Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики
Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде
с помощью методов элементарной математики
Ученые-математики
вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они
категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь
длительные попытки доказательства, повидимому связаны с отсутствием регулярной
работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские
ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных
кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство
теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году
обнародовано доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно
базируется на последние достижения математической науки и является по существу
результатом коллективного труда определенного круга математиков, работающих в
различных направлениях математических исследований.
А.Уайлс в своем доказательстве исходит из
того, что теорема Ферма вписывается, является следствием гипотезы Таниямы о
модулярных эллиптических образованиях. Такое заключение сделано на основании
ограниченного количества точек x,y,z из теоремы Ферма, которые позволяют утверждать
автору, что эти точки характиризуют все сочетания x,y,z и n в качестве причастных к модулярным
эллиптическим кривым. Доказательство А. Уайлса – сложное и трудоемкое, т.к.
потребовалось доказать справедливость самой теоремы Таниямы и причастность элементов
теоремы к модулярным эллиптическим кривым. При этом становится неясным: то ли
доказывается справедливость гипотезы Таниямы с помощью недоказанной теоремы
Ферма, то ли доказывается теорема Ферма с помощью недоказанной гипотезы
Таниямы. Доказательство любой теоремы должно базироваться на общепризнанных
постулатах. Доказательство А. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста и
изложено специальным математическим языком, мало доступным большинству
интересующихся. Но главный его недостаток – оно не является прямым и
непосредственным. Вызывает сомнение отсутствие взаимосвязи показателей
степеней n>2 со степенями n=1 и 2 , не показана
распространенность условий теоремы Ферма по плоскости XOY
и в частности на целые отрицательные числа. Я не берусь подвергать сомнению
подобное доказательство, но считаю необходимым утверждать, что любые три точки xn ,yn ,zn могут
вписываться в степенные числовые ряды, в треугольники Пифагора или, как будет
показано ниже, станут исходными при доказательстве теоремы элементарными
методами. Это свидетельствует о том, что доказательство теоремы Ферма с помощью
модулярных элептических кривых не является единственно возможным и приемлемым в
общем виде. Могут появиться и другие доказательства, в том числе и с
использованием элементарной математики.
После опубликования доказательства А.Уайлса в
математических журналах в интернете появляются новые доказательства любителей
математики, что свидетельствует о их неугасающем интересе к теме и стремлении к
поиску более простого и доступного к пониманию непосредственного доказательства
теоремы Ферма. Этот процесс в большинстве своем не преследует каких-либо
корыстных целей, а скорее всего носит бескорыстный спортивный или престижный
характер.
Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается
к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям
математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ
элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде, основанный на
разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его составляющие. Это позволяет
после преобразования уравнений Ферма
xn +yn =zn (1)
к виду
(x - a)n + xn - (x+b)n = 0 (2)
где x,
a и n
– целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от
соотношения x, a и n; одновременно:
- упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному;
- Выяснить взаимосвязь b с параметрами x,
a и n;
-
определить структурную формулу для x в
поисках целых решений при всех показателях степеней n;
- выявить причину образования
нецелых z при n>2;
- показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z
при n>2, как для положительных, так и для отрицательных
чисел x и y , за исключением квадрантов II и IV при
нечетных n, где теорема Ферма не имеет смысла.
Итак, приступим к разложению уравнений (2) по
биному Ньютона относительно основополагающего параметра x:
(x–a)n + xn =
2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2
- cn3 xn-3 a3...... +an
-(x+b)n = xn
+nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 +
cn3 xn-3 b3.......+bn
Δ= xn - nxn-1 (a+b) +
cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3
xn-3 (a3+b3)…+(an+bn)
=0 (3)
Мы получили основное уравнение (3) для поиска
целых решений z
Упростим уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3…. При этом доказательство теоремы
сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия а=b=1,2,3… см. ниже). В этом случае выражение (3)
после решения его относительно х примет вид:
Обозначим через P(a,n) = 2cn3
xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5
+... (
an + an ) - добавку
после первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: xn = 2nxn-1 a + P(a,n).
Разделив левую и правую части
уравнения (5) на xn-1 , получим искомое структурное выражение для х:
x=2na+P(a,n)/xn-1 (5)
в котором 2na –
целое число, а добавка P(a,n)≥0 – функция, от которой
зависит доказательство теоремы Ферма. При P(a,n)=0 для n =1и 2 имеют
место решения z в целых
числах; для n>2 P(a,n)>0 и z при решении
получаются нецелыми. В этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней n=1 и 2 от
уравнений степеней n>2.
Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится к доказательству того, что
функция P(a,n)/xn-1 при n>2 всегда
является нецелым числом.
Перед
доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих
основополагающую роль при доказательстве. Собственно в основном все
доказательство теоремы сводится к доказательству ее при исходных x,y,z. Из
допущений а=b=2,3,4… примем а=b=1. Тогда
получим
x=2n+P(1,n)/xn-1 y=x-1 и z=x+1
(6)
Эти параметры и будем считать исходными при доказательстве теоремы
Ферма. Другие параметры x,y,z,
соответствующие выражению а=b=2,3,4…повторяют
результирующие характеристики исходных x,y,z на более
удаленных х , пропорционально числам 2,3,4.
Возвращаясь к доказательству, предварительно
сократим числитель и знаменатель в добавке P(1,n)/
xn-1 на общие сомножители и приведем ее к виду:
P(1,n)/ xn-1= 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4+ 2cn7 /x6+…( 1+ 1 )/xn-1 (7)
В числителе
каждого члена разложения представлены сочетания cnk –
целые числа, распределение которых симметрично относительно центра с максимумом
в точке (n+1)/2. В знаменателе – функция х2,
нарастающая по квадратичному закону. В первой половине разложения (7) из-за
нарастания числителя и относительной малости знаменателя образуется большая
числовая сумма. Во второй половине разложения из-за убывания числителя и
резкого увеличения знаменателя образуется числовая сумма значительно меньше
первой. Отметим, что непосредственное определение параметра х
предлагаемым способом доказательства предусматривается осуществлять с помощью
метода последовательных приближений, при котором все подставляемые х,
кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно, суммы в первой и
второй половине разложения (7) , как результат деления числителей на нецелые
знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования будет также нецелым.
Если в исключительном случае (что невероятно) предположить, что в полученной
общей сумме после запятой вычислялись значащие цифры до принятого порядка,
например 109 и все они оказались равными нулю, то последующий расчет
до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму обязательно
нецелой. Нецелой становится и P(1,n)/ xn-1 , а это означает, что теорема Ферма доказана для n>2 .
Обратимся теперь к правомочности принятия
допущения а=b=1,2,3…. При доказательстве теоремы принято а=b=1. В общем
случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и n=1 до х
при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при
а=0, n=1, до 0
при а=х. При х>y имеем:
.
. Отсюда b≤x . (n√2-1). Это неравенство соблюдается при всех
изменениях а. Нас интересует выбор a и b. За исходное принято а=1 потому, что при нем
обеспечивается максимальное значение z и оно наиболее близко к предельному z=x n√2. Соответствующее ему b=1 принято из следующих соображений. С ростом n величина b уменьшается , проходя через точку b=2 при n =1, точку b=1,657 при n=2, далее переходит через точку b=1 при неизвестном n и, становясь меньше 1, уменьшается до 0 при
увеличении n до бесконечности. b=1 оказывается единственным целым числом для n>2, при котором возможны целые z.
Полнота и общность предлагаемого доказательства может быть
проиллюстрирована также возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих
из следствий общего доказательства, при целых положительных и отрицательных x и y.
Благодаря допущению a=b=1,
исходные x,
y, z оказываются
расположенными рядом на расстоянии 1 друг от друга в следующей
последовательности: x-1, x , x+1. Это свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма
при помощи треугольников Пифагора, числовых степенных рядов и др. Треугольники
Пифагора при n>2 отражаются на плоскости xOy в виде остроугольных треугольников в
квадрантах плоскости xOy I и IV или тупоугольных квадрантах II и
III. Для первых характерно xn+(x-1)n<(x+1)n
и положительный
cos
B = 0,5-1,5/(x-1).
Для вторых xn+(x-1)n>(x+1)n
и отрицательный cos B.
Нецелость теоремы Ферма доказывается через нецелость cos B в
искаженных треугольниках.
При использовании элементов уравнений Ферма xn, yn, zn в качестве составляющих элементов числовых
степенных рядов представляется возможным при n>2 и a=b=1,2,3… непосредственно убедиться в нецелостности z при
суммировании в рядах xn=(2n)n и yn=(2n-1)n .
Особого внимания заслуживает вероятностный подход к доказательству
теоремы Ферма. Его сущность заключается в использовании степенных рядов,
состоящих из порядковых натуральных чисел 1,2,3… и их степеней 1n,2n,3n…Между степенями размещаются порядковые целые
числа, к примеру, между 22 и 32
находятся числа 5,6,7,8. Из них нельзя извлечь целые квадратные
корни так как они находятся между двумя рядом стоящими целыми числами. Это
позволяет утверждать, что любая степень в ряду содержит сумму всех предыдущих
степеней, которые при извлечении из них корней дает как целые, так и нецелые
корни при всех степенях n. Следовательно, для каждого x можно определить вероятность (частость) P=
x/xn ,
где в числителе целые x, а в знаменателе – сумма целых и нецелых x, или
после сокращения на x: P=1/xn-1 ,
где 1 – одиночное событие, а xn-1 –
МОЖ, Математическое ожидание количества экспериментальных попыток для получения
1-го события (широко используется в артиллерийской практике). Если теперь
предположить, что в степенных рядах находятся уравнения Ферма xn+yn=zn, удовлетворяющие условию a=b=1,2,3…
и они дают нецелые решения z в рядах(см. изложенное выше), то для них в
тоже время можно определить вероятность получения целых z P=1/(xa+a)n-1 и
МОЖ = (xa+a)n-1 .
Рассмотрим на конкретном примере условия получения целого z для n=4 при
условиях: a=b=1; x=2*4=8; z=8+1=9. Для них P=1/93 и
МОЖ=729 – Столько потребуется экспериментальных попыток из сочетания x и y , чтобы получить одно целое
z. (Число m=38 определяется из соотношения =m!/2!(m-2)!=((m-1)*m)/2=729.
Решая уравнение m2-m-1458=0, получим m
примерно равно 38) Для нецелых z =36<<729, чего явно не достаточно для
выявления целого z и с позиции экспериментатора оно остается
нецелым числом, т.к. реализация вероятности P=1/93 возможно только при условии =МОЖ=729.
С ростом x и n МОЖ резко возрастает, что ставит под сомнения
возможности экспериментальных проверок. При n=3 и 4 эти возможности реально существуют и
могли бы стать подтверждением наличия целых z при n>2 для n=3 в окрестностях x=6, y =5 при
МОЖ=49; для т=4 x=8; y=7; при МОЖ=729. Это позволило бы судить о
двойственности теоремы Ферма более конкретно, а с другой стороны, оценить
правомочность вероятностного подхода к оценки теоремы Ферма.
В заключение, помимо сказанного, следует добавить:
предложенный способ доказательства достаточно просто и убедительно освещает
причину нецелых решений z при n>2 и целых решений при n=2. Он
позволяет рассматривать доказательство, как единый процесс, распространенный
на все показатели степеней, начиная с n=1 и расстояний от исходного x=2 при n=1 до
бесконечности.
Теорема на плоскости xOy – достоверна, как при положительных целых x, y
так и отрицательных x, y, за исключением квадрантов II и IV
плоскости xOy при нечетных n, где она не имеет смысла (рассмотрение xn-yn=zn теоремой не предусмотрено)
С
уважением:
Н.И.Пичугин
Ветеран
ВОВ и ВС
Инвалид II группы