Динамическое представление данных
Р Е Ф Е Р А Т
на
тему :
“ Динамическое представление сигналов “
Слушателя
727 группы Зазимко С.А.
Динамическое представление сигналов.
Многие задачи радиотехники требуют
специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо
располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет
себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП
ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов
заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых
элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в
пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым
развивающийся во времени характер процесса.
Широкое применение нашли два способа динамического
представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует
ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени D (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению
сигнала на интервале времени D.
При втором способе элементарными сигналами служат
прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и
образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис.
1.2).
рис 1.1 рис
1.2
Рассмотрим свойства элементарного сигнала,
используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ .
Допустим
имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
ì 0, t
< -x,
u(t)= í 0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)
î 1, t
> x.
ì 0, t < 0,
s(t) = í 0.5, t
= 0,
(2)
î 1, t > 0.
В общем случае функция включения может быть смещена
относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной
функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t - t0) = í 0.5, t = t0, (3)
î 1, t > t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности
скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} -
последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...}
- отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0)
- начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t приближенно
равно сумме ступенчатых функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(tkD).
k=1
·
Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала
превращаются в дифференциалы ds = (ds/dt) dt , и мы получаем формулу динамического представления
произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0 s(t)+ ô s(t-t) dt (4)
õ dt
0
Переходя ко второму способу динамического представления
сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести
новое важное понятие.
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный
следующим образом :
u(t;x) = ----- ê s (t
+ ---- ) - s (t - ---- ) ÷ (5)
x ë 2 2 û
При любом выборе параметра x площадь этого импульса равна единице :
¥
П
= ò u dt = 1
- ¥
Например, если u - напряжение, то П
= 1 В*с.
Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс,
сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна
неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит
название дельта-функции , или функции Дирака :
d(t) = lim u (t;x)
x®0
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала
суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления
исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных
слагаемых :
¥
S(t) = å h (t)
(7)
k= - ¥ k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а
именно тот, что удовлетворяет условию для t :
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя к пределу при D ® 0 ,
необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку
1
lim
[ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим искомую формулу динамического представления сигнала
¥
S(t)
= ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак,
если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение
проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной
функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом
состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[1]
Обобщенные
функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t)
должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако
рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение
при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической
модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое
понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное
соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся
изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на
всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt
(8)
-
¥
при известной
функции j(t) , которую называют пробной функцией.
(¦,
aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то
говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) [2]. Следует сказать, что данную
функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих
интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями,
обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции
можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных
функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе
созданы математические методы изучения процессов, для которых средства
классического анализа оказываются недостаточными.
[1] Отсюда вытекает структурная схема систем,
осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t).
Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
[2] Обобщенные функции иногда называют также
распределениями.