Ветвящиеся циклические процессы
Содержание:
Введение. 3
Теория. 4
Практика. 10
Выводы.. 12
Список использованной литературы.. 13
Случайные
процессы в реальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими,
поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в
текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.
Но, тем не менее,
использование приближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённой
точностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работе
будет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которой
можно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточно
длительный промежуток времени.
В процессе данной
работы я рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах;
приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решение
с помощью рассматриваемой теории.
Введём основные
понятия, с которыми нам предстоит работать. Под системой S будем понимать
всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить
на независимые подмножества. Если эта система с течением времени t изменяет свои состояния S(t) (всего возможных состояний системы n штук) случайным образом, при чём
так, что для каждого момента времени вероятность состояния S(t) системы S в будущем () зависит только от её
состояния S() в
настоящем и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в
прошлом (), то
говорят, что в системе S протекает марковский случайный процесс.
Процесс является
процессом с непрерывным временем, если в нём система может менять свои
состояния в любой случайный момент времени.
Плотностью
вероятности перехода системы S из состояния в состояние в момент времени t называется величина
Если же плотности
вероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.
Марковский
процесс, протекающий в системе S с n состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его граф
состояний имеет вид:
Теорема:
Пусть в системе S
протекает ветвящийся циклический однородный марковский процесс с непрерывным
временем, причём возможный непосредственный переход из состояния разветвляется на переходы
в состояния соответственно
с вероятностями ,
сумма которых равна 1:
(1)
Переходы из
состояний сходятся
в состояние .
Тогда финальные
вероятности[1] соответствующих состояний системы
S определяются следующими формулами:
где .
Доказательство:
Т.к. ветвящийся
циклический процесс можно представить в виде обычного циклического процесса и
собственно разветвления, то, учитывая свойство циклического процесса, что
плотность вероятности перехода из неразветвлённого состояния в соседнее справа
равна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы S в состоянии , имеем
(2)
Интенсивность
потока уходов из состояния равна , где— среднее время пребывания (подряд)
системы S в состоянии . Тогда будет представлять собой
долю величины ,
определенную вероятностью qm,m+k:
(3)
Составим по графу
(на рис. 1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой
являются финальные вероятности :
(4)
Подставляя 2 и 3
в 4, получим:
(5)
Составим матрицу
коэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при рт в
т-м уравнении в силу (1) равен
,
Столбцы Р
|
1
|
2
|
3
|
…
|
m-1
|
m
|
m+1
|
m+2
|
…
|
m+i
|
m+i+1
|
m+i+2
|
…
|
n-1
|
n
|
Строки
|
Проведем
следующие элементарные преобразования над строками этой матрицы:
2-ю строку
прибавим к 3-й строке;
полученную 3-ю
строку прибавим к 4-й строке;
полученную 4-ю
строку прибавим к 5-й строке;
и так далее;
полученную (m-1)-ю строку прибавим к m-й строке;
полученную m-ю строку умножим последовательно на и прибавим соответственно
к (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-й строке;
сумму полученных (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-й строк прибавим к (m+i+1)-й строке, учитывая равенство (1);
полученную (m+i+1)-ю строку прибавим к (m+i+2)-й строке;
полученную (m+i+2) строку прибавим к (m+i+3)-й строке;
и так далее;
полученную (п-1)-ю
строку прибавим к п-й строке.
В результате этих
преобразований получим матрицу следующего вида:
Первая и
последняя строки этой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например
первую, можно отбросить.
Полученная после
отбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:
Отсюда финальные
вероятности можно
выразить через финальную вероятность :
(6)
Подставим
выражения (6) в нормировочное условие и найдем :
Откуда или , где . Подставляя найденное выражение в (6) получаем
доказываемые формулы.
В наше время
любой банк имеет банкоматы в различных точках города для удобства своих
клиентов. Для планирования будущих расходов на содержание банкомата применим
теорию о ветвящихся циклических процессах.
В качестве
системы S возьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:
S1 –
исправен, работает;
S2 –
неисправен, ведётся поиск неисправности;
S3 – неисправность
обнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;
S4 – неисправность
обнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороны
специалистом;
S5 – ремонт
законен, ведётся подготовка к включению банкомата.
Процесс,
протекающий в системе – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под
воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, -
простейшие.
Среднее время
исправной работы банкомата[2] равно месяц; среднее время поиска неисправности
банкомата равно часа;
среднее время ремонта местными средствами равно часа; среднее время ремонта банкомата
специалистом равно дня;
среднее время подготовки банкомата к работе час.
Вероятность того,
что неисправность оказалась незначительной и может быть устранена местными
средствами р=0,8. Вероятность же того, что неисправность серьёзная и без
специалиста не обойтись 1-р=0,2.
Если банкомат
работает исправно, то стоимость его обслуживания составляет 100 рублей в день[3];
один час работы специалиста по устранению неисправностей составляет 200 рублей
в час. В остальных состояниях стоимость содержания банкомата равна величине
амортизации и составляет 7 рублей в день.
Спрогнозируем
средний расход на следующий год, идущий на содержание банкомата.
Решение: граф состояний системы будет
иметь вид:
Приведём данные в
условии задачи к одной единице, например, сутки:
Как уже было
сказано выше процесс, протекающий в системе, - однородный, марковский и к тому
же он является ветвящимся циклическим с непрерывным временем, тогда мы можем
воспользоваться полученными выше формулами:
Тогда ,
,
,
,
Теперь определим
общий расход на содержание банкомата: рублей за сутки, тогда за год эта сумма
составит приближённо 70 100 рублей.
Таким образом, мы
на практике убедились, что теория о ветвящихся циклических процессах, возможно
и не обладает возможностями для широкого применения, но, тем не менее, является
простым и действенным инструментом при планировании различных экономических
процессов.
Но надо
учитывать, что это всего лишь маленькое ответвление теории о марковских процессах,
на которой, в свою очередь, базируются многие другие теории, в частности теория
о массовом обслуживании в экономической сфере.
1)
Лабскер
Л.Г.
Вероятностное моделирование в финансово – экономической области – М.: Альпина
Паблишер, 2002. – 224 с.
2)
[1] Вероятности состояний системы в финальном стационарном режиме, при
котором они уже не зависят ни от времени, ни от начального распределения
вероятностей, называются финальными вероятностями
[2] подряд
[3] включается потребляемое банкоматом электричество и работа с
наличностью банкомата