Однополостный гиперболоид
Министерство
высшего образования Российской Федерации
Московский государственный
строительный университет
РЕФЕРАТ
На тему:
“Однополостный гиперболоид”
Факультет: ПГС
Группа: №15
Студент: Муравицкий А.С.
Преподаватель: Ситникова Е.Г.
Москва
2003
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. К
ним относится однополосный гиперболоид.
Однополосный
гиперболоид.
(1)
Из
уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями
симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.
Уравнение
(1) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим
каноническим уравнением (1) то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
Установим вид поверхности (1). Для этого рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем
соответственно уравнения
и
из которых следует,
что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия,
получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или
из которых следует,
что плоскость z=h пересекает
гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,
достигающими своих
наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый
маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом,
рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде
бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны)
от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями
однополосного гиперболоида.
Исследование
поверхности методом параллельных сечений.
Суть
метода заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с
плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим линии пересечения с
плоскостями, параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут
получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на
некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY.
Для более наглядного
представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY.
Изображения кривых
представлены выше.
Одним из примеров такой поверхности является конструкция радиобашни построенной по принципу сетчатых
конструкций на Шаболовке (г. Москва), Владимиром
Григорьевичем Шуховым в 1919 - 1922
гг. В
прошедшем году исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне — символу советского
телевидения 40-60-х годов.
Список
использованной литературы:
1.Шипачёв В.С.: «Высшая
математика»
2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк:
«Аналитическая геометрия»
3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев
«Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ»