Линейная алгебра
Обратная матрица.
Матрица A-1
- обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I
Для квадратной
матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA¹0.
где Aij -
алгебраические дополнения элементов aij матрицы A.
Свойства: (A-1)-1=A,
(AB)-1=B-1A-1,
detA-1=1/detA
В частности:
Решение квадратной
системы:
Ax=b
если |A|¹0, то x=A-1b
Матричные
уравнения.
XA=B Þ X=BA-1
AX=B Þ X=A-1B
Некоторые св-ва
определителей:
1.* Величина
определителя не изменится, если каждую строку заменить столбцом с тем же
номером.
2. Если матрица B
получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строк (столбцов*), то
detB=¾detA.
4.* Определитель,
содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
5. Определитель не
меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу*) другой его строки
(столбца), умноженной на произвольное число.
6.* Если какая-либо
строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк
(столбцов), то определитель равен 0.
7. Если матрица имеет
треугольный вид, то ее определитель равен произведению элементов на главной
диагонали.
*-неизученные
свойства.
Фундаментальная
система решений.
Фундаментальной
системой решений называется система из (n-r) линейно независимых решений, где
n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы:
ФСР: l1,l2,...,ln-r
ФСР может быть
бесконечное множество.
Если l1,l2,...,ln-r-ФСР
однородной системы, то
xоо = с1l1+с2l2+...+сn-r
ln-r
xон = xоо
+ xчн
Метод Крамера:
Если D=0 и не все Dxj=0,
то система несовместна.
Если D¹0, то система имеет единственное решение,
где Dxj - определитель, полученный заменой j-го
столбца в определителе системы столбцом свободных членов.