О физическом смысле векторного потенцила электромагнитного поля
О ФИЗИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ВЕКТОРНОГО
ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Сидоренков В.В.
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Показано, что поле электромагнитного
векторного потенциала как физическая величина представляют собой полевой
эквивалент локальных характеристик микрочастицы: ее электрическому заряду,
кратному кванту электрического потока - заряду электрона, соответствует
электрическая компонента векторного потенциала, а удельному (на единицу заряда)
кинетическому моменту, кратному кванту магнитного потока, отвечает магнитная
компонента векторного потенциала.
Полевая концепция природы электричества
является фундаментальной основой классической электродинамики [1] и базируется
на признании того факта, что взаимодействие разнесенных в пространстве
электрических зарядов осуществляется с помощью электромагнитных полей. Свойства
этих полей описываются системой электродинамических уравнений Максвелла, откуда
непосредственно следуют и понятия электрического и магнитного векторных
потенциалов, физический смысл которых, несмотря на определенный прогресс в
установлении их физической значимости в приложениях квантовой механики [2, 3] и
электродинамики [4, 5], по сей день остается по существу так и не выясненным.
Попытаемся разобраться в этом вопросе, для
чего воспользуемся системой указанных уравнений электромагнитного поля [1]:
(a) , (b) ,
(c) , (d) . (1)
включающей в себя так называемые материальные
соотношения:
, , ,
описывающие
отклик среды на наличие в ней электромагнитных полей. Здесь и векторы напряженности электрического
и магнитного полей, связанные с соответствующими векторами индукции и , вектор плотности электрического тока,
объемная
плотность стороннего заряда, и электрическая и магнитная постоянные, , и удельная электрическая
проводимость и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды,
соответственно.
Представления о
векторных потенциалах возникают как следствие того, что дивергенция ротора
любого вектора тождественно равна нулю. Поэтому магнитный векторный потенциал можно ввести посредством
дивергентного соотношения системы уравнений (1), а электрический соотношением , описывающим поляризацию
локально электронейтральной среды:
а) , (b) . (2)
Однозначность
функций векторных потенциалов, то есть чисто вихревой характер таких полей,
обеспечивается условием калибровки: . Видно, что с физической точки зрения
рассматриваемые потенциалы являются поляризационными потенциалами.
Тогда подстановка
соотношения (2a) в уравнение вихря
электрической напряженности (1а) приводит к известной формуле [1, 2] связи поля
вектора указанной напряженности с магнитным векторным потенциалом:
, (3)
описывающей закон
электромагнитной индукции Фарадея. Электрический скалярный потенциал: здесь не рассматривается,
как не имеющий отношения к обсуждаемым в работе вихревым полям.
При аналогичной
подстановке соотношения (2b) в
уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом закона Ома процесса электропроводности получаем в итоге связь этой напряженности с электрическим
векторным потенциалом:
, (4)
где постоянная
времени релаксации электрического заряда в среде за счет электропроводности.
Таким образом, согласно соотношениям (3) и (4), векторные потенциалы – это не
математические фикции, а физически значимые фундаментальные поля, порождающие
традиционные вихревые электромагнитные поля. Подробное обсуждение физической
значимости векторных потенциалов в классической электродинамике представлено в
работах [4, 5].
Как известно, физические представления об
электрическом заряде имеют на микроуровне существенное дополнение: элементарная
частица характеризуется не только значением заряда , кратного заряду электрона , но и спином , трактуемым как
собственный момент количества движения (кинетический момент) частицы. Величина
этого момента квантована значением , где h постоянная Планка.
Согласно нашему предположению, сопоставим эти локальные характеристики
микрочастицы и ее некое собственное первичное электромагнитное поле. Так,
например, для электрона электрическая компонента этого поля соответствует
кванту электрического потока заряду e, а магнитная компонента –
величине его удельного (на единицу заряда) кинетического момента , определяющей, как
известно (например, [2]), квант магнитного потока. Наша задача показать далее,
что введенное здесь гипотетическое собственное поле микрочастицы (совокупно, и
макрообъекта) является именно полем электромагнитных векторных потенциалов.
Вначале рассмотрим электрический векторный потенциал . Для этого соотношение (2b) связи вектора электрической индукции
и вектор-потенциала для большей наглядности и математической общности
представим в интегральной форме:
= . (5)
Эти интегральные соотношения устанавливают физически
содержательное положение о том, что величина циркуляции вектора по замкнутому контуру С
определяется электрическим потоком через поверхность , опирающейся на этот контур, следовательно,
поляризационным электрическим зарядом ,
индуцированным на указанной поверхности. Отсюда, в частности, следует
определение поля вектора электрического смещения , по величине равного плотности поляризационного
заряда на
пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное
значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора . Определение как потокового вектора
показывает его принципиальное отличие от линейного (циркуляционного) вектора
напряженности ,
являющегося силовой характеристикой электрического поля.
Таким образом, согласно соотношению (5), электрическому
заряду отвечает
его полевой эквивалент - поле электрического векторного потенциала , размерность которого есть
линейная плотность электрического заряда. В итоге, с целью реализации
нашего предположения введем понятие первой фундаментальной
корпускулярно-полевой пары с единицами измерения в системе СИ КулонКулон/метр.
Здесь и далее обсуждаются именно
размерности физических величин, а использование в рассуждениях конкретной
системы единиц их измерения не принципиально.
Корпускулярно-полевые
представления подтверждаются и соотношением (4) связи напряженности магнитного
поля и
электрического векторного потенциала с единицей измерения Ампер/метр,
которое есть ни что иное, как полевой эквивалент полного электрического тока (токов проводимости и
смещения), величина (сила тока) которого имеет единицу измерения Ампер.
Как видим, сопоставление соотношения (4) для вихревых полей и с понятием силы электрического тока снова
приводит к корпускулярно-полевой паре АмперАмпер/метр, являющуюся очевидным прямым
физическим следствием первой фундаментальной пары.
Перейдем теперь к магнитному
векторному потенциалу и проанализируем соотношения связи поля вектора с полями векторов
магнитной индукции (2a) и электрической напряженности (3). Данные соотношения,
несмотря на свою широкую известность [1, 2, 6], как нам представляется,
трактуют не совсем корректно, поскольку в них исходно неверно определена
размерность вихревого поля магнитного векторного потенциала импульс
на единицу заряда. Попытаемся далее аргументировано обосновать это
чрезвычайно серьезное, но пока декларативное критическое заявление о физической
размерности вектора .
Начнем с общеизвестного. Поскольку вектор
электрической напряженности измеряется в системе СИ как Вольт/метр,
либо математически (но не физически) тождественно Ньютон/Кулон, то,
согласно соотношению (3) связи магнитного векторного потенциала с вектором , единица измерения вектора
будет (Ньютон·сек)/Кулон,
то есть имеет размерность импульс на единицу заряда. Следовательно,
соотношение (3) можно назвать полевым аналогом уравнения динамики
поступательного движения в механике (II закон Ньютона). Действительно,
указанную выше размерность магнитного векторного потенциала, другими словами,
его физический смысл находят в работе [2] при анализе действия вихревого поля
вектора на
точечный электрический заряд посредством именно II закона Ньютона, обычного
механического. Однако обобщать такие выводы, полученные в рамках уравнения
динамики поступательного движения, на случай макрообъекта (в виде совокупности взаимодействующих
точечных зарядов), находящегося в вихревых полях, мягко говоря, весьма сомнительно.
Для прояснения сложившейся ситуации рассмотрим далее
соотношение (2а), которое представим для большей наглядности в интегральной
форме:
. (6)
Видно, что величина циркуляции вектора по контуру С
определяется магнитным потоком через поверхность SC и имеет
единицу измерения в СИ Вебер = (Джоуль∙секунда)/Кулон,
что соответствует модулю момента импульса на единицу заряда. При этом
размерность магнитного векторного потенциала может быть двоякой: либо указанная
выше импульс на единицу заряда, либо ей альтернативная линейная
плотность момента импульса на единицу заряда. Конечно, с формальной точки
зрения обе размерности вектора , выраженные через единицы измерения,
математически тождественны, но физически это принципиально различные
величины.
Целесообразно
отметить, что сам Максвелл призывал ответственно относиться к математическим операциям
над векторами электромагнитного поля и физической трактовке таковых. Вот его
слова: “В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряженности
принадлежат к величинам первого класса – они определены относительно линии.
… Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи
принадлежат к величинам второго класса – они определены относительно площади”.
([6] п. 12). И далее более конкретно: “В случае напряженности следует брать
интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую
напряженности вдоль этого элемента. … В случае потоков следует брать
интеграл по поверхности от потока через каждый ее элементов”. ([6] п. 14).
Не преувеличивая, трактат Максвелла можно назвать физическими основами математического
анализа, поскольку в нем свойства используемых математических моделей максимально
подчинены стремлению автора адекватно описать физические представления о
рассматриваемых явлениях. Однако, к сожалению, в настоящее время даже в учебной
литературе повсеместно встречается “” и “”, “” и “”. Такое формальное использование математики попросту
игнорирует физическое содержание соотношений электродинамики, создает путаницу
физических понятий, мешая действительно разобраться в них. Все это усугубляется
применением абсолютной системы единиц СГС, когда безразмерные коэффициенты e0 = 1 и m0 = 1 делают векторы и , и сущностно тождественными, где Эрстед и
Гаусс равны в пустоте, а в средах различаются только численно. О предпочтительности
в классической электродинамике международной системы единиц физических величин
СИ в сравнении с абсолютной системой единиц СГС говорится также в работах [4,
5].
Для нас здесь существенно то, что, согласно Максвеллу,
в электродинамике циркуляционные (линейные) векторы и имеют размерность линейной плотности
физической величины, а потоковые векторы , и – ее поверхностной плотности. В
частности, размерность вектора магнитной индукции равна поверхностной плотности
момента импульса на единицу заряда, в системе СИ Тесла.
Экспериментально это ярко иллюстрируется эффектом Эйнштейна-де Гааза [1], где в
материальной среде при ее однородном намагничивании возникает механический
момент вращения, направленный коллинеарно полю, обусловленный упорядочением
собственных магнитных моментов, соответственно, моментов количества движения
электронов в атомах вещества среды. Следовательно, поле вектора выявляет в среде момент
импульса, порождающий ее вращение. Поэтому, согласно соотношению (2а),
размерностью вихревого поля магнитного векторного потенциала следует считать линейную
плотность момента импульса на единицу заряда. Итак, в формулах (6)
локальной характеристике микрочастицы моменту импульса на единицу заряда
сопоставляется его полевой эквивалент магнитный векторный потенциал , что дает вторую
фундаментальную корпускулярно-полевую пару, которую, например, для электрона
можно записать как с
единицами измерения (Джоуль∙секунда)/ Кулон(Джоуль∙секунда)/(Кулон∙метр).
Вернемся к соотношению (3) связи вектора с вектором . Как теперь здесь показано,
размерность вихревого поля вектора электрической напряженности однозначно равна линейной
плотности момента силы на единицу заряда, что естественно нисколько не
опровергает единицу измерения этого вектора Вольт/метр, а лишь уточняет
ее физический смысл. Таким образом, в действительности соотношение (3)
представляет собой полевой аналог основного уравнения динамики вращательного
движения твердого тела в механике, что полностью согласуется с рассмотренными
выше корпускулярно-полевыми представлениями.
Подводя итог, с
приходим к заключению, что векторные потенциалы – это не математические фикции,
а фундаментальные первичные поля, поскольку именно они порождают традиционные
вихревые электромагнитные поля в классической электродинамике. Важно при этом подчеркнуть,
что с точки зрения проявления физических свойств [4, 5] рассматриваемые
потенциалы логично называть поляризационными потенциалами. Установленная
здесь принципиальная двойственность физических параметров электрического заряда
говорит о реальном существовании «корпускулярно-полевого дуализма» природы
электричества, у которого, в отличие от схожего лишь по названию
«корпускулярно-волнового дуализма» в квантовой механике, континуальные
компоненты являются векторным полем, и он реализуется на микро- и макроуровнях
строения материи. Фундаментальность концепции указанного дуализма обусловлена
тем, что локальные характеристики микрочастицы (совокупно, и макрообъекта)
находятся в неразрывной связи с их собственными полевыми параметрами:
электрическому заряду, кратному кванту электрического потока заряду
электрона |e-|, соответствует электрический векторный
потенциал , а ее
удельному (на единицу заряда) кинетическому моменту, кратному кванту магнитного
потока , отвечает
магнитный векторный потенциал . В качестве конкретной иллюстрации вышесказанного
имеем из (5) и (6) для точечного заряда, например электрона, следующие
выражения: и . где и орты сферической системы координат.
Как видим, полученные результаты представляют
общефизический интерес, требуют дальнейшего серьезного развития и, в частности,
могут служить вместе с материалом работ [4, 5] непосредственным введением в
новую перспективную область исследований связи классической электродинамики с
микромиром.
Литература:
1. Матвеев А.Н. Электродинамика. - М.: Высшая
школа, 1980. - 383 с.
2. Антонов Л.И., Миронова Г.А.,
Лукашёва Е.В., Чистякова Н.И. Векторный магнитный потенциал в курсе общей физики /
Препринт № 11. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 47 с.
4. Сидоренков В.В. Развитие физических
представлений о процессе электрической проводимости в металле // Вестник МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2005. - № 2. - С. 35-46.
5. Сидоренков В.В. Обобщение физических
представлений о векторных потенциалах в классической электродинамике // Вестник
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2006. - № 1. - С. 28-37.
6. Максвелл Дж. К. Трактат об
электричестве и магнетизме. В 2-х томах. - М.: Наука, 1989.