиксировали их характеристики при условии,
что они не взаимодействуют, затем при тех же параметрах окружающей среды
рассматривали их эволюцию при условии, что возможны мутации клеток из одной
популяции в другую.
Развитие без мутаций : Среднее время гибели первой популяции составляет
223.74, второй популяции – 59.35 (усреднение производилось по результатам
наблюдения 100 реализаций процессов динамики численности популяций ).
Развитие с
мутациями :Среднее время гибели второй популяции составляет 143.21.Первая
популяция достаточно хорошо приспособилась к новому климату, что и позволило
ей выжить и далее нормально развиваться.
Результаты
компьютерного моделирования показали, что в данной модели эволюции гетерогенных
популяций взаимодействие видов благоприятно сказывается на продолжительность
жизни популяций при резком изменении климата.
5
Диффузионная аппроксимация.
При большом количестве клеток в популяциях интенсивности размножения
и гибели очень велики. В этом случае моделирование точечных процессов,
описывающих динамику численности оказывается очень трудным. Трудности связаны с
экспоненциальным увеличением времени счета и с компьютерными генераторами
случайных чисел. Поэтому была построена диффузионная аппроксимация процессов
эволюции популяций при ,
где - начальная
численность, в случае отсутствия взаимодействия между популяциями.