Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Доказательство теоремы Ферма методами элементарной
алгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место
только для целых .
Рассмотрим равенство
, (1)
где и
- натуральные
взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1.
В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть - нечетное число, и - натуральные
числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения
арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:
, (2)
где и
-
действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами
показательной функции, для любого
из действительных положительных чисел и существуют единственные значения
чисел ,
удовлетворяющие равенствам
, (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
, . (4)
Поскольку p>q, всегда имеет место p-q=k, или аp= аk∙× аq,
то есть числа и содержат общий
множитель ,
что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только
при ,
то есть при .
Тогда равенства (4) принимают вид:
, (5)
откуда следует
, (6)
то есть для взаимно простых и числа и всегда являются двумя последовательными
целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается,
как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1)
для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства
Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать
следующим примером.
Пусть в равенстве Ферма числа и – целые взаимно простые, – четное. Тогда числа , , их сумма и разность - также целые, показатель степени p>q .
Целые числа и
являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей,
кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель , то есть , .
Тогда разность , что для одновременно целых и может иметь местотолько при , то есть при или , что и позволило
Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.