Показательно-степенные уравнения и неравенства
белгородский
государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и
геометрии
Тема работы: Показательно-степенные
уравнения и неравенства.
Дипломная работа
студента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.
Содержание.
Введение
|
3
|
Тема
I.
|
Анализ
литературы по теме исследования.
|
|
Тема
II.
|
Функции
и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и
неравенств.
|
|
I.1.
|
Степенная
функция и ее свойства.
|
|
I.2.
|
Показательная
функция и ее свойства.
|
|
Тема
III.
|
Решение
показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
|
|
Тема
IV.
|
Решение
показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
|
|
Тема
V.
|
Опыт
проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных
уравнений и неравенств».
|
|
|
V.1.
|
Обучающий
материал.
|
|
|
V.2.
|
Задачи
для самостоятельного решения.
|
|
Заключение.
|
Выводы и предложения.
|
|
Список
используемой литературы.
|
|
Приложения
|
|
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать
свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое
отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным
образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и
психология, и даже философия.
Мне довелось
работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах
интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто
действительно интересовался математикой
Мне довелось
решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них,
которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде
бы решены, появляются новые вопросы.
Но еще важнее
самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой,
этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и
разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической
оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с
необходимостью — и учитель.
В
школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс
средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и
неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это
показательно-степенные уравнения и неравенства.
В
школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту
тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно
повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются
совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки
исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются
способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества
личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые
будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение
и глубокое усвоение учебного материала.
Работать
над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В
ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по
этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных
уравнений и неравенств.
Он
заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении
показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех
же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1),
рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ
письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность
вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в
школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А
также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов,
где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию,
появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку
по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения
показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных
неравенств.
Чтобы
учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю,
необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и
неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким
образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом:
«Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1.
Проанализировать литературу по данной теме.
2.
Дать полный анализ решения
показательно-степенных уравнений и неравенств.
3.
Привести достаточное число примеров по данной
теме разнообразных типов.
4.
Проверить на урочных, факультативных и кружковых
занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения
показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие
рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является
разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель
и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1.
Изучить литературу по теме:
«Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2.
Овладеть методиками решения
показательно-степенных уравнений и неравенств.
3.
Подобрать обучающий материал и разработать
систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных
уравнений и неравенств».
В
ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных
применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и
неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава
I.
Анализ литературы по теме исследования.
Глава
II.
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных
уравнений и неравенств.
II.1.
Степенная функция и ее свойства.
II.2.
Показательная функция и ее свойства.
Глава
III.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава
IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава
V.
Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1.
Обучающий материал.
2.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.
Выводы и предложения.
Список
использованной литературы.
В
I
главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных
уравнений и неравенств».
В
II
главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение
их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств,
выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента
показательно-степенной функции.
В
III
главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен
полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм
решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он
применяется.
В
IV
главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры»
приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен
план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он
применяется.
В
V
главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных
уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система
заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания
используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении
показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения
показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства
показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы
рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным
показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее
свойства:
Прямая
пропорциональность. Прямой пропорциональностью
называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом
пропорциональности.
Перечислим свойства функции у
= kx.
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2) y = kx — нечетная функция (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция
возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
График (прямая) изображен на
рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее
свойства:
Функция у —х2.
Перечислим свойства функции у = х2.
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) у = х2— четная
функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).
3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле,
если , то , а это и означает
возрастание функции.
4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле,
если ,то —
х1 > — х2 > 0, а потому
(—х1)2> ( — х2)2, т. е. ,
а это и означает убывание функции.
Графиком
функции y=х2 является парабола.
Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 получаем функцию у = х3, ее
свойства:
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) y = х3 — нечетная
функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
График (кубическая парабола)
изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное
натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же
свойствами, что и функция у = х2. График такой функции
напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3.
График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем
круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на
промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х,
чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное число. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График
(гипербола) изображен на рисунке II.4.
Пусть n — нечетное число, большее
единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом
случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у
= х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у =. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим некоторые
свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
1) Функция определена при всех х0.
2) y = четная функция.
3) y = убывает на (0; +оо)
и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые
функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Аналогичный
вид имеет график функции ,
если n = 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная
несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой
функции.
1) Область определения — луч [0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками
функций у = х2 и у = х3, заданных
на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой
функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график
функции . Подобный вид
имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с
отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства
этой функции.
1) Область определения — промежуток (0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для
примера график функции у — х таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную
плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет
график любой функции
у = хr, где r — отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II.
2. Показательная функция и ее свойства.
Функция,
заданная формулой вида у = ах, где а —
некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.
1. Функция у = ах при а>1 обладает
следующими свойствами (см. рис. II.7.):
а) область определения —
множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество
всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0
значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx > 1;
е) если х < 0,
то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах
при 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции
равно 1;
д) если х > 0,
то 0 < ах < 1;
е) если х < 0,
то ах > 1.
Рис. II.8.
Глава III. Решение
показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное
находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий
алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что
при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с
одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно
лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно,
при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при
переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые
нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а =
1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного
решения уравнения рассматриваем
случаи:
1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае,
нет
2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо
оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
4. При и
решаем уравнение
f(x)= g(x) и подстановкой полученных
результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
Решение
1) x
– 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 >
0, то x1
= 3 - это решение.
2) x – 3
= 1, x2 = 4.
3) x
– 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4) x
– 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x
= x2,
x
= 0 или x = 1. При x = 0,
(-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4
= 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1
– верно это решение x5
= 1.
Ответ:
0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
Решение
По
определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥
0, x ≥ 1.
1) x
– 1 = 0 или x = 1, = 0,
00 это не решение.
2) x – 1
= 1 x 1
= 2.
3) x
– 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4) =
Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 –
корней нет.
Ответ:
2.
Пример №3.
Решение
1)
= 0 решения
нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2)
≠ 0 т.е.
. Тогда можем
записать:
3)
= 1. = 0
и
4)
= -1 х = 0 или
х = 1. При х = 0 =
-1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1
(-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.
5)
≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или
= 1. Эти корни
уже учтены.
Ответ:
-1, 1, 2.
Пример №4.
Решение
1)
При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен
1.
при ,
2)
, .
3)
, .
, (-1)0 =
(-1)0 это решение.
.
4) и
или
При (-4)0
= 1 – верно.
Ответ:
-1, 2, 4.
Пример №5.
Решение
1)
, , это не решение.
2)
, и .
3)
отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,
х
= 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,
х
= 2 – не является решением.
Ответ:
1,3,5.
Пример №6
Решение
1)
не дает решений,
т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2)
. или .
3)
отрицательных значений не
имеет.
4)
При ,
, т.к. , то . Проверка 20 = 1 –
верно.
Ответ:
-1, 1, 2.
Пример №7
Решение
1)
, , , . Это решение .
2)
, .
3)
, , - четное
и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.
4)
и , , , , 4-3 = 4-3 – верно. .
Ответ:
-4, -3, -2, 1
Пример №8
Решение
ОДЗ: ,
, ,
и
Все
решения принадлежат уравнению =2.
, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ:
-4, -1.
Пример №9
Решение
ОДЗ: , , .
1)
решений не
имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При
, или ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значит
все решения содержатся в уровнении = 0, или .
Проверка:
, 20 =
1 – верно.
, - верно.
Ответ:
0, 3/2.
Пример №10
Решение
1)
решений не дает,
т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2)
При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .
3)
, и .
Второе
решение не подходит, т.к ,
. А является решением
Ответ:
, 2, 4.
Пример №11
Решение
1)
, , и это решение .
2)
, .
3)
, , - четное, - нечетное. Это является решением.
4)
или , , , , .
Проверка:
, - верно.
Но
не является
корнем!
Выражение
(-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к.
степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно
возводить только в степень с целым показателем.
Ответ:
-4, -2, -1.
Пример №12
Решение
ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.
и все решения содержатся
в уравнении.
, ,
Ответ:
5.
Пример №13
Решение
1)
, , . Это решение .
2)
, , .
3)
отрицательных значений не
имеет.
При
или все решения в уравнении , и .
При
, - верно. .
Ответ:
-1, 2, 3, 4.
Пример №14
Решение
ОДЗ:
1)
При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен
1.
При
2)
, и . - решение, а .
3)
для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .
При
, - верно. .
Ответ:
4, 5.
Пример №15.
,
Решение
используя
свойства логарифма и
получили:
=
В
первой части уравнения выполнили преобразования
. Получили уравнение . Все решения содержатся в
уравнении.
или .
Ответ:
2.
Пример №16
Решение
ОДЗ:
Преобразуем
знаменатель дроби в правой части уравнения
; .
, , где
1)
, - верно.
2)
,
Пасть
, тогда
, или .
Следовательно;
или , , .
Ответ:
1, 0,1, 0, 0,01.
Пример №17
Решение
ОДЗ:
и
Выполним
преобразования.
+= 2+2
+= 4
Пусть
, а ,
Следовательно,
или
2*2t
= 4
2t
= 4/2
2t
= 2
t
= 1
Ответ:
2.
Пример №18
Решение
ОДЗ:
;
Прологарифмируем
обе части равенства:
, где .
Умножим
обе части уравнения на 2.
Пусть
, тогда
, или
1)
,
или
Ответ:
0.1, 10.
Пример №19
Решение
ОДЗ:
Обратите
внимание ниоткуда
не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!
,
или
Оба
значения в ОДЗ.
Так
как возводили в квадрат, корни надо проверить.
, - верно.
, - верно.
Ответ:
-3, 3.
Пример №20
ОДЗ:
Возведем
обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не
появляются)
или
Прологарифмируем
по основанию 10.
или
1)
или
,
Ответ:
0.01, 100.
Пример №21
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем
по основанию 10.
, где .
Пусть
, тогда:
умножим на 4
,
, или
1)
2)
Ответ:
0,0001, 10.
Пример №22
Решение
ОДЗ:
Заменим:
, получим:
, где .
Решаем
уравнение:
; или
1)
; ; . .
2)
, , , , .
; ; ; .
Ответ:
0,1, 1, 10.
Пример №23
Решение
и
\ :
Подставим
во второе уравнение вместо число 5, получим:
или
составляем
систему уравнений:
Ответ:
(13;8)
Пример №24
Решение
ОДЗ:
;
,
;
или
, .
Ответ:
5.
Пример №25
Решение
ОДЗ:
Прологарифмируем
правую и левую части данного уравнения по основанию 10:
Получим:
или
Обозначив
, перепишем
записанное уравнение в виде:
.
Решая
его относительно ,
находим , .
Используя
обозначения , из
первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого
уравнения:
. Значит, , т.е. .
Ответ:
30, 100.
Пример №26
Решение
Так
как , то при и имеем равносильное уравнение:
или
.
,
Ответ:
5.
Пример № 27
Решение
ОДЗ:
Так
как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:
,
; или
1)
2)
Ответ:
0.1, 100.
Пример №28
Решение
ОДЗ:
Так
как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:
и , поэтому
Пусть
, тогда
или .
1)
;
2)
Ответ:
, 3.
Пример №29
Решение
1)
, т.к. 0 в любой степени не
равен 1.
2)
= 1, =1, , или
=-1, , .
Так
как 1 в любой степени равна 1, то это решения.
3)
(т.к. )
При
все решения
принадлежат уравнению .
или .
При
= 0, что не удовлетворяет уравнению
,
Ответ:
, .
, .
, .
Пример №30
Решение
ОДЗ:
=
1)
, , .
2)
Так как , то
остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .
Ответ:
, -, и , .
Пример №31
Решение
1) или , и . Это решение. .
2)
, и
3)
Так как , то ;
;
; . Это решение.
Ответ:
; 5; 3; 4.
Пример №32
Решение
при всех
1)
, - решений нет.
2). Потому при левая часть равна единице,
а правая нет. Это решение.
3)
;
;
;
;
;
;
;
и ;
; ;
;
;
;
;
- решений нет.
Ответ:
-3, 3.
Пример №33
Решить
графически уравнение:
Решение
У
функции Д(y):
x
> 0 и log2 x
> 0, т.е.,
x
> 1. обл. определения х > 1.
А
теперь: (формула перехода к
новому основанию и определение логарифма).
Тогда
(определение
логарифма: ).
Так,
что нужно только учитывать, что Д(у): x >
0.
Построим
график функции (рис III.1).
у
2
1
0 1
4 х
Рис.
III.1.
Ответ:
(4; 2).
Пример №34
Решить
систему уравнений:
Решение:
По
определению логарифма имеем:
.
Прологарифмируем
первое уравнение системы по основанию х.
.
Из
второго уравнения системы выразим у через х:
,
Тогда:
Пусть
, , Д = (-5)2 -4*1*4 = 9, , или .
1) 2)
Д = (-3)2 – 4*1*(-4) =
25 пусть , тогда
или Д =
(-1)2 – 4*3*4 = -47<0
или корней
нет
(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ
(4,4)
решение системы уравнений.
Ответ:
(4, 4).
Пример №35
Решите
систему уравнений:
Решение.
По
определению логарифма имеем:
Основание
логарифма может быть:
1)
(дробное)
(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.
2)
Выполним
преобразования:
Прологарифмируем
первое уравнение системы по основанию х:
,
, ,
или
Пусть
, тогда
Д = (-)2 -4*1*(-2) = 9
или
: (х+1)
, где
;
1)
или
Решаем
биквадратное уравнение
Примем
, тогда получим
D
= 32 – 4*1*(-4) = 25
; или
а)
б)
; (не удовлетворяет ОДЗ)
-
решение системы уравнений.
2)
или
- (не удовлетворяет ОДЗ)
D
= (-1)2 -4*4*3 = -47 – корней нет.
Ответ:
. [ ]
Пример № 36
Решение
Для
любого х и
ОДЗ
этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть
множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение
равносильно совокупности уравнений.
и
Решаем
ее.
принадлежат . Они и являются решениями
исходного уравнения.
Ответ:
.
Глава IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Неравенства вида (или меньше) при а(х)>0
и решаются на
основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при
сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а
при а(х) > 1 – сохраняется.
Самый сложный
случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание:
определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и
выбрать из них те, которые удовлетворяют условию
Наконец, если
исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) =
1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти
случаи.
Пример 1.
Решить неравенство:
23x:+7 < 22x-1.
Решение.
Здесь основание
степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же
смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.
Ответ: -8.
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение.
Так как 625 = 252=
, то заданное
неравенство можно записать в виде
Так как 0
< 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство
противоположного смысла 5х - х2 - 8 = -2. Имеем последовательно
,
,
,
.
Решив последнее неравенство, получим
2 х 3.
Таким образом множество решений
заданного неравенства есть отрезок [2; 3].
Ответ: [2; 3].
Пример 3.
Решим неравенство
0,57-Зх < 4.
Решение
Пользуясь тем, что
0,5 -2 = 4, перепишем заданное неравенство в виде
0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство
равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.
Ответ: ( — оо ; 3).
Решим неравенство
Показательная
функция y = 6x возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х2
+ 2x > 3, решая которое,
получим: (-оо; -3)
и (1; оо).
Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).
Пример 5.
Решим неравенство:
Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно,
решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие
неравенствам , и
только такие числа. Но , , а функция убывает,
поскольку < 1. Поэтому решением
неравенств будут числа х, удовлетворяющие
неравенствам - 2 < х < 1.
Ответ: ( - 2; 1).
Пример 6.
Решение
1)
2 3 10
Изобразим на
числовом луче
Должны выполняться все три
неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.
2)
Изобразим
на числовом луче
10
Если , то
-решение системы неравенств.
Остальные случаи не дают
решений, т.к. или 1 не
удовлетворяют условию, а при т.е. получаем отрицательные
числа с дробными показателями степени.
Ответ:
Пример 7
Решение
При , х = 2,5 или х
= -1
При или можно записать .
При второе неравенство не
выполняется. Система решений не имеет.
Изобразим на числовом луче решение системы
неравенств
-1
2,5 3
Система не имеет решений.
2)
Изобразим на числовом луче решение системы
неравенств
решение системы неравенств.
3) , - выражение имеет смысл тогда, когда х – 3
– целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х
– целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения
0,1,2.
Проверка:
При - верно.
При - верно.
При - верно.
4) , х2 = 2,5 и х1
= -1
При х = -1 – не имеет смысла
выражение 0-4.
При х = 2,5, 02,5 – не
имеет смысла.
5)
;
При ; - верно.
При ; - верно.
Ответ: или .
Глава V. Опыт
проведения занятий со школьниками
по данной теме.
Анализируя
опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и
неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно
времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в
школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение
всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение
показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество
часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую
работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся
реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.
Проводя
занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных
заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель
решения заданий одного вида или похожих между собой
Задачи для самостоятельного решения.
Решить
уравнения.
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
2.
3.
Ответ:
7; 14.
4.
Ответ:
.
5.
Найдите произведение корней уравнения
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
2; 3; 4; 11.
12.
Ответ:
.
13.
Ответ:
.
14.
Ответ:
-2; 0; 2.
15.
Ответ:
1; 4; 5.
16.
Ответ:
нет решений.
17.
Ответ:
1; 10; 10-3.
18.
Ответ:
1; 8.
19.
Ответ:
-1; 1; 2.
20.
Ответ:
.
21.
Ответ:
2; 10-1; 10-3.
22.
Ответ:
0; 3.
23.
Ответ:
0.
24.
Ответ:
.
25.
Ответ:
.
26.
Ответ:
.
27.
Ответ:
.
28.
Ответ:
.
29.
Ответ:
.
30.
Ответ:
.
31.
Ответ: .
32.
Ответ: .
33.
Ответ:
.
34. Ответ: 0; 1.
35.
Ответ:
1; 3.
36.
Ответ:
0; 1; 5.
37.
Ответ:
0; 5; 4.
38.
Ответ:
.
39.
Ответ:
.
40.
Ответ:
.
41.
Ответ:
.
42.
Ответ:
.
43.
Ответ:
1; 0,1; 0,01.
44.
45.
Ответ:
-2; -1; 3.
46.
Ответ:
-2; 0,6.
47.
Ответ:
.
48.
Ответ:
-4; -3,5; -2; -1.
49.
Ответ:
-0,2; 0,5; 1; 3.
50.
Ответ:
-2; 0,6.
Решить
системы уравнений
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
(5;-1).
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
.
12.
Ответ:
.
13.
Ответ:
.
14.
15.
16.
17.
Ответ:
.
18.
Ответ:
.
19.
Ответ:
.
20.
Ответ:
.
21.
Ответ:
.
22.
Ответ:
.
23.
Ответ: .
Решить
неравенства.
1.
Ответ:
если , то если то .
2.
Ответ: .
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ: .
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
.
12.
Ответ: .
13.
Ответ: .
14.
Ответ: .
15.
Ответ: .
16.
Ответ: .
17.
Ответ: .
18.
Ответ:
.
19.
Ответ:
.
20.
Ответ:
.
21.
Ответ:
.
Заключение.
Подводя
итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:
1.
Показательно-степенные уравнения и неравенства
представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной
математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях
они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.
2.
Для этого вида уравнений и неравенств может
быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при
решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание
степени отрицательно.
3.
Проведенные по теме: «Показательно-степенные
уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали
доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких
занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных
уравнений и неравенств.
Мое
предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и
неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные
экзамены в ВУЗы.
Материал,
приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с
учащимися на уроках и факультативах.
Список используемой литературы.
1.
Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении
степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную
функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.
2.
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11
классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын
Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.
3.
Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И.,
Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература,
1997.
4.
Василенко Ю.К. Тождества, уравнения,
неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. –
Белаидит. Белгород, 2003.
5.
Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для
абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея,
1999.
6.
Давыденко И.О. Пособие по математике. Для
поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е
изд. – Томск,из-во Томского университета, 1973.
7.
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.
Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.
8.
Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и
анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие
для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
9.
Единый государственный экзамен: Математика:
Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под
редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.:
Просвещение, 2003.
10.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем
школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.
11.
Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И.,
Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н.. Пособие по математике для
поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.
12.
Математика. Методические указания по подготовке
к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.
13.
Нараленков М.И. Вступительные экзамены по
математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.:
Экзамен, 2003.
14.
Норин А.В. Сборник задач по математике для
поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.
15.
Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В.
Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит,
2001.
16.
Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И.
Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.:
Экзамен, 1998.
17.
Сборник задач по математике для поступающих в
ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.
18.
Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г.
Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение,
1991.
19.
Сканави М.И. Сборник задач по математике для
поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.
20.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по
методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ,
1984.
21.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика.
Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.
22.
Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в
ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.
23.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач:
Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.:
Просвещение, 1995.
24.
Шахно К.У. Сборник задач по элементарной
математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.
25.
Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев
А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11
выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.