Сфера

Сфера

Сфера и шар

Работа ученика 11 класса

средней школы №1906

юго-западного округа

г.Москвы

Кашина Виталия.

Сфера и шар.

   Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, уда­лённых от данной точки на данном расстоянии.

   Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

   Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диамет­ром сферы.

   Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на расстоянии не большем данного от данной точки

(или фигура, ограниченная сферой).

Уравнение сферы.

след. MC=  т.к. MC=R, то

  если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М

не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид :

Взаимное расположение сферы и плоскости.

  d - расстояние от центра сферы до плоскости.

след. C(0;0;d), поэтому  сфера имеет уравнение  

плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

след. возможны 3 решения системы :

   1)   d<R  ,   d^2<R^2   ,   x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0

   уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность C(0;0;0)    и     r^2=R^2 - d^2

   2)  d=R   ,   x^2 + y^2 =0  ,  x=y=0  след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)

   3) d>R  ,  d^2>R^2     R^2 - d^2 < 0

Касательная плоскость к сфере.

   Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой ка­сания плоскости и сферы.

   Теорема:

  Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

   Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

   Теорема:

  Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

   Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендику­ляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому рас­стояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

   Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник  называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

   Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно увеличивать  n   таким образом, чтобы  наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R : 

S=4ПR^2