Парный регрессионный анализ

Парный регрессионный анализ

МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ

КАЗАХСТАН

СЕВЕРО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М. КОЗЫБАЕВА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

ВАРИАНТ №13

НА ТЕМУ: ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: ЭКОНОМЕТРИКА

Петропавловск, 2008год

СОДЕРЖАНИЕ

1. ОПИСАНИЕ ЗАДАНИЯ

2. ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Построение линейной регрессионной модели

Построение степенной регрессионной модели

3. Сравнительный анализ расчетов, произведенных с помощью формул Excel и с использованием «Пакета анализа»

1. ОПИСАНИЕ ЗАДАНИЯ

На основании данных нижеприведенной таблицы построить линейное и степенное уравнения регрессии.

Для построенных уравнений вычислить:

1) коэффициент корреляции;

2) коэффициент детерминации;

3) дисперсионное отношение Фишера;

4) стандартные ошибки коэффициентов регрессии;

5) t — статистики Стьюдента;

6) доверительные границы коэффициентов регрессии;

7) усредненное значение коэффициента эластичности;

8) среднюю ошибку аппроксимации.

На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Дать содержательную интерпретацию коэффициента регрессии построенной модели. Все расчеты провести в Excel с использованием формул и с помощью «Пакета анализа». Результаты, полученные по формулам и с помощью «Пакета анализа», сравнить между собой.

По нижеприведенным данным исследуются данные по среднедневной заработной плате yi, (усл.ед.) и среднедушевому прожиточному минимуму в день одного трудоспособного xi, (усл.ед.):

Yi

132

156

143

138

144

155

136

159

127

159

127

136

149

156

Xi

84

96

89

80

86

91

102

83

115

72

86

95

100

Yi

141

162

148

155

171

157

130

158

136

142

144

130

157

145

Xi

91

96

77

82

108

102

88

97

81

97

88

76

94

91

Yi

125

138

145

171

127

133

164

134

Xi

76

85

102

115

72

86

100

76

а) Выполнить прогноз заработной платы yi при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума xi, составляющем 117% от среднего уровня.

б) Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

2   ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

 Построение линейной регрессионной модели

Линейное уравнение регрессии:

 ,

где

Чтобы рассчитать значения ,  мы добавляем к таблице дополнительные столбцы x*y, х², рассчитываем их общую сумму по 36 регионам и их среднее значение.

При вычислении b₁ и b₀ получены результаты:

b₁ = 0,991521606,

b₀ = 54,33774319

Значит линейное уравнение регрессии примет вид:

= 54,33774319 + 0,991521606x

Зная линейное уравнение регрессии, заполняем соответствующую колонку для каждого из регионов. В результате мы можем посчитать общую сумму для 36 регионов. Она равна 2320 (усл.ед.). Эта сумма равна общей сумме y для 36 регионов, т.е. , следовательно, коэффициенты регрессии b₁ и b₀ рассчитаны, верно.

1.   Рассчитаем коэффициент корреляции:

, где

Для этого надо еще добавить в таблицу значения y² и рассчитать общую сумму по 36 регионам и его среднее значение.

При вычислении  и  получены результаты:

=9,765812498

 = 93,87081405

Следовательно, r_xy = 0,103152553. Значит можно сделать вывод, что между х и у, то есть между постоянными расходами и объемом выпускаемой продукции не наблюдается никакой связи.

 Рассчитаем коэффициент детерминации:

D = r²_xy * 100

D = 1,064044912%

Следовательно, величина постоянных расходов только на 1,064044912% объясняется величиной объема выпускаемой продукции.

2.   Рассчитаем дисперсионное отношение Фишера:

, где n – число регионов

Следовательно, n = 36

F _расч = 0,150568403

Найдем F_{табличное}: k₁ = m, m = 1(т.к. на y влияет только один фактор х),

k₂ = n- m-1. Значит k₁ = 1, k₂ = 36-1-1= 34. Находим табличное значение F на пересечении k₁ и k_2. Получаем, что F_{табличное} = 2,145.

Так как F_{расчетное} < F_{табличное} значит уравнение статистически не значимо.

3.   Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

где

Для этого надо еще добавить в таблицу значения y - , (y - )², и рассчитать общую сумму по 36 регионам и их среднее значение.

При вычислении S_ост было получено, что

S_ост = 382,9325409.

Следовательно,

S_b1 = 27,7984546,

S_b0 = 918,3564058

4.   Рассчитаем доверительные границы коэффициентов регрессии:

 , где

t_табл находится по таблице t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степенной свободы равной 34.

Значит t_табл =2,145.

= 1969,87449

= 59,62768512

Следовательно, можно рассчитать доверительные границы коэффициентов регрессии:

Значит можно сделать вывод, что коэффициенты b₁ и b₀ значимы, так как они лежат в этих интервалах, то есть модель адекватна.

5.   Рассчитаем t — статистики Стьюдента:

Получается, что = 0,05916847, = 0,035668228. Значит коэффициент t_b1 не значим, т.к. t_b1 меньше t_табл и t_b0 не значим, так как меньше t_табл, .

Рассчитаем индекс корреляции:

Для этого надо еще добавить в таблицу значения y - , (y - )², и рассчитать общую сумму по 36 регионам и их среднее значение.

В результате получаем, что I_r =0,103152553=r_xy. Следовательно, индекс корреляции и коэффициент корреляции рассчитаны, верно.

6.   Рассчитаем значение коэффициента эластичности:

В результате Э = 0,625256944. Коэффициента эластичности показывает, что на 0,625256944% изменится среднедневная заработная плата (у) при изменении на 1% среднедушевой прожиточный минимум(х).

7.   Оценить качество модели можно с помощью коэффициента аппроксимации:

Для этого надо еще добавить в таблицу значения |(y - )/y| и рассчитать общую сумму по 36 регионам.

В результате получаем, что А = 3,100451368, следовательно, коэффициент аппроксимации не принадлежит интервалу [0,7;1]. Значит можно сделать вывод о том, что модель не качественная.

Рассчитаем точность прогноза:

, где

 х_р= 10698,1875

 =-46434,55

Значит точность прогноза удельных постоянных расходов при прогнозном значении объема выпускаемой продукции, составляющей 119% от среднего уровня составляет 46434.

Рассчитаем ошибку прогноза:

= 6907,6

Значит, ошибка прогноза составляет 6907,6. Вычислим теперь на основе выше рассчитанного доверительный интервал:

 Построение степенной регрессионной модели

Степенное уравнение регрессии имеет следующий вид:

, где

Для этого надо еще добавить в таблицу значения ln_y и x* ln_y , рассчитать общую сумму по 28 предприятиям и их среднее значение.

При вычислении b₁ и b₀ получены результаты:

b₁ = 0, 90

b₀ = 167325, 81

Значит степенное уравнение регрессии примет вид:

1.   Рассчитаем коэффициент корреляции:

Следовательно, r_xy = 0,96. Значит можно сделать вывод, что между Х и у, то есть между постоянными расходами и объемом выпускаемой продукции связь не тесная.

2. Рассчитаем коэффициент детерминации:

D = r²_xy * 100

D =92, 95830 (%)

Следовательно, величина постоянных расходов только на 92, 27 % объясняется величиной объема выпускаемой продукции.

3.   Рассчитаем дисперсионное отношение Фишера:

F _расч = 343,233.

F_табл = 4, 20. (нахождение см. в линейной регрессионной модели)

Так как F_{расчетное} > F_{табличное} значит уравнение статистически значимо.

4. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

 , где

При вычислении S_ост было получено, что

S_ост = 6758,991.

Следовательно,

S_b1 = 316,97

S_b0 = 3563,99.

6. Рассчитаем доверительные границы коэффициентов регрессии:

 , где

_табл находится по таблице t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степенной свободы равной 26.

Значит t_табл = 2,0555.

= 7325,59

= 651,33

Следовательно, можно рассчитать доверительные границы коэффициентов регрессии:

Значит можно сделать вывод, что коэффициенты b₁ и b₀ значимы, так как они лежат в этих интервалах, то есть модель адекватна.

5. Рассчитаем t — статистики Стьюдента:

Получается, что = 33,61, = -18,53. Значит коэффициент t_b1 не значим, т.к. t_b1 меньше t_табл и t_b0 значим, так как больше t_табл, следовательно, один коэффициент t_b0 оказывает воздействие на результативный признак.

Рассчитаем индекс корреляции:

В результате получаем, что I_r = 0,96351 = r_xy. Следовательно, индекс корреляции и коэффициент корреляции рассчитаны, верно.

7.   Рассчитаем значение коэффициента эластичности:

В результате Э = 0,000161736. Коэффициента эластичности показывает, что на 0,000161736 % изменится результат постоянных расходов (у) при изменении на 1% объема выпускаемой продукции (х.).

8.   Оценить качество модели можно с помощью коэффициента аппроксимации:

В результате получаем, что А = 0,341604171, следовательно, коэффициент аппроксимации не принадлежит интервалу [0,7;1]. Значит можно сделать вывод о том, что модель не качественная.

Рассчитаем точность прогноза:

, где

 х_р= 13,5687

 =46432,58

Значит точность прогноза удельных постоянных расходов при прогнозном значении объема выпускаемой продукции, составляющей 142,7% от среднего уровня составляет 168444,9249.

Рассчитаем ошибку прогноза:

= 6947,015806

Значит, ошибка прогноза составляет 6907,6. Вычислим теперь на основе выше рассчитанного доверительный интервал:

3.Сравнительный анализ расчетов, произведенных с помощью формул Excel и с использованием «Пакета анализа»

Если сравнивать между собой результаты, полученные при расчетах линейной и степенной регрессионной модели, то можно выделить следующее:

1.   Значение b₁ в линейной регрессионной модели < b₁ в степенной регрессионной модели, т.е. -5870,33<0,90 на 5871,23

2.   Значение b₀ в линейной регрессионной модели < b₀ в степенной регрессионной модели, т.е 119784,3<167325,81 на 47541,51

3.   r_xy в линейной регрессионной модели >r_xy в степенной регрессионной модели,

4.   т.е 0,964148>0,96056 на 0,003588

5.   D в линейной регрессионной модели < D в степенной регрессионной модели, т.е 92.95825<92, 95830 на 0.00005

6.   F в линейной регрессионной модели > F в степенной регрессионной модели, т.е 310,27>343,233.на 32.963

7.   S_ост в линейной регрессионной модели > S_ост в степенной регрессионной модели, т.е 6758.98>6758,991на 0,011

8.   S_b1 в линейной регрессионной модели < S_b1 в степенной регрессионной модели, т.е 316.87<316,97 на 0,10

9.    S_b0 в линейной регрессионной модели > S_b0 в степенной регрессионной модели, т.е 89,52>89,51 на 0,01.

Так же за счет того, что  в линейной регрессионной модели отличается от  в степенной регрессионной модели доверительные границы коэффициентов регрессий разные, так же различаются и .

1.    в линейной регрессионной модели <  в степенной регрессионной модели, т.е 33,61>40,63 на 7.02

2.     в линейной регрессионной модели < в степенной регрессионной модели, т.е. -18,53<1,18 на 19.71

3.   I_r в линейной регрессионной модели < I_r в степенной регрессионной модели, т.е 0,960563<0,96351 на 0, 002947

4.   Э в линейной регрессионной модели > Э в степенной регрессионной модели, т.е -1,06>0,000161736 на 1.2058

5.   А в линейной регрессионной модели < А в степенной регрессионной модели, т.е 2,83<0,341604 на 2.488396

Из выше сказанного, можно сказать, что практически все значения, полученные в степенной регрессионной модели больше, чем результаты, полученные в ходе вычисления линейной регрессионной модели. Прежде всего, это происходит за счет того, что  в линейной регрессионной модели больше  в степенной регрессионной модели.

При построении графиков исходных данных с теоретической прямой можно сказать, что есть небольшое различие при построении теоретической прямой в линейной регрессионной модели и в степенной регрессионной модели. В степенной регрессионной модели теоретическая прямая немного отклоняется от прямой в линейной регрессионной модели. Так же можно наглядно увидеть, что на промежутке от 900 до 1050 (ед.) наблюдается наибольшая концентрация «наших значений», т.е. на этом промежутке происходит наибольшее пересечение объема выпускаемой продукции с постоянными расходами.