Билеты по аналитической геометрии
ЛИНЕЙНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система
векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной
размерности.
Определение: система векторов (1) называется
линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том
случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0
и ÎR
Определение: система векторов (1) называется
линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1.
Если система векторов
содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.
Если система векторов
содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3.
Если система векторов
линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
4.
Если система векторов
содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов,
то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если
они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если
они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое
действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были
линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то
b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1
свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению.
Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0,
a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора
на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были
линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость.
Дано: a, b, c –
линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к.
векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0,
g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b,
c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ
ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение:
пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах.
совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов
на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса
множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов
в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная
(декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно
перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная
(декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно
перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед.
на осях.
СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов
называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u,
u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1.
(а,b)= (b,а)
2.
(aа,b)= a
(а,b)
3.
(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4.
(а,а)=|a|2 –
скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда
скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его
скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется
ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор
нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений
соответствующих координат.
Найдем формулу угла
между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b
обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1.
|c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1.
[a,b]= - [b,a]
2.
[aа,b]= a
[а,b]
3.
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4.
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна
площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого
требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в
ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю
третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй –
координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины
имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2.
Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5.
Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой.
7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1.
Ах+By+C=0 (1), где A, B
одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и
получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0,
n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном
равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M
ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным
вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0
и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую,
тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и
т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии
(1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0
– проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0,
значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0,
значит х=0
4. А=0, By+C=0,
паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0,
паралл. OY
2.
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и
b
3.
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой
задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв.
точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4.
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны
две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2).
Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1;
y2-y1)
5.
y=kb+b.
u – угол наклона
прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в
каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим
x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при
y1-kx1=b, y=kx+b
6.
xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n.
|n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм.
виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти
нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1
и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до
прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным
напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n.
|n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ.
Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2.
ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм.
виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения
определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t=
- sign C
Что бы найти
нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d –
расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если
нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну
сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение
точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0)
до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний
от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная
Каноническое
уравнение:
Будем считать, что
фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат.
|F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1,
r2 – расстояния от М до фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.
Каноническое
уравнение:
Пусть фокус параболы
находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем
они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.
|DF|=p, М –
произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2);
d=p/2+x
Приравниваем и
получаем:
y2=2px -
каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И
ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение:
эксцентриситет – величина равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к.
а>c)
е гиперболы >1
(т.к. с>a)
Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим
эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является
мерой его «вытянутости»
е гиперболы
характеризует угол раствора между асимптотами
2. Директрисой D
эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная
в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и
отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)
D1: x= -
a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е
– для эллипса
р=а(е2-1)/е
– для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ
ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина
постоянная равная е эллипса (гиперболы).
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 –
расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм
(минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)
Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от
которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина
постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу,
если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс,
парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус
этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось
совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса,
параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К
КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в
каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0)
– точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим
касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение касательной к эллипсу.
- уравнение касательной к
гиперболе.
- уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на
плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две
прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные
скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1;е1’)=cos
u
(е1;е2’)=cos
(90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos
(90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos
u
Базис рассматривается
ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1,
a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)=
(е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)=
a12
(е2;е2’)=
a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u -
формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы
параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго
порядка относительно преобразования системы координат являются следующие
величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3
величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 –
элиптический тип
I2<0 –
гиперболический тип
I2=0 –
параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО
ПОРЯДКА.
Пусть задана на
плоскости линия уравнением (1).
Параллельный
перенос:
Параллельно перенесем
систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’
преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из
условия: a13’=0 и a23’=0.
Покажем, что новое
начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой:
f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’
существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.
Точка O’ –
единственная точка.
Центр симметрии
кривой существует если I2¹0
т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY
повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с
x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u), получим:
, после такого преобразования
уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ
ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0
и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет:
1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0
– ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть
после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0,
I1>0, I3<0, тогда
а11’’x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
I2=a11’’a22’’
> 0
I1= a11’’+a22’’
> 0
a11’’ >
0; a22’’ > 0
Итак, под корнями
стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.
2. I3>0
в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение
не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в
данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0
– пару пересекающихся прямых.
Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’
< 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
В данном случае мы
имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
В этом случае мы
имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго
порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения:
u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор (a, b)
координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором
асимптотического направления заданной кривой.
(a, b)
– вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’)
параллельный (a, b):
следовательно . Дробь a/b
характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления
имеют кривые 2-го порядка.
Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0
из этого квадратного уравнения найдем a/b.
т.к. у линий
гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют асимптотические направления.
Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он
имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем
асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a,b)
(a, b)2=(-a,b)
Векторы
асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет
два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем
асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0,
y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор
асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е.
прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след.
асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но
асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано
трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат
задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости,
задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный
вектор плоскости.
2. Уравнение
плоскости в отрезках:
3. Уравнение
плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0).
Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5.
Уравнение плоскости ч/з 3
точки.
Пусть известны три
точки не принадл. одной прямой.
Пусть М(x;y;z) –
произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы
компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6.
Параметрическое ур-е
плоскости.
Пусть плоскость
определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3);
U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0),
тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s
и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ
ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между
плоскостями: пусть заданы две
плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2).
Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными
векторами.
Пучки и связки
плоскостей.
Определение: пучком плоскостей называется совокупность
плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.
Что бы задать пучок
плоскостей д.б. определены две плоскости
Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями:
A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0,
тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: a(A1x+B1y+C1z+D1)+b(A2x+B2y+C2z+D2),
где a и b
принадлежат R и не равны нулю одновременно.
Определение: связкой плоскостей называется совокупность
плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.
Условия для плоскостей:
1. n1
параллелен n2 - параллельности.
2. A1A2+B1B2+C1C2=0
– перпендикулярности.
3. пересечения трех
плоскостей в одной точке:
Пусть заданы три
плоскости: система: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0; A3x+B3y+C3z+D3=0
Данная система должна
иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф.
при каждом не равен 0.