О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами
Современные
качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
с отклоняющимися аргументами
И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru
Исследована
задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с
отклоняющимися аргументами вида
1. Постановка задачи. Пусть
N – оператор, заданный в области
D(N) линейного
нормированного пространства
U над
полем действительных чисел
R, а
область значений
R(N) принадлежит линейному нормированному
пространству
V над
полем
R, т.е.
В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке
существует
производная Гато оператора
N, определяемая формулой
(1)
Решается задача
существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися
аргументами вида
(2)
где -ограниченная
область в, с
кусочногладкой границей
в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)
Здесь - заданные функции, - неизвестная функция.
Числа зависят
соответственно от .
Если - четны, то При нечетном полагаем
Обозначим
Функционал FN называется потенциалом
оператора N, а N – градиентом функционала FN.
Записывают N=gradфFN. Оператор N называется
потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая
через замыкание
области , будем
предполагать, что -
выпуклое множество, ,
для любых фиксированных элементов функция
Как известно
[2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N
на множестве D(N) относительно заданной формы является условие
симметричности
Искомый функционал в этом случае имеет вид:
где F0 произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2)
устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле
тогда и только тогда, когда справедлива
Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно
билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Современные качественные исследования
устойчивости
Доказательство
теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.
А. Рассматривается дифференциальное уравнение с
отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))
с граничными условиями
Для решения
вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий
(6) получим
Отсюда заключаем,
что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a
1 могут зависеть только от x, а b-1,
b0, b1 – только от t.
С учетом условий
(9), уравнение (7) может быть записано в виде
Таким образом, уравнение (7’) c граничными
условиями (8) допускает вариационную формулировку.
Соответствующий
функционал имеет вид
В. Рассматривается уравнение
где
a,b – const, u – неизвестная
функция с граничными условиями
Для оператора
задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи
рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так,
что
Используя условия (6), находим
вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда
получим, что оператор вида
является потенциальным.
Соответствующее
эквивалентное уравнение будет иметь вид:
Таким образом,
задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с
функционалом
ЛИТЕРАТУРА.
[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с
отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета
физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2]
Филиппов В.М., Савчин В.М.,
Шорохов С.Г., Вариационные
принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.