Теория теней Беруни
Теория
теней Беруни
(гномоника)
Предисловие
Выдающийся
деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн
Ахмад аль - Беруни, родился 3 -зулхижжи*) 362 хиджры (973 мелодий, 4
сентября) в древнем центре Южного Хорезма в городе Кят (ныне город Беруни).
Из источников
известно, что Беруни с детства отличался любознательностью и жаждой знаний. Он обучался
у знаменитого ученого-энциклопедиста Абу Насра Мансура ибн Ирака, прозванного в
то время Птоломеем. Ярким свидетельством признания учителем таланта и
способностей своего ученика служит то, что Абу Наср ибн Ирак посвятил своему
любимому ученику Беруни 12 научных трудов по астрономии, геометрии и
математике.
В 995 году эмир
Гурганжа Маъмун I ибн Мухаммад Сиявуш захватил
последний оплот династии Афригидов - крепость Кят и объявил себя шахом
объединенного Хорезма. Беспорядки, царившие после этого исторического события
в Хорезме, вынуждают Беруни в возрасте двадцати двух лет покинуть Родину. В
этот период он проживает в городах Ирана Гургане, Рае и здесь же знакомится с
выдающимся ученым Абу Махмудом Хужанди, ведет переписку и научные дискуссии с
Ибн - Сино (Авиценной).
После смерти
Маъмуна I в 998 году и воцарения на
престоле Али ибн Маъмуна политическая ситуация в Хорезме несколько стабилизировалась.
Али ибн Маъмун был правителем, жаждущим знаний, покровительствовал науке и
культуре. Он поручил наставнику Беруни Абу Насру ибн Ираку собрать ученых во
дворце и создать научную атмосферу. По приглашению Ибн Ирака, приблизительно в
конце 1003 - в начале 1004 года, Беруни возвращается в Гурганж, и с этого
момента для него начинается период процветания в науке: он руководит Академией
Маъмуна, готовит учеников, ведет научные исследования в различных областях
науки.
Научная
деятельность Беруни, основное место в которой отводилось математике, физике,
минералогии, этнографии и истории, была многогранной и плодотворной. Его
научные труды, состоящие из 11 книг: «Каноны Маъсуди», «Геодезия»,
«Минералогия» и труды по этнографии «Памятники минувших поколений», «Индия», в
течение многих веков служили для ученых руководством в качестве основного
пособия и не потеряли своей актуальности и в наши дни. В целом, Абу Райхан
Беруни оставил 152 научных исследования. Из этого громадного наследия до нас
дошло всего лишь 30.
Основой создания настоящего
трактата послужило научное наследие Беруни. Отметим, что оно имеет отношение к
одному из разделов математики, называемому геометрией, в нем приводятся
отдельные математические исследования, суждения и дискуссии Беруни. Текст
сопровождается толкованиями и комментариями.
Известно, что
Беруни было свойственно сильно развитое логическое мышление, умение верно
осветить суть вопроса, доказать и довести все это до читателя в доступной форме.
Эти качества Беруни наглядно проиллюстрированы в его трактовке вопросов размера
Земли и расстояния от Земли до Луны и Солнца, в дискуссиях о результатах
предшественников в этой области, а также в трактовке недочетов по данной
проблеме. Все это свидетельствует о том, что Беруни обладал яркими способностями
в области естественных наук.
Время, в котором
жил Беруни, было очень сложным в социально-политическом отношении: захват Кята,
где родился и вырос Беруни, перенесение центра в Ургенч, бродяжничество,
самоуправство, зазнайство и корыстолюбие, которые господствовали в обществе
того времени, не могли не вызвать в душе мыслителя чувства протеста. И,
действительно, они нашли свое отражение в следующих «крылатых» строках Беруни:
«Хотя этот
человек недалек в знаниях, но держит себя высокомерно всезнающим и даже
допускает оскорбление других. Нас разделяют лишь богатство и роскошь, превращающие
гордость в вину бедности.
Богатство уйдет,
знания останутся.
Аллах наказывает
того, кто обижает безобидного ученого человека и радуется содеянному.
Несомненно, алчность
и невежество ведут к произрастанию ростков зла» (аль – Беруни. Осор аль - боšия).
Наш великий
предок Беруни скончался в 440 году хиджры, то есть 13 декабря 1048 года мелодий
в возрасте 75 лет в городе Газна. В книге «Номойи донишворон» («Письма
учёных»), опубликованной в Тегеране (1878), о последних мгновеньях жизни
учёного рассказывается: «Беруни был тяжело болен, он доживал свои последние
дни. Как-то, когда он на какой–то миг пришёл в себя, его взгляд упал на друга,
учёного Абулхасана Валвалижи, тогда Беруни попросил друга растолковать ему
новые положения о наследстве. Абулхасан ответил, что для этого сейчас ещё не
время. Посмотрев на друга, Беруни сказал: «О, мой великий друг, каждый, кто
приходит в этот мир, непременно когда–нибудь умрёт, но разум диктует мне, что
сейчас самое время осознать суть того, о чём ты когда-то мне и упоминал.
Поэтому лучше мне умереть, зная об этом, чем умереть в незнании». Затем
Абулхасан начал разъяснять то, о чём просил Беруни. Спустя несколько минут,
Беруни уснул вечным сном. Это была последняя беседа учёного о науке».
Какой счастливый
конец! Это был конец жизни ученого, который ушёл из жизни с чувством полного
удовлетворения своей деятельностью...
Введение
С давних пор
внимание многих ученых привлекали вопросы измерения небесных тел (Земли, Луны,
Солнца) и расстояния до них от той точки, где мы находимся. В частности, ученые
Хорезмской Академии Маъмуна и, в первую очередь, её руководитель, великий
ученый Абу Райхан Беруни, оставил значительный след в этой области.
С целью измерения
Земли, Луны и Солнца и определения расстояния от Земли до Солнца и Луны, Беруни
создал совершенную с математической точки зрения теорию теней. Суть теории
состоит в том, что, если мы от точки, где стоим, на некотором расстоянии направим на Солнце круг
радиусом , то на
Землю ляжет полная тень (т.е. в этой точке круг закрывает солнце полностью)
или частичная тень (в этих точках солнце закрывается частично). На основании
измерений размеров этих теней Беруни разработал способ вычисления расстояния от
Земли до Солнца, а также способ вычисления диаметра Солнца
1
– чертеж
Здесь - диаметр Солнца, а - диаметр круга, преграды
(гномона), - площадь
полной тени, падающей от гномона, и - площадь частичной тени .
В трактате
показана возможность успешного использования на практике и включения в
современные учебные пособия по математике, созданного Беруни способа измерения
радиуса Земли, расстояния от точки, на которой мы стоим, до какого-либо тела,
находящегося на расстоянии от нас. Наряду с этим, в трактате даны фрагменты из
его книг, высказывания, которые помогут читателю оценить величие нашего
соотечественника Беруни - математика даже с современной точки зрения.
Измерение
расстояния на Земле и высоты гор
Если у нас
возникнет необходимость измерить высоту вертикально расположенного тела
(например, минарета) ,
мы, отойдя к точке ,
(2-чертеж), расположенной на некотором расстоянии от этого тела, при помощи
алидоды (нивелира) измерим угол и из уравнения , или легко сможем вычислить отрезок .
2
– чертеж
Задача более усложнится,
если невозможно достичь основания вертикально расположенного тела, т.е. точки (к примеру, если
необходимо определить высоту тела на противоположном берегу реки или высоту
пологого склона).
Аль - Беруни в
своем труде «Гномоника» подробно останавливается на подобных задачах и, в
частности, приводит способы их решения из книги «Брахмассиддхата» индийского
математика и астронома Брахмагупты.
По его мнению, чтобы
измерить высоту тела, которое не достигает своего основания, нужно выбрать ровное
место на некотором расстоянии от него (3 - чертеж).
3
- чертеж
Выбрав точку на ровном месте,
вертикально к ней устанавливаем преграду (гномон) и находим его полную тень . О том, как найти точку , помогающую определить
полную тень гномона ,
Беруни предлагает следующее:
«… нужно идти в
обратном направлении от точки до того места, откуда и должны быть видны через диоптр алидоды на
одном ориентире. Так как точка расположена на Земле, то для определения её нужно
лечь на землю или спуститься в яму, высотой в рост человека». (аль – Беруни.
Математические и астрономические трактаты, «Фан», 1987, стр. 244). После того,
как найдена точка ,
поднимаем второй гномон,
равный гномону и,
как прежде, определяем его тень . Из подобий , вытекают равенства:
и с их помощью
несложно определить:
В своей книге
«Геодезия» (ал – Беруний. Геодезия, «Фан», 1982, с.167) ученый создал простые
доступные методы измерения расстояний на поверхности Земли.
Для этого он
берёт квадрат с
равными сторонами, вбивает тонкий гвоздь в точки и и устанавливает длинную диоптрическую алидоду
в точке (4 - чертеж).
4
– чертеж
Устанавливаем
квадрат в точке таким
образом, чтобы точки оказались
расположенными на одной прямой линии. Затем из точки , бросив камень (по словам Беруни),
проводим перпендикуляр .
Из:
,
получаем равенства
, (1)
Размер
Земли
Первые попытки
измерить диаметр Земли связаны с именем Эратосфена (276-196 годы до н.э). Он
определил параметры Земного шара по состоянию Солнца над Асваном и
Александрией.
Когда в Асвоне
Солнце находится в Зените, в Александрии оно имеет наклонение по отношению к Зениту и
отсюда уточнив, что на Земном шаре дуга, соединяющая Асван и Александрию, равна
, т.е. она
соответствует 1/50 части большой окружности Земли.
Отсюда вычислялась
протяженность большой окружности Земли путём увеличения расстояния между
Египтом и Александрией в 50 раз. Таким же способом Птолемей (II в. до н. э.) пытался вычислить
размер Земли, и своё мнение по данной проблеме изложил в книге «География». Ученые
античного века в качестве единиц измерения использовали стадий, с течением
времени, в частности, начиная с эпохи Академии «Байтул - хикма» (IX в.), в стадийном методе измерения
Земли и в других единицах измерения были обнаружены ошибки и противоречия.
Поэтому халиф Аль - Маъмун ибн ар-Рашид поручил ученым «Байтул-хикма» (Дома
мудрецов) осуществить реальное (точное) измерение земного шара. Измерительные работы,
в которых приняли участие среднеазиатские ученые, проводились вблизи Масула в
Синжарской степи.
В частности, под
руководством нашего земляка аль - Хорезми ученые «Байтул – хикма» успешно
справились с заданием, уточнили радиус Земли, добились того, что он равен 3247 мил
= 129865996 газ или 6406 км[*]).
На самом деле
радиус экватора Земли км,
а радиус полюса равен 6357 км.
Абу Райхан Беруни
(973 - 1048) в своих трудах «Геодезия», «Каноны Маъсуди» попытался обстоятельно
описать измерение размеров земного шара и остановился ещё на одном новом
усовершенствованном методе: «что касается размеров Земли, - пишет Беруни, - до
нас, [т.е. до эпохи «Байтул - хикма» - А.С], дошли лишь описания римских и индийских
ученых. У римлян и индийцев единицы измерения были разными в количественном
соотношении. Индийцы измеряли окружность Земли милями, включавшими в себя
от одного до 8 наших милей, и в различных измерениях их мнения менялись;
в каждой из пяти «Сиддихонта» окружность Земли описана с расхождениями.
Римляне же измеряли её одной мерой и называли её «стадия». По мнению
Галена, Эратосфен осуществил измерительные работы между городами Асван и
Александрией, находящимися на одном меридиане.
Если основываться
на мнение Галена в «Книге доказательств», мнение Птолемея во «Введении в
искусство сфериков» и «Географии», то между мерами наблюдается разница.
Подобные противоречия пробудили желание Маъмуна вновь уделить внимание данному
вопросу и решить его с помощью ученых, проделать измерения на землях Масула в
Синжарских степях.
Если человек
движется по прямой линии на Земле, то, на самом деле, он движется вокруг Земли
по окружности. Но провести прямую линию на большое расстояние - дело очень
сложное. Поэтому ученые Маъмуна в качестве ориентира определили полюс вселенной
(здесь, возможно, имеется ввиду полярная звезда). Для измерения окружности они вычислили
1/360 части окружности Земли, равной мили.
У меня появилось
огромное желание самому вычислить размер Земли, и я выбрал большое ровное место
в Журжане. Но из-за трудных условий пустыни, отсутствия надежных помощников, я
нашел в Индии высокую гору с ровной поверхностью и использовал другой способ
измерения. С вершины горы я обнаружил угол наклона соединения Неба и Земли
(5-чертеж) и вычислил его как 0034, измерил в двух местах вершину
горы и вычислил её как 652 газ плюс половину одной десятой части от
него.
5 –
чертеж
(6 - чертеж). Пусть
- центр Земли, а
- касательная к
Земле с вершины горы.
6 –
чертеж
Соединив линию с линией горизонта, получим
треугольник . Здесь
все его углы известны, поскольку угол - прямой, а угол дополняет угол наклона горизонта,
т.е. » (ал – Беруний.
Šонуни - Маъсудий, 1973, V китоб,
«Фан», 1973, с.386-387). Таким образом, по определению синусов, вычисляется
радиус Земли . Из
, отсюда
или (2)
Зная высоту горы и , Беруни находит км.
В своей книге
«Геодезия» Беруни, описывая поход на Рим халифа ал-Маъмуна (830 - 832),
отмечает, что с ним вместе был и ученый-математик Абу Тайиб Санад ибн Али,
пригласив которого, он поручил ему взобраться на гору, возвыщающуюся над морем с
восточной стороны, измерить угол наклона (для точности во время захода
Солнца), что он, Санад ибн Али, выполнил эту задачу, то есть он, использовав
угол наклона и несколько вспомогательных треугольников, вычислил измерение
радиуса Земли (ал – Беруний. Геодезия, «Фан», 1982, с.166).
Расстояние
между небесными телами
Беруни пишет: «Диаметр
солнца обозначен .
Поверхность Земли - ,
- гномон тело, дающее
тень на Землю, -
тень этого тела (его диаметр), - центр тени (7 - чертеж, здесь - полная тень, - часть тени). Если нам
известны ,, и , то мы определим расстояние от Солнца до
Земли и диаметр Солнца*).
7
– чертеж
Действительно,
если провести ,
то и известно. Его отношение к , такое же, как к . Значит, известны и треугольник . Отношение и такое же, как к . Итак, , а значит известна» (аль – Беруни. Математические и
астрономические трактаты, «Фан», 1987, стр.210).
По утверждению
Беруни, ~, отсюда вытекают равенства
или
или
Из получаются равенства
или
или
, , (3)
где
Если мы острые
углы при и обозначим через и , применив к теорему синусов, можно переписать
формулы (3) в следующем виде:
. (4)
И, наконец,
продолжив прямые линии или
, определим точку
, проведем прямую
. Проведя
перпендикуляр ^, и пользуясь определением , получим формулы
(5)
где
Формулы (3), (4),
(5) - это формулы измерения расстояния между Землей и небесными светилами Луной
и Солнцем, и размеров Луны и Солнца.
К сожалению, на
практике из-за дальности расстояния до Луны и Солнца, а также ввиду
использования простых приборов, величины и или углы и в формулах почти равны друг другу, а значит знаменатели
дробей почти равны 0. Поэтому в эпоху Беруни не было возможности для применения
этих формул в работах по измерению небесных тел. Хотя в указанной книге Беруни
обстоятельно изложил попытки предшественников по измерению небесных тел,
недостатки в их способах, и предложил удобные и простые в теоретическом плане
формулы, он не приводит конкретных цифр измерений Луны и Солнца.
Тем не менее,
предложенными формулами можно пользоваться для измерения тел, до которых
невозможно добраться и для вычисления расстояния до них. В этой связи было бы
целесообразно называть эти формулы в науке формулами Беруни и на
основе этого теорию теней (гномонику) связать с именем Беруни.
*) Зулхижжа - название 11 месяца мусульманского лунного календаря
(хиджры).
[*]) Ученые современности признали, что 1 мил=400 газ=1973,2
(см: Хинц. «Мусульманские меры»).
*) Вышеуказанные ,, и размеры,
обеспечивающие возможность измерения Земли.