Топологическая определяемость верхних полурешёток
Федеральное агентство по
образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Вятский
государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная
работа
Топологическая определяемость
верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса
математического факультета
Малых
Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат
физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор
физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М.
Вечтомов
Допущена к защите в
государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав.
Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан
факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение
…………………………………………………………………стр. 3
Глава 1
……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества
………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр.
5
3. Дистрибутивные решётки
………………………………………..стр. 8
4. Топологические
пространства……………………………………стр.10
Глава
2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние
полурешётки…………………………………………….стр.11
2.
Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список
литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка
является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе
рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много
информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для
того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной
структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.
В этой работе рассматривается этот
метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной
темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество
простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение: Упорядоченным множеством называется непустое множество, на котором определено
бинарное отношение ,
удовлетворяющее для всех следующим
условиям:
1.Рефлексивность:
.
2.Антисимметричность:
если и , то .
3.Транзитивность:
если и , то .
Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .
Примеры
упорядоченных множеств:
1.Множество целых положительных
чисел, а означает,
что делит .
2.Множество всех действительных
функций на
отрезке и
означает, что для .
Определение: Цепью называется упорядоченное
множество, на котором для имеет место или .
Используя
отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного
упорядоченного множества .
Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой
упорядоченного множества .
Примеры диаграмм
упорядоченных множеств:
2. Решётки
Определение: Верхней гранью подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .
Определение: Точная верхняя грань подмножества упорядоченного множества – это такая его верхняя
грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».
Согласно аксиоме
антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань
существует, то она единственна.
Понятия нижней
грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются
двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного
множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.
Определение: Решёткой называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань,
обозначаемую .
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к.
совпадает с
меньшим, а с
большим из элементов .
2.
Наибольший элемент, то есть
элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества,
обозначают , а
наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного
множества, обозначают .
На решётке можно
рассматривать две бинарные операции:
- сложение и
- произведение
Эти операции
обладают следующими свойствами:
1. , идемпотентность
2. , коммутативность
3. ,
ассоциативность
4. ,
законы
поглощения
Доказательство.
Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1).
Заметим, что оно является следствием свойства (4):
Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что
отношение антисимметрично.
Если и , то применяя свойство (3), получим:
, что доказывает
транзитивность отношения .
Применяя свойства
(3), (1), (2), получим:
,
.
Следовательно, и
Если и , то используя свойства (1) – (3),
имеем:
, т.е.
По определению
точней верхней грани убедимся, что
Из свойств (2),
(4) вытекает, что и
Если и , то по свойствам (3), (4) получим:
Отсюда по
свойствам (2) и (4) следует, что
, т.е.
Таким образом, . ■
Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:
1.
2. .
Аналогично
характеризуется наименьший элемент :
1.
2. .
3.
Дистрибутивные
решётки.
Определение: Решётка называется дистрибутивной,
если для выполняется:
1.
2.
В любой решётке тождества (1) и (2)
равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема: Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной
тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство
этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом
“решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).
Определение: Непустое множество называется идеалом
в решётке , если
выполняются условия:
1.
2.
Определение: Идеал в решётке называется простым, если
или .
Идеал,
порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н].
Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.
Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой
идеалов.
Определение: Решётки и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно
однозначное отображение ,
называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что
,
.
4. Топологические
пространства.
Определение: Топологическое
пространство – это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая
удовлетворяет аксиомам:
1. Пустое множество и само
пространство принадлежит
системе : .
2. Пересечение любого конечного
числа множеств из принадлежит
, т.е. .
3. Объединение любого семейства
множеств из принадлежит
, т.е. .
Таким образом,
топологическое пространство – это пара <, >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и
произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.
Определение: Пространство называется компактным,
если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Подмножество пространства
называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать
конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство
называется -
пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое
множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки.
Определение: Ч.у. множество называется верхней
полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.
Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для
любых включение имеет место тогда и только
тогда, когда .
Определение: Верхняя полурешётка называется дистрибутивной,
если неравенство ≤
(, , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства
дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если <, > - произвольная полурешётка,
то верхняя полурешётка дистрибутивна
тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.
(**). Если верхняя полурешётка
дистрибутивна,
то для любых существует
элемент , такой,
что и . Следовательно, множество является решёткой.
(***). Верхняя полурешётка
дистрибутивна
тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой.
Доказательство.
(*). <, > - дистрибутивна и , то для элементов , , справедливо равенство :
значит, полурешётка <,> - дистрибутивна.
<,> - дистрибутивна. Пусть решётка содержит диамант или
пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка содержит пентагон, . Нужно найти такие
элементы и , чтобы выполнялось
равенство . Но
множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что
<,> - дистрибутивна.
Значит, наше предположение неверно и решётка не содержит пентагона.
2) Пусть решётка содержит диамант, . Аналогично, множество
элементов меньших b или c состоит из элементов {0,b,c}, их нижняя граница не даст a. Значит, решётка не содержит диаманта.
Можно сделать
вывод, что решётка дистрибутивна.
(**). Имеем , поэтому , где (по определению дистрибутивной полурешётки).
Кроме того, является
нижней границей элементов и .
Рассмотрим
идеалы, содержащие элемент и - и . Тогда Ø ,т.к. , нижняя граница элементов a и b, содержится там.
Покажем, что I(L) – решётка, т.е. существуют точные
нижняя и верхняя грани для любых A и B.
Покажем, что совпадает с
пересечением идеалов A и B. Во-первых, - идеал. Действительно, и и Во-вторых, пусть идеал и . Тогда , т.е. - точная нижняя грань идеалов A и B, т.е. .
Теперь покажем,
что совпадает с
пересечением всех идеалов , содержащих A и B. Обозначим . Поскольку для для , то C идеал. По определению C он
будет наименьшим идеалом, содержащим A и B.
(***). Пусть – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем,
что
.
Пусть , т.е. (рис.3), для некоторых
Понятно, что . По дистрибутивности,
существуют такие,
что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .
Доказали, что - идеал. Очевидно, он
является верхней гранью идеалов A и B. Если C содержит A и B, то C
будет содержать элементы для
любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью
идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.
Теперь покажем,
что выполняется равенство:
.
. Пусть , где ,. Т.к. , то , откуда и следовательно . Аналогично, , значит,
. Пусть ,где .
Отсюда следует
дистрибутивность решётки .
– дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы,
образованные этими элементами:
(,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность
полурешётки . ■
2. Стоуново
пространство.
Определение: Подмножество верхней полурешётки называется коидеалом,
если из
неравенства следует
и существует нижняя граница множества , такая, что .
Определение: Идеал полурешётки называется простым, если и множество является коидеалом.
В дальнейшем нам
потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P(A). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <>, то . Тогда X обладает максимальным элементом.
Лемма 2: Пусть – произвольный идеал и – непустой коидеал
дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке существует простой идеал такой, что и .
Доказательство.
Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.
Пусть C – произвольная цепь в X и Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда .
Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D, т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е.
максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D.
Покажем, что P – простой. Для этого достаточно
доказать, что L\P является коидеалом. Пусть L\P и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала.
Следовательно, .
Если , то и пересекающихся с D в силу максимальности P. Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала,
следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P, т.к. в противном случае .
Далее, , поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a и b, не лежащая в P. ■
В дальнейшем,
через будем
обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов
полурешётки .
Множества вида представляют элементы
полурешётки в
ч.у. множестве (т.е.
). Сделаем все
такие множества открытыми в некоторой топологии.
Обозначим через топологическое пространство,
определённое на множестве . Пространство SpecL будем называть стоуновым
пространством полурешётки L.
Лемма 3: Для любого идеала I полурешётки L положим:
Тогда множества вида исчерпывают все открытые
множества в стоуновом пространстве SpecL.
Доказательство.
Нужно проверить выполнение аксиом
топологического пространства.
1) Рассмотрим идеал,
образованный 0. Тогда
,
но 0 лежит в любом идеале, а значит .
2) Возьмём произвольные идеалы и полурешётки и рассмотрим
Пусть . Тогда существуют элементы a и Отсюда следует, что , где L\P – коидеал. По определению коидеала
существует элемент d такой, что и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что .
Обратное включение очевидно.
2) Пусть - произвольное семейство идеалов.
Через обозначим
множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся
представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно.
Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим
произвольное объединение.
■
Лемма 4: Подмножества вида пространства можно охарактеризовать как
компактные открытые множества.
Действительно, если семейство открытых множеств
покрывает множество ,
т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного
подмножества ,
поэтому . Таким образом, множество
компактно.
Пусть открытое множество r(I) компактно, тогда и можно выделить конечное
подпокрытие для
некоторых .
Покажем, что I порождается элементом .
Предположим, что
это не так, и в идеале I
найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [b) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся
простой идеал P содержащий и не пересекающийся с [b). Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным
открытым множеством r(I) будет только в случае, если - главный идеал.■
Предложение 5: Пространство является - пространством.
Доказательство.
Рассмотрим два
различных простых идеала и
Q. Хотя бы один не содержится
в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecL является - пространством. ■
Теорема 6: Стоуново пространство определяет полурешётку с точностью до
изоморфизма.
Доказательство.
Нужно показать,
что две полурешётки и
изоморфны тогда
и только тогда, когда пространства и гомеоморфны.
Очевидно, если решётки изоморфны, то
пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.
Пусть и гомеоморфны () и . Тогда a определяет компактное открытое множество r(a). Множеству r(a) соответствует компактное
открытое множество ,
с однозначно определённым элементом по лемме 4. Таким образом получаем
отображение : , при котором . Покажем, что - изоморфизм решёток. Если
a,b – различные элементы из , то , следовательно, , поэтому и - инъекция.
Для произвольного
открытому
множеству соответствует
и очевидно , что показывает
сюръективность .
Пусть a,b – произвольные элементы из . Заметим, что . Открытому множеству при гомеоморфизме соответствует открытое
множество , а соответствует . Следовательно, =. Поскольку =, то , т.е. ■
Литература.
1. Биргкоф Г. Теория решёток. –
М.:Наука, 1984.
2. Гретцер Г. Общая теория
решёток. – М.: Мир, 1982.
3. Чермных В.В. Полукольца. –
Киров.: ВГПУ, 1997.